Elementare Funktion

Die elementaren Funktionen bezeichnen in der Mathematik immer wieder auftauchende, grundlegende Funktionen, aus denen sich viele andere Funktionen mittels der Grundrechenarten, Verkettung, Differentiation oder Integration bilden lassen. Dabei gibt es keine allgemeingültige Definition, wann eine Funktion elementar genannt wird und wann nicht.

Die elementaren Funktionen ergeben sich oftmals als Lösungen einer einfachen Differential- oder Funktionalgleichung, und sind deshalb – mehr noch als die speziellen Funktionen – auch für viele Naturwissenschaften wie Physik oder Chemie grundlegend, weil sie immer wieder in den unterschiedlichsten Zusammenhängen auftreten.

Von elementar integrierbaren Funktionen wird gesprochen, wenn die Stammfunktion einer elementaren Funktion selbst elementar ist. Wichtige nicht elementar integrierbare Funktionen sind das Fehlerintegral und der Integralsinus. Auch diese Sprechweise ist nicht exakt.

Der Hersteller des Computeralgebrasystems Mathematica, die Wolfram Research Inc., zählt zu den elementaren Funktionen die folgenden:

• Die Potenzfunktionen
• Die Radizierung bzw. das Wurzelziehen als Umkehrung der Potenzfunktionen.
• Die Exponentialfunktion

  1. zur Basis $e$ (der eulerschen Zahl)
  2. zu einer allgemeinen Basis $a$ mit $a^{x}:=e^{x\cdot \ln a}$

• Der natürliche Logarithmus als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.
• Die trigonometrischen Funktionen

  1. Sinus
  2. Kosinus
  3. Tangens
  4. Kotangens
  5. Sekans
  6. Kosekans

• Die Arkusfunktionen als Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen.

  1. Arkussinus
  2. Arkuskosinus
  3. Arkustangens
  4. Arkuskotangens
  5. Arkussekans
  6. Arkuskosekans

• Die hyperbolischen Funktionen

  1. Sinus Hyperbolicus
  2. Kosinus Hyperbolicus
  3. Tangens Hyperbolicus
  4. Kotangens Hyperbolicus
  5. Sekans Hyperbolicus
  6. Kosekans Hyperbolicus

• Die Areafunktionen als Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen.

  1. Areasinus Hyperbolicus
  2. Areakosinus Hyperbolicus
  3. Areatangens Hyperbolicus
  4. Areakotangens Hyperbolicus
  5. Areasekans Hyperbolicus
  6. Areakosekans Hyperbolicus

• Die Min- und Max-Funktion
• Die Lambertsche W-Funktion, auch Produktlogarithmus genannt (siehe jedoch unten Definitionsversuche)

Definitionsversuche

Da es sich trotz aller Unklarheit eingebürgert hat, von „elementaren Funktionen“ zu sprechen, und im Gefolge dessen auch tatsächliche mathematische Fragestellungen aufgeworfen wurden, sind wiederholt Versuche unternommen worden, exakte Definitionen dieses Begriffs zu liefern.

So etwa bezeichnet man in einigen Quellen solche Funktionen als „elementar“, die sich in endlich vielen Schritten allein mit Hilfe

• der vier Grundrechenarten $+,-,\cdot ,/$,
• des Potenzierens bzw. Radizierens $f(x)^{a},{\sqrt[{a}]{f(x)}}$,
• der Exponentialbildung bzw. Logarithmierung $\exp(f(x)),\ln(f(x))$ sowie
• der Verkettung $f\circ g(x)=f(g(x))$

aus einer rationalen Funktion (d. h. dem Quotienten zweier Polynomfunktionen) bilden lassen.

Diese Definition erlaubt es, einer Abbildungsvorschrift sofort anzusehen, ob sie elementar ist, und so lassen sich alle weiter oben aufgeführten Funktionen – bis auf die Lambert-W-Funktion – allein mit Hilfe der genannten Operationen ausdrücken, etwa

$\cos(z)={\tfrac {1}{2}}\left(e^{iz}+e^{-iz}\right)$,

$\operatorname {Arcosh} (z)=\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)$ oder

$\min(x_{1},x_{2})={\frac {1}{2}}\left(x_{1}+x_{2}-{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}}}\right)$.

Außerdem wurde auf der Grundlage dieser Definition der sogenannte Risch-Algorithmus entwickelt, der es ermöglicht zu entscheiden, ob eine gegebene elementare Funktion auch eine elementare Stammfunktion besitzt. Axiom ist bis heute das einzige Computer-Algebra-System mit einer vollständigen Implementierung des Risch-Algorithmus.

Der Nachweis, dass bestimmte Funktionen nicht elementar sind, ist dagegen erst auf Grundlage einer präzisen Definition möglich. So sind beispielsweise die Stammfunktionen von ${\tfrac {\sin x}{x}}$ oder $\exp \left(x^{2}\right)$ gemäß einem Satz von Joseph Liouville nicht „elementar“ im obigen Sinne.

Literatur

• Maxwell Rosenlicht: Liouville's Theorem on Functions with Elementary Integrals. Pacific Journal of Mathematics, 24 (1968) No. 1, S. 153–161
• Maxwell Rosenlicht: Integration in Finite Terms. The American Mathematical Monthly, 79 (1972), S. 963–972