Tits-System

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Ein Tits-System (oft synonym auch BN-Paar genannt) wird in der mathematischen Disziplin der Gruppentheorie benutzt, um viele Resultate aus der Theorie der halbeinfachen Lie-Gruppen, der Algebraischen Gruppen und der endlichen Gruppen vom Lie-Typ einheitlich formulieren und beweisen zu können. Außerdem bilden die Tits-Systeme das algebraische Gegenstück zur Gebäude-Theorie. Der Begriff wurde von Jacques Tits eingeführt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Tits-System besteht aus einem 4-Tupel , wobei eine Gruppe ist, und Untergruppen von sind und eine Menge von Nebenklassen von in ist, sodass folgende vier Axiome erfüllt sind:

T 1: Die Gruppe wird von und erzeugt. Außerdem ist ein Normalteiler in .
T 2: Die Faktorgruppe wird von der Menge erzeugt und es gilt für alle .
T 3: Für und gilt .
T 4: Für ist keine Teilmenge von .

Die Nummerierung T1 bis T4 stammt aus Tits' Originalarbeit.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Oft wird als Standardbeispiel die Gruppe der invertierbaren -Matrizen über einem Körper K angegeben. Hierbei ist B die Untergruppe der oberen Dreiecksmatrizen. Für die Gruppe N nehmen wir alle Matrizen, die in jeder Zeile und in jeder Spalte genau einen Eintrag ungleich Null haben. Die Gruppe wird dann genau zu der Gruppe der Diagonalmatrizen und ist kanonisch isomorph zur symmetrischen Gruppe über n Elementen. Die Menge S besteht aus den Permutationen, die zwei benachbarte Elemente vertauschen.
  • Sei allgemeiner G eine reduktive algebraische Gruppe und B eine Borel-Untergruppe, die einen maximalen Torus H enthält. Sei N der Normalisator von H in G und W ein minimales Erzeugendensystem von W:=N/H. Dann ist (G,B,N,S) ein Tits-System.
  • Sei X eine Menge mit mindestens drei Elementen und G eine Untergruppe der Permutationsgruppe von X, sodass G zweifach transitiv auf X wirkt. Weiterhin seien zwei unterschiedliche Elemente gegeben. Dann sei B der Stabilisator von x in G und N sei definiert als die Gruppe, die die Menge als Menge fixiert, d.h. die Elemente x und y werden entweder beide fixiert oder vertauscht. Dann ergibt sich als punktweiser Stabilisator der Menge . Die Faktorgruppe W:=N/H hat Ordnung 2 und die Menge S besteht nur aus einem einzigen Element und dieses entspricht der Vertauschung von x und y.

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man kann zeigen, dass die Menge S eindeutig festgelegt ist, wenn von einem Tits-System nur die Gruppen G,B,N gegeben sind. Da außerdem die Gruppe G von B und N erzeugt wird, steckt die gesamte Information über das Tits-System in den Gruppen B und N. Deswegen hat sich auch die Bezeichnung BN-Paar eingebürgert.

Bruhat-Zerlegung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein wichtiges Resultat, das sich im allgemeinen Rahmen von Tits-Systemen beweisen lässt, ist die sogenannte Bruhat-Zerlegung: Wenn ein Tits-System (G,B,N,S) gegeben ist, dann gilt

,

wobei eine disjunkte Vereinigung ist, das heißt ist so gewählt, dass für die Mengen BwB und Bw'B disjunkt sind.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn bei einem Tits-System (G,B,N,S) noch die folgenden Zusatzeigenschaften erfüllt sind:

  • B ist auflösbar
  • Der Schnitt aller Konjugate von B ist trivial
  • Die Menge S lässt sich nicht in zwei disjunkte nichtkommutierende Teilmengen zerlegen
  • G ist perfekt

Dann ist die Gruppe G eine einfache Gruppe. Oft ist es sehr leicht, die ersten drei Eigenschaften nachzuprüfen und es bleibt nur noch die Perfektheit von G zu zeigen, was deutlich einfacher ist, als direkt zu zeigen, dass G eine einfache Gruppe ist. Dieses Resultat benutzt man zum Beispiel bei der Klassifikation der einfachen endlichen Gruppen, um zu zeigen, dass die meisten endlichen Gruppen vom Lie-Typ einfach sind.

Zusammenhang mit Gebäudetheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Oft ist es hilfreich, Gruppen zu untersuchen, indem man sie auf interessanten geometrischen Objekten wirken lässt. Jedem Tits-System (G,B,N,S) lässt sich auf kanonische Art und Weise ein geometrisches Objekt zuordnen, genannt Gebäude, sodass G auf diesem Gebäude wirkt. Umgekehrt lässt sich auch jedem Gebäude ein Tits-System zuordnen, sodass die gruppentheoretische Theorie der Tits-Systeme in gewisser Art und Weise äquivalent zur geometrischen Theorie der Gebäude ist.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]