Betragsquadrat

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Das Betragsquadrat oder Absolutquadrat ist eine Abbildung, die vor allem in der mathematischen Physik auf Zahlen, Vektoren und Funktionen mit leicht unterschiedlicher Bedeutung angewandt wird. Man erhält das Betragsquadrat einer reellen oder komplexen Zahl, indem man ihren Betrag quadriert. Das Betragsquadrat eines reellen oder komplexen Vektors endlicher Dimension ist das Quadrat seiner Länge (bzw. euklidischen Norm). Das Betragsquadrat einer reell- oder komplexwertigen Funktion ist wieder eine Funktion, deren Funktionswerte gleich den Betragsquadraten der Funktionswerte der Ausgangsfunktion sind.

Das Betragsquadrat wird beispielsweise in der Signaltheorie verwendet, um die Gesamtenergie eines Signals zu ermitteln, und in der Quantenmechanik, um Wahrscheinlichkeiten von Zuständen – z. B. die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten von Teilchen – zu berechnen. In der Relativitätstheorie wird für das Lorentz-invariante Quadrat von Vierervektoren in der Literatur auch der Begriff Betragsquadrat verwendet, obwohl dieses Quadrat auch negative Zahlen ergeben kann und sich somit von der allgemeinen Definition in euklidischen Räumen unterscheidet.

Definitionen

Zahlen

Das Betragsquadrat $|x|^{2}$ einer reellen Zahl $x$ ist einfach ihr Quadrat:

$|x|^{2}=x^{2}$.

Für komplexe Zahlen ist das jedoch im Allgemeinen falsch. Das Betragsquadrat $|z|^{2}$ einer komplexen Zahl $z=x+iy$ mit Realteil $x$ und Imaginärteil $y$ ist:

$|z|^{2}=z^{*}z=(x-iy)(x+iy)=x^{2}+y^{2}$.

Hierbei bezeichnet $z^{*}=x-iy$ das komplex Konjugierte von $z$. Das Betragsquadrat ist stets eine nichtnegative reelle Zahl.

Vektoren

Bei Vektoren im $\mathbb {R} ^{n}$ ist mit dem Betrag bzw. der Länge die euklidische Norm (2-Norm) des Vektors gemeint. Das Betragsquadrat eines Vektors ${\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$ kann über das Standardskalarprodukt des Vektors mit sich selbst berechnet werden:

$|{\vec {v}}|^{2}={\vec {v}}\cdot {\vec {v}}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\dots +v_{n}^{2}$.

Diese Beziehung ergibt sich direkt aus der Definition der euklidischen Norm. Bei komplexen Vektoren ${\vec {v}}\in \mathbb {C} ^{n}$ ist entsprechend mit dem konjugiert Komplexen zu rechnen:

$|{\vec {v}}|^{2}=v_{1}^{*}v_{1}+v_{2}^{*}v_{2}+\dots +v_{n}^{*}v_{n}$.

In beiden Fällen ist das Ergebnis eine nichtnegative reelle Zahl.

Funktionen

Für reell- oder komplexwertige Funktionen wird das Betragsquadrat punktweise definiert, wodurch man wieder eine Funktion erhält. Das Betragsquadrat einer reellwertigen Funktion $\phi \colon \Omega \to \mathbb {R}$ ist durch

$|\phi |^{2}\colon \Omega \to \mathbb {R} ,~x\mapsto |\phi (x)|^{2}=(\phi (x))^{2}$

gegeben, während das Betragsquadrat einer komplexwertigen Funktion $\phi \colon \Omega \to \mathbb {C}$ durch

$|\phi |^{2}\colon \Omega \to \mathbb {R} ,~x\mapsto |\phi (x)|^{2}=(\phi (x))^{\ast }\phi (x)$

definiert wird. Das Betragsquadrat einer Funktion ist demnach eine reellwertige Funktion mit dem gleichen Definitionsbereich $\Omega$, deren Funktionswerte gleich den Betragsquadraten der Funktionswerte der Ausgangsfunktion sind. Sie wird im reellen Fall auch durch $\phi ^{2}$ und im komplexen Fall auch durch $\phi ^{\ast }\phi$ notiert.

Eigenschaften

Das Betragsquadrat einer komplexen Zahl ist gleich dem Betrag des Quadrats der Zahl, das heißt

$|z|^{2}=|z^{2}|$.

Es gilt nämlich

$|z^{2}|=|(x+iy)^{2}|=|x^{2}-y^{2}+2ixy|={\sqrt {(x^{2}-y^{2})^{2}+(2xy)^{2}}}={\sqrt {(x^{2}+y^{2})^{2}}}=x^{2}+y^{2}=|z|^{2}$.

Bei Darstellung in Polarform $z=r\cdot e^{i\varphi }$ mit $r=|z|$ gilt entsprechend

$|z^{2}|=|r^{2}e^{2i\varphi }|=|r^{2}|\cdot |e^{2i\varphi }|=r^{2}\cdot 1=|z|^{2}$.

Anwendungen

Signaltheorie

In der Signaltheorie ist die Gesamtenergie bzw. die Gesamtleistung eines kontinuierlichen komplexwertigen Signals $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ definiert als das Integral über sein Betragsquadrat, das heißt

$E=\int _{-\infty }^{\infty }|f(t)|^{2}\,dt$.

Die Gesamtenergie entspricht damit dem Quadrat der $L^{2}$-Norm des Signals. Ein zentrales Resultat ist hier der Satz von Parseval, nach dem die Energie eines Signals im Zeitbereich gleich seiner Energie im Frequenzbereich ist. Ist demnach ${\mathcal {F}}$ die (normierte) Fourier-Transformierte von $f$, so gilt

$\int _{-\infty }^{\infty }|f(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }|{\mathcal {F}}(\omega )|^{2}\,d\omega$.

Die Fourier-Transformation erhält also die Gesamtenergie eines Signals und stellt damit eine unitäre Abbildung dar.

Relativitätstheorie

In der Relativitätstheorie werden die Zeit- und Ortskoordinaten eines Ereignisses in der Raumzeit in einem Orts-Vierervektor $r=(c\,t,x,y,z)$ zusammengefasst. Die Zeitkoordinate $t$ wird dabei mit der Lichtgeschwindigkeit $c$ multipliziert, damit sie wie die Raumkoordinaten $(x,y,z)$ die Dimension einer Länge hat. Im Minkowski-Raum der flachen Raumzeit wird nun – abweichend von der oben angebenden Definition für Vektoren im $\mathbb {R} ^{4}$ – das Quadrat des Vierervektors $r$ durch

$r^{2}=c^{2}\,t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$

definiert und kann damit auch eine negative reelle Zahl sein. Für dieses Vierervektorquadrat wird in der Literatur auch der Begriff Betragsquadrat verwendet, obwohl im Minkowski-Raum streng genommen kein Skalarprodukt existiert, das eine Norm und damit ein Betragsquadrat im obigen Sinne – das also auf positive reelle Zahlen abbildet – induziert. Für dieses Betragsquadrat lässt sich zeigen, dass die Lorentz-Transformation für ein Objekt, das sich mit Relativgeschwindigkeit $v$ in $x$-Richtung bewegt

$t'=\gamma (t-vx/c^{2}),\quad x'=\gamma (x-vt),\quad y'=y,\quad z'=z$

mit dem Lorentz-Faktor $\gamma$ längenerhaltend ist. Das heißt für den transformierten Vierervektor $r'=(c\,t',x',y',z')$ gilt

$(r')^{2}=r^{2}$.

Analog dazu wird auch das Betragsquadrat jedes anderen Vierervektors (z.B. Impuls-Vierervektors) definiert, welches dann ebenfalls invariant bezüglich einer Lorentz-Transformation ist.

Quantenmechanik

Das Betragsquadrat wird auch in der Quantenmechanik häufig verwendet. Die dortigen Zustandsvektoren werden in Bra-Ket-Schreibweise notiert. Ein Spaltenvektor wird als „Ket“-Vektor $|\psi \rangle$ geschrieben; der zugehörige Zeilenvektor mit konjugierten Komponenten als „Bra“-Vektor $\langle \psi |=|\psi \rangle ^{\dagger }=(|\psi \rangle ^{*})^{T}$. In dieser Schreibweise lautet das Skalarprodukt von zwei Vektoren

$\langle \phi |\psi \rangle =|\phi \rangle ^{\dagger }\cdot |\psi \rangle$.

Ist beispielsweise einer Observablen der Operator $A$ mit den Eigenwerten $a_{n}$ und den zugehörigen Eigenvektoren $|u_{n}\rangle$ zugeordnet

$A|u_{n}\rangle =a_{n}|u_{n}\rangle$,

so berechnet sich die Wahrscheinlichkeit, den Zustand mit dem Eigenwert $a_{n}$ zu messen, über das Betragsquadrat der entsprechenden Wahrscheinlichkeitsamplitude:

${\mathcal {P}}(a_{n})=|\langle u_{n}|\psi \rangle |^{2}$.

Insbesondere ist das Betragsquadrat der normierten Wellenfunktion aus der Schrödingergleichung die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Teilchens:

$\rho (\mathbf {r} ,t)=|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}=\psi ^{\ast }(\mathbf {r} ,t)\,\psi (\mathbf {r} ,t)$.