Mathematica

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Mathematica
MathematicaSpikeyVersion8.png
Mathematica logistic bifurcation.png
Basisdaten
Entwickler Wolfram Research
Aktuelle Version 10
(9. Juli 2014)
Betriebssystem Microsoft Windows, Mac OS X, Linux, Solaris
Kategorie Computeralgebrasystem, Informationsvisualisierung, Statistik-Software, Grafische Benutzeroberfläche
Lizenz Proprietäre Software
wolfram.com/products/mathematica

Mathematica ist ein kommerzielles Softwarepaket des Unternehmens Wolfram Research und stellt eines der meistbenutzten mathematisch-naturwissenschaftlichen Programmpakete dar. Mathematica 1.0 wurde 1988 auf den Markt gebracht.

Programmpaket Mathematica[Bearbeiten]

Das Softwarepaket „Mathematica“ enthält unter anderem

Der Autor und Unternehmensbegründer Stephen Wolfram begann die Entwicklungsarbeit im Jahre 1986, die erste Version von Mathematica wurde 1988 herausgebracht.

Benutzung und Arbeitsmethode[Bearbeiten]

Dini-Fläche mit variablen Parametern geplottet

Mathematica unterscheidet zwischen dem Kernel, welcher die eigentlichen Berechnungen vornimmt, sowie dem Notebook, welches eine reine grafische Benutzeroberfläche darstellt. Die Benutzung des Programmes erfolgt in der Regel durch das Notebook, welches die Ein/Ausgabe formatiert darstellt. Das Notebook verfügt außerdem über Funktionen einer Textverarbeitung und erlaubt das Darstellen und Manipulieren von Grafiken. Ein besonderes Merkmal ist auch die umfangreiche Unterstützung mathematischer Sonderzeichen, die in Mathematica (im Gegensatz zu klassischen Programmiersprachen) an jeder Stelle (auch als Variablennamen) genutzt werden können.

Die Auswertung oder Abarbeitung des Programmcodes erfolgt in der Regel gleich nach der Eingabe durch den Kernel (als einen Interpreter), Ergebnisse oder Programmierfehler sind damit sofort ersichtlich, es kann ein interaktives Programmieren erfolgen. Wird Programmcode mehrfach durchlaufen, etwa beim nicht-interaktiven Programmaufruf, so wird der Programmcode automatisch kompiliert. Der Programmcode ist betriebssystemunabhängig. Mathematica wird angeboten für Windows, Linux, Mac OS. Bis einschließlich Version 6.0.3 auch zusätzlich für MS-DOS, NeXT, OS/2, Unix und VMS.

Seit Version 8 ist der sogenannte free form input in Mathematica verfügbar, der es ermöglicht, anstatt der Eingabe der korrekten Syntax für Berechnungen und andere Befehle, „natürliches“ Englisch zu verwenden. Dafür ist allerdings eine Internetverbindung nötig. So wird beispielsweise das gleiche Ergebnis - der Graph der Sinusfunktion mit hellroter Füllung und gestrichelten Linien - erzielt, wenn man

Show[
  Plot[Sin[x], {x, -6.6, 6.6}, 
    Filling -> Axis,
    FillingStyle -> Lighter[Red]
  ],
  GridLines -> Automatic,
  GridLinesStyle -> Dashed
]

eingibt, wie aber auch den free form input verwendend

plot sin x with light red filling and dashed grid lines

als Befehl nimmt. Nachdem man einen mit free form input vorgenommenen Befehl getätigt hat, kann man denselben in die genaue Syntax übersetzen lassen und genauere Änderungen vornehmen, sodass Kenntnis über die Syntax dennoch stark von Vorteil bleibt. [1][2]

Mathematica wird in der Wissenschaft beziehungsweise im Studium natur- oder wirtschaftswissenschaftlicher Fächer eingesetzt. Ebenso wendet es sich an den professionellen Anwender in der Industrie und Wirtschaft. So verwenden Banken Mathematica zur Simulation von Aktienkursentwicklung, Bewertung von Derivaten, Risikoabschätzung bzw. -wandlung und so weiter. Die Anforderung an die Korrektheit der Ergebnisse (analytisch wie numerisch) ist daher hoch.

Neben den Grundrechenarten, Ableitungs- und Integralberechnung, Lösen von Gleichungssystemen, Matrizenmanipulation und numerischen Berechnungen in beliebiger Genauigkeit (keine Beschränkung auf die Maschinenpräzision) sind eine Vielzahl spezieller Funktionen, etwa aus den Bereichen der Kombinatorik, implementiert. Die Programmiersprache von Mathematica umfasst implizite Typenzuweisung und -wandlung, automatisches Speichermanagement und Musterauswertungstechniken (engl. pattern matching). Seit Ende 2013 wird die Programmiersprache Wolfram Language unabhängig von Mathematica vertrieben[3].

Sprache[Bearbeiten]

Die Programmiersprache von Mathematica (also Wolfram) ist stark an die funktionale Programmiersprache Lisp angelehnt. Zusätzlich basiert Mathematica wesentlich auf Pattern Matching. Dies sorgt besonders bei Einsteigern für Verwirrung, weil Patterns, also Muster-Platzhalter, vorkommen, sobald man mit Funktionen arbeitet. Zusammen mit den exzessiv genutzten eckigen Klammern entsteht so ein Code-Aussehen, was sich stark von den verbreiteten C-artigen Programmiersprachen unterscheidet. Bei folgender Definition einer handelt es sich für Mathematica nicht um eine Funktion, sondern um eine Ersetzungsregel, bei der jedes Vorkommen von f[irgendwas] durch irgendwas + irgendwas ersetzt wird, wobei irgendwas sprichwörtlich alles sein kann:

f[x_] = x + x

Eine wirkliche Funktion im Sinne der funktionalen Programmierung/des Lambda-Kalküls wird hingegen durch Function erzeugt: f = Function[x, x + x]

Der Vorteil des Pattern-Matching in der Computeralgebra liegt darin, dass man komplizierte Ersetzungsregeln kompakt schreiben kann. Eine abschnittsweise definierte Funktion könnte man über Matching-Regeln wie folgt definieren:

g[x_ /; x < 7] = 2*x;
g[x_ /; x > 7] = 3*x;

Aufrufe g[3] werden damit als 2*3=6 ausgewertet, wohingegen g[10] die Auswertung 3*10=30 ergibt.

Darstellung des Ausdrucks Plus[a,Sin[Times[b,c]]] als TreeForm

Wie Lisp weist Mathematica die Eigenschaft der Homoikonizität auf. Das bedeutet, dass Mathematica-Code und das Ergebnis einer Berechnung aus demselben Typ Daten besteht. Mathematica-Anweisungen wie -Ausgaben sind eigentlich Bäume, und eine Auswertung einer Eingabe besteht in der Transformation eines solchen Baumes. Aus diesem Grund nennt man das erste Element eines Mathematica-Ausdruckes auch Head, im folgenden Beispiel ist der Head die Anweisung Plus:

Plus[a,Sin[Times[b,c]]]

Als Baum dargestellt sieht dieser Ausdruck wie rechts gezeigt aus. Der Head (also Wurzelknoten) des Baumes ist die Funktion Plus. Mathematica kennt verschiedene Weisen, Ein/Ausgaben darzustellen. In natürlicher Schreibweise entspricht dieser Ausdruck dem besser lesbaren a + Sin[b*c]

Mathematica unterstützt als Computeralgebrasystem die Verarbeitung beliebiger Symbole in derartigen Ausdrücken. Anhand von einer Liste von Ersetzungsregeln werden diese Ausdrücke zu anderen Bäumen umgeformt. So zusammengebaut sind komplexe Rechnungen möglich. Mathematica ist damit dynamisch typisiert. Im Gegensatz zu anderen Sprachen ist bei Mathematica damit eine nicht auswertbare Zeile im Allgemeinen keine Fehler, sondern verbleibt unverändert als Rückgabe[4].

Der Programmierer ist nicht auf ein einziges Programmierparadigma festgelegt, sondern kann ebenso imperative Anweisungen programmieren. Durch zehntausende von eingebauten Funktionen kann man sehr schnell umfangreiche Programme schreiben.

Sprachbeispiele[Bearbeiten]

Beispiel 1: Primzahlen[Bearbeiten]

Mehrere Primzahlen werden von der Funktion berechnet

Prime[#] & /@ {1, 2, 3, 4, 5}

Ausgabe {2, 3, 5, 7, 11}

Beispiel 2: Mittelwertsberechnung[Bearbeiten]

Untenstehend drei Arten, mit „Mathematica“ den Mittelwert einer Werteliste zu berechnen. Im interaktiven Modus nummeriert Mathematica die Ein- und Ausgaben und liefert die Ergebnisse direkt.

Werteliste definieren:

In[1] := myData = Range[8]
Out[1] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Mathematica-eigene Funktion benutzen:

In[2] := Mean[myData]
Out[2] = 9/2

Listenmanipulation benutzen:

In[3] := Plus@@myData / Length[myData]
Out[3] = 9/2

Prozedurales Vorgehen:

In[4] := summe = 0
Out[4] = 0
In[5] := For[ j=1,j <= Length[myData], j++, summe += myData[[j]] ]
In[6] := summe / Length[myData]
Out[6] = 9/2

Versionsgeschichte[Bearbeiten]

Version Veröffentlichung
1.0 23. Juni 1988
1.1 31. Oktober 1988
1.2 1. August 1989
2.0 15. Januar 1991
2.1 15. Juni 1992
2.2 1. Juni 1993
3.0 3. September 1996
4.0 19. Mai 1999
4.1 2. November 2000
4.2 1. November 2002
5.0 12. Juni 12 2003
5.1 25. Oktober 2004
5.2 20. Juni 2005
6.0 1. Mai 2007
7.0 18. November 2008
7.0.1 5. März 2009
8.0 15. November 2010
8.0.1 7. März 2011
8.0.4 24. Oktober 2011
9.0 28. November 2012
9.0.1 30. Januar 2013
10 9. Juli 2014
10.0.1 17. September 2014

Probleme[Bearbeiten]

2014 haben drei Mathematiker festgestellt, dass Mathematica bei der Berechnung von Determinanten bestimmter Matrizen mit recht großen Ganzzahlen (10.000 Stellen) falsche Ergebnisse liefert. Dieser Fehler sei 2013 gemeldet und auch nach über einem Jahr nicht behoben worden; die Darstellung von Wolfram Research widerspricht diesen Angaben jedoch in Teilen und geht von einem neuen Fehler aus.[5]

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Michael Trott: The Mathematica GuideBook for Symbolics. Springer, 2006.
  • Michael Trott: The Mathematica GuideBook for Programming. Springer, 2004.
  • Michael Trott: The Mathematica GuideBook for Numerics. Springer, 2006.
  • Michael Trott: The Mathematica GuideBook for Graphics. Springer, 2004.
  •  Stephen Wolfram: The Mathematica Book. 5 Auflage. Wolfram Media, 1. Februar 2004, ISBN 978-1579550226.
  •  Leonid Shifrin: Mathematica programming. (kostenloses E-Book, http://www.mathprogramming-intro.org/).
  •  David B. Wagner: Power Programming With Mathematica: The Kernel. McGraw-Hill Education, Februar 1996, ISBN 978-0079122377 (kostenloses E-Book zu Mathematica, PDF-Datei).

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Mathematica – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. http://www.wolfram.com/broadcast/screencasts/first-ten-minutes/ Video über den free form input
  2. http://www.wolfram.com/mathematica/new-in-8/free-form-linguistic-input/ free form linguistic input
  3. Heise, 15. November 2013: Mathematica-Chef Wolfram kündigt Programmiersprache an, Herstellerlink: Wolfram Programming Language
  4. Fehlerausgaben sind aber dennoch möglich, zB bei Übergabe ungeeigneter Argumente an eine (eingebaute) Funktion wie Plot.
  5. http://www.heise.de/newsticker/meldung/Mathematica-rechnet-falsch-2435319.html