3D-Ansicht eines Triakisoktaeders (Animation ) Das Triakisoktaeder ist ein konvexes Polyeder , das sich aus 24 gleichschenkligen Dreiecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum Hexaederstumpf und hat 14 Ecken sowie 36 Kanten.
Werden auf die acht Begrenzungsflächen eines Oktaeders (Kantenlänge
a
{\displaystyle a}
Pyramiden mit der Flankenlänge
b
{\displaystyle b}
a
3
3
<
b
<
a
4
6
{\displaystyle {\tfrac {a}{3}}{\sqrt {3}}<b<{\tfrac {a}{4}}{\sqrt {6}}}
Für den zuvor genannten minimalen Wert von
b
{\displaystyle b}
a
{\displaystyle a}
Das spezielle Triakisoktaeder mit gleichen Flächenwinkeln entsteht, wenn
b
=
a
(
2
−
2
)
{\displaystyle b=a\,(2-{\sqrt {2}})}
Nimmt
b
{\displaystyle b}
Rhombendodekaeder mit der Kantenlänge
b
{\displaystyle b}
Überschreitet
b
{\displaystyle b}
b
=
a
{\displaystyle b=a}
Sterntetraeder .
a
3
3
<
b
<
a
4
6
{\displaystyle {\tfrac {a}{3}}{\sqrt {3}}<b<{\tfrac {a}{4}}{\sqrt {6}}}
Größen eines Triakisoktaeders mit Kantenlängen a , b
Volumen
V
=
a
2
3
(
a
2
+
2
3
b
2
−
a
2
)
{\displaystyle V={\frac {a^{2}}{3}}\left(a{\sqrt {2}}+2{\sqrt {3b^{2}-a^{2}}}\right)}
Oberflächeninhalt
A
O
=
6
a
4
b
2
−
a
2
{\displaystyle A_{O}=6a{\sqrt {4b^{2}-a^{2}}}}
Pyramidenhöhe
k
=
1
3
9
b
2
−
3
a
2
{\displaystyle k={\frac {1}{3}}{\sqrt {9b^{2}-3a^{2}}}}
Inkugelradius
ρ
=
a
a
2
a
+
4
b
{\displaystyle \rho \,=a\,{\sqrt {\frac {a}{2a+4b}}}}
Flächenwinkela )
cos
α
1
=
12
b
2
−
5
a
2
−
8
a
6
b
2
−
2
a
2
9
(
4
b
2
−
a
2
)
{\displaystyle \cos \,\alpha _{1}={\frac {12b^{2}-5a^{2}-8a{\sqrt {6b^{2}-2a^{2}}}}{9(4b^{2}-a^{2})}}}
Flächenwinkelb )
cos
α
2
=
2
b
2
−
a
2
4
b
2
−
a
2
{\displaystyle \cos \,\alpha _{2}={\frac {2b^{2}-a^{2}}{4b^{2}-a^{2}}}}
b
=
a
(
2
−
2
)
{\displaystyle b=a\,(2-{\sqrt {2}})}
Größen eines Triakisoktaeders mit Kantenlänge a
Volumen
V
=
a
3
(
2
−
2
)
=
a
2
b
{\displaystyle V=a^{3}(2-{\sqrt {2}})=a^{2}b}
Oberflächeninhalt
A
O
=
6
a
2
23
−
16
2
{\displaystyle A_{O}=6a^{2}{\sqrt {23-16{\sqrt {2}}}}}
Inkugelradius
ρ
=
a
5
+
2
2
34
{\displaystyle \rho =a{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {2}}}{34}}}}
Kantenkugelradius
r
=
a
2
{\displaystyle r={\frac {a}{2}}}
Flächenwinkel
cos
α
=
−
1
17
(
3
+
8
2
)
{\displaystyle \cos \,\alpha =-{\frac {1}{17}}\,(3+8{\sqrt {2}})}
Sphärizität
Ψ
=
9
π
(
3
−
2
2
)
3
3
23
−
16
2
{\displaystyle \Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{9\,\pi \left(3-2{\sqrt {2}}\right)}}{3{\sqrt {23-16{\sqrt {2}}}}}}}
![{\displaystyle \Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{9\,\pi \left(3-2{\sqrt {2}}\right)}}{3{\sqrt {23-16{\sqrt {2}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cca1c1ad4eff343f2e73cf4b9810c8df648f002a)
