Sphäre (Mathematik)

Darstellung der 2-Sphäre

Unter einer Sphäre versteht man in der Mathematik die Oberfläche einer Kugel und die Verallgemeinerung davon auf beliebig viele Dimensionen und auf beliebige Metriken.

Von erheblicher Bedeutung für viele Untersuchungen ist hierbei insbesondere die Einheitssphäre, also die Oberfläche der Kugel vom Radius eins um den Nullpunkt im n-dimensionalen euklidischen Raum.

Definition

Im euklidischen Raum

Sei $z\in \mathbb {R} ^{n}(n\in \mathbb {N} )$ ein Punkt, dann ist die Sphäre mit Radius $R$ im euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{n}$ definiert durch

$S^{n-1}={S^{n-1}}_{R}(z):=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x-z\|_{2}=R\},$

wobei $\|\cdot \|_{2}$ die Euklidische Norm ist. Ist $R=1$, so spricht man manchmal von einer Einheitssphäre.

In der Literatur ist der Begriff Einheitssphäre und das Symbol $S^{n-1}$ üblicherweise reserviert für die Einheitssphäre um den Nullpunkt des $\mathbb {R} ^{n}$.

In metrischen Räumen

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $z\in X$ ein Punkt. Dann ist die Sphäre mit Radius $R$ um $z$ definiert durch

$S_{R}(z):=\{x\in X:d(x,z)=R\}.$

Ist $R=1$, spricht man auch hier manchmal von einer Einheitssphäre.

Sprechweise und Notation

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• Die Sphäre $S_{X}$ kann als Rand der Vollkugel $B_{X}$ mit gleichem Radius aufgefasst werden. Dementsprechend schreibt man oft auch $\partial B_{X}$ für $S_{X}$. Entsprechendes gilt natürlich auch für Sphären im euklidischen Raum, da diese ein Spezialfall der Sphären in metrischen Räumen ist.

• Kann man dem zugrundligenden metrischen Raum eine Dimension zuordnen, so überträgt man dies auch auf die Sphäre. Beispielsweise hat die Sphäre $S^{n-1}\subset \mathbb {R} ^{n}$ die Dimension n-1, weil sie der Rand einer Vollkugel im n-dimensionalen Raum ist und man der Kugel genau eine Dimension mehr zuordnet als ihrem Rand.

Inhalt und Volumen

Der Flächeninhalt beziehungsweise das Volumen einer beliebigen (n−1)-Sphäre vom Radius $R$ im euklidischen Raum lässt sich mit der Formel

$\operatorname {vol} (S^{n-1})={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} R}}R^{n}V_{n}=nR^{n-1}V_{n}={2\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n-1} \over \Gamma ({\frac {n}{2}})}$

berechnen, wobei $V_{n}$ das Volumen der $n$-dimensionalen Einheitskugel und $\Gamma$ die Gammafunktion bezeichnen.

Beispiele

Einer n-dimensionalen Kugel lässt sich jeweils eine (n-1)-dimensionale Sphäre als Rand der Kugel zuordnen:

• Die 1-Kugel $B^{1}$ ist das Intervall [−1,1]. Dementsprechend besteht die 0-Sphäre $S^{0}$ nur aus den beiden Punkten +1 und −1. Sie ist als einzige Sphäre nicht zusammenhängend.

• Die 2-Kugel $B^{2}$ ist die Kreisscheibe mit Radius 1 in der Ebene. Die 1-Sphäre $S^{1}$ ist die Einheitskreislinie, also der Rand des Einheitskreises. Die Einheitskreislinie ist zusammenhängend, aber nicht einfach zusammenhängend. Sie lässt sich durch komplexe Zahlen vom Betrag 1 beschreiben.

• Die 3-Kugel $B^{3}$ ist die Vollkugel. Die 2-Sphäre $S^{2}$ ist die Oberfläche der Einheitskugel. Sie ist einfach zusammenhängend – wie alle höherdimensionalen Sphären. Sie wird durch Kugelkoordinaten beschrieben.

Die Einheits-3-Sphäre

Die 3-Sphäre $S^{3}$ ist nicht mehr anschaulich vorstellbar. Sie ist eine 3-dimensionale Untermannigfaltigkeit im 4-dimensionalen Raum $\mathbb {R} ^{4}$. Eine mathematisch besonders elegante Beschreibung der Einheits-3-Sphäre ist durch die Quaternionen vom Betrag 1 gegeben.

Die Sphäre in der Topologie und Geometrie

Die Sphäre ist ein wichtiges Objekt in den mathematischen Teilgebieten der Topologie des $\mathbb {R} ^{n}$ und Differentialgeometrie. Aus Sicht dieser mathematischen Gebiete ist die Sphäre eine Mannigfaltigkeit. Sie ist deshalb so wichtig, weil sie das einfachste Beispiel einer Mannigfaltigkeit ist, das nichttrivial ist.

Topologische Sphären

Unter einen topologischen Sphäre versteht man eine topologische Mannigfaltigkeit, die homöomorph zur oben beschriebenen euklidischen Sphäre $S^{n}$ ist.

Aus Sicht der Topologie betrachtet ist beispielsweise die Oberfläche eines Würfels also auch eine 2-Sphäre. Man erhält eine topologische $n$-Sphäre, indem man die Ränder zweier $n$-Kugeln orientierungsumkehrend miteinander verklebt.

Die $n$-Sphäre ist auch gerade die Alexandroff-Kompaktifizierung des $\mathbb {R} ^{n}$ und daher kompakt. Ebenso entsteht sie durch Zusammenkleben des Randes einer $(n-1)$-dimensionalen abgeschlossenen Vollkugel (hier folgt die Kompaktheit daraus, dass das Zusammenkleben (als Finaltopologiebildung) stetig ist und daher die kompakte abgeschlossene Vollkugel auf ein Kompaktum abbildet).

Die $(n-1)$-Sphäre $S^{n-1}$ des $\mathbb {R} ^{n}$ ist homöomorph zum geometrischen Rand eines jeden n-Simplexes und ist in diesem Sinne ein krummes Polyeder.

Jedoch ist die $S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}$ zu keiner Teilmenge eines $\mathbb {R} ^{m}(m\leq n)$ homöomorph. Dieser Sachverhalt impliziert die sogenannte Invarianz der Dimension.

Differenzierbare Strukturen

Im Bereich der Differentialgeometrie wird die Sphäre noch mit einer differenzierbaren Struktur ausgestattet, so dass man von differenzierbaren Abbildungen auf der Sphäre sprechen kann. Auf einer topologischen Mannigfaltigkeit ist es in der Regel möglich unterschiedliche nicht kompatible differenzierbare Strukturen zu definieren. Die stereografischen Projektion beispielsweise induziert die auf der Sphäre meist betrachtete differenzierbare Struktur. Bei der Sphäre hängt es von der Dimension ab, ob es noch weitere differenzierbare Strukturen gibt. Der Mathematiker John Milnor beschäftigte sich mit diesem Thema und zeigte die Existenz von sogenannten exotischen Sphären.

Aussagen über Sphären

Poincaré-Vermutung

→ Hauptartikel: Poincaré-Vermutung

Die Poincaré-Vermutung lautet:

Jede geschlossene einfach zusammenhängende 3-dimensionale Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre

Darüber hinaus gibt es noch eine Verallgemeinerung der Vermutung, auf n-dimensionale Mannigfaltigkeiten in der folgenden Form:

Jede geschlossene n-Mannigfaltigkeit mit dem Homotopietyp einer n-Sphäre ist zur n-Sphäre homöomorph.

Für den Fall n=3 stimmt diese verallgemeinerte Vermutung mit der ursprünglichen Poincaré-Vermutung überein. Für den Fall $n>4$ wurde sie 1960 von Stephen Smale bewiesen. Der russische Mathematiker Grigori Perelman bewies die Poincaré-Vermutung im Jahre 2002, wofür ihm die Fields-Medaille zuerkannt wurde. Diese lehnte er jedoch ab.

Exotische Sphären

Der US-amerikanische Mathematiker John Milnor fand 1956 heraus, dass es differenzierbare Mannigfaltigkeiten gibt, die homöomorph zur 7-Sphäre sind, ihre differenzierbaren Strukturen jedoch nicht kompatibel miteinander sind. Zusammen mit dem Schweizer Mathematiker Michel Kervaire zeigte er, dass für die 7-Sphäre $S^{7}$ 15 verschiedene differenzierbare Strukturen (28 bei Berücksichtigung der Orientierung) existieren.

Sphärensatz

→ Hauptartikel: Sphärensatz

Die Mathematiker Harry Rauch, Wilhelm Klingenberg und Marcel Berger konnten zeigen, dass bei bestimmten Voraussetzungen an die Krümmung kompakter riemannscher Mannigfaltigkeit diese homöomorph zur Sphäre sind, es sich also um topologische Sphären handelt. Diese Aussage wurde noch verschärft. Es konnte sogar gezeigt werden, dass diese riemannsche Mannigfaltigkeit dann diffeomorph zur Sphäre mit der normalen differenzierbaren Struktur ist.

Topologische Gruppen

Die einzigen Sphären, die gleichzeitig eine Gruppenstruktur haben und damit eine topologische Gruppe bilden, sind die 0-, 1- und die 3-Sphäre. Dabei entspricht der 0-Sphäre die Gruppe $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$, der 1-Sphäre $S^{1}$ die Lie-Gruppe U(1) und der 3-Sphäre $S^{3}$ die Lie-Gruppe SU(2).

Die 7-Sphäre ist zwar keine topologische Gruppe, aber sie ist eine echte Moufang-Loop, da sie durch die Oktonionen mit dem Betrag 1 beschrieben werden kann.

Parallelisierbarkeit

Die 1-, 3- und 7-Sphäre sind die einzigen Sphären, die parallelisierbar sind. Aus dem Satz vom Igel folgt, dass eine Sphäre mit gerader Dimension nicht parallelisierbar ist. Die Ausnahmestellung der 1-, 3- und 7-Sphäre hängt allerdings mit der Existenz der Divisionsalgebren zusammen.

Literatur

• I. S. Sharadze: Sphere. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 

• Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3. 

• Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie. Kurven - Flächen - Mannigfaltigkeiten. 5., aktualisierte Auflage. B. G. Teubner Verlag, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-1233-9. 

• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6. 

• Stephen Willard: General Topology. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts u. a. 1970. 

• Tammo tom Dieck: Algebraic Topology. European Mathematical Society, Berlin [u.a.] 2008, ISBN 978-3-03719-048-7. 

Weblinks

Commons: Sphere – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien