Feinstruktur (Physik)

Als Feinstruktur wird die Aufspaltung von einzelnen Spektrallinien in mehrere dicht beieinander liegende Linien innerhalb der Linienspektren von Atomen bezeichnet. Dies bedeutet, dass es im jeweiligen Atom Energieniveaus gibt, die sehr nahe zusammen liegen, da jede Spektrallinie einem Abstand von Energieniveaus zugeordnet werden kann.

Die Größenordnung dieser feineren Aufspaltung ist jedoch im Vergleich zu den übrigen Niveaus etwa $10^{4}$mal geringer, da die Korrekturen mit $(Z\alpha)^2$ gehen, wobei $Z$ die Kernladungszahl und α die Feinstrukturkonstante sind. So beträgt die Änderung der Wellenlängen für die H_α-, H_β- und H_γ-Linie der Balmer-Serie beim Wasserstoffatom nur 0,14 Å, 0,08 Å bzw. 0,07 Å (zum Vergleich: die Wellenlänge der H_α-Linie liegt bei 6562,8 Å). Dies erklärt auch die relativ späte Entdeckung der Feinstruktur durch Willis Eugene Lamb, für die er 1955 den Nobelpreis für Physik erhielt.

Ursprung

Die Aufhebung der Entartung der Energieniveaus ist eine Folge der Dirac-Gleichung der relativistischen Quantenmechanik .

Anschaulicher lässt sich die Feinstruktur als Folge der etwas anderen kinetischen Energie in der Relativitätstheorie, der Spin-Bahn-Kopplung und einem Effekt, der durch den Darwin-Term beschrieben wird, verstehen.

Um diese rein relativistischen Effekte in der Quantenmechanik zu berücksichtigen, addiert man zum Hamiltonoperator des Systems Korrekturterme. In erster Ordnung lautet der Hamiltonoperator dann:

$H= m_\mathrm{e}c^2 + H_0 + W_\mathrm{M} + W_\mathrm{SB} + W_\mathrm{D} + \ldots$,

wobei $m_\mathrm{e}c^2$ die Ruheenergie des Elektrons und $H_0$ der nichtrelativistische Hamiltonoperator ist.

Dabei ist $W_\mathrm{M}$ der relativistische Korrekturterm der kinetischen Energie:

$W_\mathrm{M} = -\frac{\vec{p}^{\;4}}{8m_\mathrm{e}^3c^2}$,

$W_\mathrm{SB}$ ist der Korrekturterm zur Spin-Bahn-Kopplung:

$W_\mathrm{SB} = \frac{1}{2m_\mathrm{e}^2c^2}\vec{S}\cdot \vec{L}\,\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}V(r)}{\mathrm{d}r}$

und $W_\mathrm{D}$ ist der sog. Darwin-Term als Korrektur der potentiellen Energie

$W_\mathrm{D} = \frac{\hbar^2}{8 m_\mathrm{e}^2c^2} \Delta V(r)$.

Die Energieverschiebung, die man als Feinstruktur bezeichnet, ist dann $\Delta E = E_\mathrm{M} + E_\mathrm{SB} + E_\mathrm{D}$ (relativistische Massenkorrektur, Spin-Bahn-Kopplung, Darwin-Term).

Diese Korrekturterme der nichtrelativistischen Schrödinger-Gleichung (bzw. Pauli-Gleichung) kommen aus der Lösung der relativistischen Dirac-Gleichung für das Atom.

Neben der Feinstruktur kann man auch noch feinere Strukturen in den Spektren beobachten: die Hyperfeinstruktur, welche jedoch kein relativistischer Effekt ist, sondern eine Wechselwirkung zwischen Elektron und Kernspin.

Im Wasserstoffatom

Beim Wasserstoffatom kann man relativistische Effekte, Spin-Bahn-Wechselwirkung und Darwin-Term zu folgender Formel für die Korrektur der Energieniveaus zusammenfassen:

$\Delta E_\mathrm{FS} = E_\mathrm{n} \left[\frac{Z^2 \alpha^2}{n^2}\left(\frac{n}{j + \frac{1}{2}} - \frac{3}{4} \right) \right]$.

Diese Formel verursacht für jedes mögliche n und j eine Absenkung der Energie.

Mit der Energie der Niveaus im Wasserstoffatom ohne Feinstruktur

$E_\mathrm{n} = R_\mathrm{At} \frac{Z^2}{n^2}$

und der Feinstrukturkonstante $\alpha$.