Planck-Einheiten

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Die Planck-Einheiten bilden ein System natürlicher Einheiten für die physikalischen Größen. Sie werden direkt als Produkte und Quotienten der fundamentalen Naturkonstanten berechnet: aus der Gravitationskonstanten $\textstyle G$, der Lichtgeschwindigkeit $\textstyle c$, dem reduzierten planckschen Wirkungsquantum $\textstyle \hbar$, sowie der Boltzmann-Konstanten $\textstyle k_{\mathrm {B} }$ und der Coulomb-Konstante $k_{C}=1/(4\pi \textstyle \varepsilon _{0})$ (mit der elektrischen Permittivität des Vakuums $\textstyle \varepsilon _{0}$). In Planck-Einheiten ausgedrückt haben diese Naturkonstanten (oder bestimmte konventionelle Vielfache dieser) daher allesamt den Zahlenwert 1. In diesem Einheitensystem sind dann viele Berechnungen numerisch einfacher. Die Planck-Einheiten sind nach Max Planck benannt, der 1899 bemerkte, dass mit seiner Entdeckung des Wirkungsquantums nun genügend fundamentale Naturkonstanten bekannt waren, um universelle Einheiten für Länge, Zeit, Masse und Temperatur zu definieren.

Die Bedeutung der Planck-Einheiten liegt zum einen darin, dass dieselben Naturkonstanten und daraus folgend die Planck-Einheiten „unabhängig von speziellen Körpern oder Substanzen ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch außerirdische und außermenschliche Kulturen notwendig behalten und […] daher als ‚natürliche Maßeinheiten‘ bezeichnet werden können.“ Zum anderen markieren die Planck-Einheiten für Länge und Zeit eine Grenze, hinter der die bisher bekannten physikalischen Gesetze nicht mehr anwendbar sind, z. B. bei der theoretischen Aufklärung der Vorgänge kurz nach dem Urknall (siehe Planck-Skala).

Allgemeines

Je nach Anwendungsgebiet nutzt man auch ein an die Planck-Einheiten angelehntes natürliches Einheitensystems basierend auf Vielfachen oder Teilen der Naturkonstanten, z. B. $\textstyle h=2\pi \hbar$ an Stelle von $\textstyle \hbar$.

In der allgemeinen Relativitätstheorie und insbesondere in der Kosmologie vereinfachen sich die Formeln, wenn Lichtgeschwindigkeit und Gravitationskonstante auf den dimensionslosen Wert 1 gesetzt werden, was das sogenannte geometrische Einheitensystem ist. Gelegentlich wird auch die Konvention $8\pi G=1$ benutzt.

Die Planck-Einheiten vereinigen diese Ansätze und stellen damit das natürliche Einheitensystem der Quantengravitation dar.

Definitionen

Grundgrößen

Die Planck-Einheiten ergeben sich aus einer einfachen Dimensionsbetrachtung. Sie ergeben sich als mathematische Ausdrücke von der Dimension einer Länge, Zeit bzw. Masse, die nur Produkte und Quotienten geeigneter Potenzen von $G$, $c$ und $\hbar$ enthalten. Benutzt man zusätzlich die elektrische Permittivität des Vakuums $\varepsilon _{0}$ und die Boltzmann-Konstante $k$, so lassen sich außerdem eine Planck-Ladung und eine Planck-Temperatur als weitere Grundgrößen bestimmen. Die Planck-Ladung erfüllt dabei die Bedingung, dass die Gravitationskraft zwischen zwei Planck-Massen und die elektromagnetische Kraft zwischen zwei Planck-Ladungen gleich stark sind: $m_{P}^{2}G/r_{P}^{2}=q_{P}^{2}/4\varepsilon _{0}r_{P}^{2}\pi$.

Name	Größe	Dimension	Term	Ungefähres SI-Äquivalent	Andere Äquivalente
Planck-Masse	Masse	M	$m_{\mathrm {P} }={\sqrt {\frac {\hbar \,c}{G}}}$	2,176 · 10−8 kg	1,311 · 1019 u
Planck-Länge	Länge	L	$l_{\mathrm {P} }={\sqrt {\frac {\hbar \,G}{c^{3}}}}$	1,616 · 10−35 m	3,054 · 10−25 a0
Planck-Zeit	Zeit	T	$\!\,t_{\mathrm {P} }={\frac {l_{\mathrm {P} }}{c}}$	5,391 · 10−44 s
Planck-Ladung	Ladung	I T	$q_{\mathrm {P} }={\sqrt {\hbar \,c\,4\,\pi \,\varepsilon _{0}}}$	1,876 · 10−18 C	11,71 e
Planck-Temperatur	Temperatur	Θ	$\!\,T_{\mathrm {P} }={\frac {m_{\mathrm {P} }\,c^{2}}{k}}$	1,417 · 1032 K

Die Formelzeichen bedeuten:

• $c$ = Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
• $G$ = Gravitationskonstante
• $\varepsilon _{0}$ = Elektrische Feldkonstante (Permittivität des Vakuums)
• $k$ = Boltzmann-Konstante
• $\hbar$ = reduziertes plancksches Wirkungsquantum, das als $\hbar \ ={\frac {h}{2\pi }}$, also $\textstyle h=2\pi \hbar$, definiert ist

Statt $\,G$ wird manchmal $\,8\pi G$ zu Eins gesetzt, dann ergibt sich als Masseeinheit die reduzierte Planck-Masse:

${\overline {m_{\mathrm {P} }}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{8\pi G}}}\approx 4{,}340\,\mathrm {\mu g}$

Hierdurch wird jedoch die Äquivalenz der Wechselwirkungen gegenüber der Planck-Ladung gestört, sofern diese nicht ebenso reduziert wird.

Abgeleitete Größen

Neben diesen fünf Grundgrößen werden auch folgende abgeleitete Größen verwendet:

Name	Größe	Dimension	Term	Ungefähres SI-Äquivalent
Planck-Fläche	Fläche	L2	$l_{\mathrm {P} }^{2}={\frac {\hbar G}{c^{3}}}$	2,612 · 10−70 m2
Planck-Volumen	Volumen	L3	$l_{\mathrm {P} }^{3}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}^{\,3}$	4,222 · 10−105 m3
Planck-Energie	Energie	ML2T−2	$E_{\mathrm {P} }=m_{\mathrm {P} }c^{2}={\frac {\hbar }{t_{\mathrm {P} }}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}$	1,956 · 109 J (= 1,2209 · 1028eV) (= 543,4 kWh)
Planck-Impuls	Impuls	MLT−1	$m_{\mathrm {P} }c={\frac {\hbar }{l_{\mathrm {P} }}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}$	6,525 kg m·s−1
Planck-Kraft	Kraft	MLT−2	$F_{\mathrm {P} }={\frac {E_{\mathrm {P} }}{l_{\mathrm {P} }}}={\frac {\hbar }{l_{\mathrm {P} }t_{\mathrm {P} }}}={\frac {c^{4}}{G}}$	1,210 · 1044 N
Planck-Leistung	Leistung	ML2T−3	$P_{\mathrm {P} }={\frac {E_{\mathrm {P} }}{t_{\mathrm {P} }}}={\frac {\hbar }{t_{\mathrm {P} }^{2}}}={\frac {c^{5}}{G}}$	3,628 · 1052 W
Planck-Dichte	Dichte	ML−3	$\rho _{\mathrm {P} }={\frac {m_{\mathrm {P} }}{l_{\mathrm {P} }^{3}}}={\frac {\hbar t_{\mathrm {P} }}{l_{\mathrm {P} }^{5}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}$	5,155 · 1096 kg·m−3
Planck-Kreisfrequenz	Kreisfrequenz	T−1	$\omega _{\mathrm {P} }={\frac {1}{t_{\mathrm {P} }}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}$	1,855 · 1043 s−1
Planck-Druck	Druck	ML−1T−2	$p_{\mathrm {P} }={\frac {F_{\mathrm {P} }}{l_{\mathrm {P} }^{2}}}={\frac {\hbar }{l_{\mathrm {P} }^{3}t_{\mathrm {P} }}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}$	4,633 · 10113 Pa
Planck-Strom	Elektrischer Strom	QT−1	$I_{\mathrm {P} }={\frac {q_{\mathrm {P} }}{t_{\mathrm {P} }}}={\sqrt {\frac {c^{6}4\pi \varepsilon _{0}}{G}}}$	3,479 · 1025 A
Planck-Spannung	Elektrische Spannung	ML2T−2Q−1	$U_{\mathrm {P} }={\frac {E_{\mathrm {P} }}{q_{\mathrm {P} }}}={\frac {\hbar }{t_{\mathrm {P} }q_{\mathrm {P} }}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{G4\pi \varepsilon _{0}}}}$	1,043 · 1027 V
Planck-Impedanz	Widerstand	ML2T−1Q−2	$Z_{\mathrm {P} }={\frac {V_{\mathrm {P} }}{I_{\mathrm {P} }}}={\frac {\hbar }{q_{\mathrm {P} }^{2}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c}}={\frac {Z_{0}}{4\pi }}$	29,98 Ω
Planck-Beschleunigung	Beschleunigung	LT−2	$g_{\mathrm {P} }={\frac {F_{\mathrm {P} }}{m_{\mathrm {P} }}}={\sqrt {\frac {c^{7}}{\hbar G}}}$	5,56 · 1051 m·s−2
Planck-Magnetfeld	Magnetische Flussdichte	MI−1T−2	$B_{\mathrm {P} }={\sqrt {2\mu _{0}p_{\mathrm {P} }}}={\frac {\sqrt {\frac {c^{9}\varepsilon _{0}}{2\hbar }}}{G}}$	4,29361 · 1059 T

Die Planck-Einheit für den Drehimpuls ergibt sich aus dem Produkt von Planck-Länge und Planck-Impuls zu dem Wert $\hbar$. Das ist gerade die aus der Quantenmechanik bekannte Einheit der Drehimpulsquantelung.

Die Planck-Fläche $l_{\mathrm {P} }^{2}$ spielt insbesondere in Stringtheorien und bei Überlegungen zur Entropie Schwarzer Löcher in Zusammenhang mit dem holografischen Prinzip eine wichtige Rolle.

Geschichte

Ende des 19. Jahrhunderts entdeckte Planck bei seinen Untersuchungen zur Theorie der Strahlung Schwarzer Körper, für die er zwei Jahrzehnte später den Nobelpreis für Physik erhielt, die letzte zur Definition der Planck-Einheiten erforderliche Naturkonstante, das später nach ihm benannte Wirkungsquantum. Er erkannte die Möglichkeit, damit ein universell gültiges System von Einheiten zu definieren und erwähnte diese in einem Vortrag „Über irreversible Strahlungsvorgänge“. Das folgende Zitat vermittelt einen Eindruck von dem Stellenwert, den Planck diesen Einheiten einräumte

„… ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch außerirdische und außermenschliche Culturen nothwendig behalten und welche daher als ‚natürliche Maaßeinheiten‘ bezeichnet werden können …“

– Max Planck

Obwohl Planck diesem Einheitensystem ein Kapitel (§ 159. Natürliche Maßeinheiten) seines 1906 erschienenen Buches „Theorie der Wärmestrahlung“ widmete und dieses Thema auch später wieder aufgriff, wurde es auch innerhalb der Physik nicht verwendet. Den Nachteilen, dass für die Verwendung in einem Maßsystem der Wert der Gravitationskonstanten nicht genau genug bekannt war (und noch ist), und dass praxisrelevante Größen – in seinen Einheiten ausgedrückt – absurde Zahlenwerte hätten, stand kein Vorteil gegenüber, da in keiner physikalischen Theorie gleichzeitig das Wirkungsquantum und die Gravitationskonstante auftauchte.

Erst nach ersten Arbeiten zur Vereinigung von Quantentheorie und Gravitation in den späten 1930ern entstand das spätere Anwendungsgebiet der Planck-Einheiten. Als John Archibald Wheeler und Oskar Klein 1955 über die Planck-Länge als Grenze der Anwendbarkeit der Allgemeinen Relativitätstheorie veröffentlichten, war Plancks Vorschlag schon fast vergessen. Nach der „Wiederentdeckung“ der Planckschen Vorschläge für ein solches Maßsystem wurde dann ab 1957 der Name Planck-Einheiten gebräuchlich.

Allerdings unterscheiden sich die heute üblichen Planck-Einheiten von Plancks ursprünglichen Einheiten, da sich im Zuge der Entwicklung der Quantenmechanik gezeigt hat, dass $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ die praktischere natürliche Einheit ist als das von Planck gewählte $h$.

Heutige Bedeutung

Formuliert man Gleichungen, die die Naturkonstanten $G$, $c$ und $\hbar$ enthalten, in Planck-Einheiten, so können die Konstanten entfallen. Dies vereinfacht in bestimmten Disziplinen der theoretischen Physik die Gleichungen erheblich, etwa in der allgemeinen Relativitätstheorie, in den Quantenfeldtheorien und in den verschiedenen Ansätzen für eine Quantengravitation.

Die Planck-Einheiten ermöglichen auch eine alternative Sichtweise auf die fundamentalen Kräfte der Natur, deren Stärke im Internationalen Einheitensystem (SI) durch sehr unterschiedliche Kopplungskonstanten beschrieben wird. Bei Verwendung der Planck-Einheiten stellt sich die Situation wie folgt dar: Zwischen zwei Partikeln, die genau die Planckmasse und die Planckladung besitzen, wären die Gravitationskraft und die elektromagnetische Kraft exakt gleich groß. Die unterschiedliche Stärke dieser Kräfte in unserer Welt ist die Folge davon, dass ein Proton bzw. ein Elektron eine Ladung von etwa 0,085 Planckladungen besitzt, während ihre Massen um 19 bzw. 22 Größenordnungen kleiner als die Planckmasse sind. Die Frage: „Warum ist die Gravitation so schwach?“ ist also äquivalent zu der Frage: „Warum haben die Elementarteilchen so geringe Massen?“.

Verschiedene Physiker und Kosmologen befass(t)en sich mit der Frage, ob wir es bemerken könnten, wenn sich dimensionale physikalische Konstanten geringfügig ändern würden, und wie die Welt bei größeren Änderungen aussähe. Solche Spekulationen werden u. a. bei der Lichtgeschwindigkeit $c$ und der Gravitationskonstanten $G$ angestellt, letztere schon seit etwa 1900 in der Expansionstheorie der Erde. Der Atomphysiker George Gamow meint in seinem populärwissenschaftlichen Buch Mr. Tompkins im Wunderland, dass eine Änderung von $c$ deutliche Änderungen zur Folge hätte.

Weblinks

• Was ist die Planck-Welt? aus der Fernseh-Sendereihe alpha-Centauri (ca. 15 Minuten). Erstmals ausgestrahlt am 21. Juli 2004.
• Die Planckeinheiten und deren Interpretation von Jörg Resag.