Kerr-Metrik

Vorlage:Metriken schwarzer Löcher Die Kerr-Metrik ist eine Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen für ungeladene, rotierende schwarze Löcher. Sie ist nach Roy Kerr benannt, der sie 1963 veröffentlicht hat. Jeweils kurz nach der Entdeckung der Schwarzschild- bzw. Kerr-Metrik wurden auch die zugehörigen Verallgemeinerungen für den Fall von elektrisch geladenen schwarzen Löchern gefunden.

Linienelement

Boyer-Lindquist Koordinaten

Das Linienelement der Kerr-Raumzeit lautet in Boyer-Lindquist-Koordinaten und geometrisierten Einheiten, d.h. $G=c=1$:

${\mathrm {d} \tau }^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}\ r}{\Sigma }}\right)\mathrm {d} t^{2}\ +\ {\frac {2\ r_{s}\ r\ a\ \sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \phi \ -$ $\ {\frac {\Sigma }{\Delta }}\mathrm {d} r^{2}\ -\ \Sigma \ \mathrm {d} \theta ^{2}\ -\ {\frac {\Xi }{\Sigma }}\sin ^{2}\theta \ \mathrm {d} \phi ^{2}$

Dabei ist

$r_{s}=2M,\quad a=J/M,\quad \Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta ,\quad \Delta =r^{2}-r_{s}r+a^{2},\quad \Xi =\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\ \sin ^{2}\theta \ \Delta$

$\tau$ ist die Eigenzeit, $M$ die Masse des felderzeugenden Körpers und $r_{\rm {s}}$ der Schwarzschild-Radius. Der Parameter $a$ wird auch Kerrparameter genannt. Er ist gemäß Definition proportional zum Drehimpuls $J$ der rotierenden Masse. Ist der Kerrparameter positiv, so führt der Körper der Masse $M$ eine prograde Rotation aus. Im Fall eines negativen Kerrparameters ist die Rotation retrograd.

In kartesischen Koordinaten mit

$x={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \ \cos \phi \ ,\ \ y={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \ \sin \phi \ ,\ \ z=r\cos \theta$

ergibt sich aus dem obigen Linienelement

${\rm {d}}x={\rm {d}}r\ {\frac {r\cos \phi \sin \theta }{\sqrt {a^{2}+r^{2}}}}+{\rm {d}}\theta {\sqrt {a^{2}+r^{2}}}\cos \phi \cos \theta -{\rm {d}}\phi {\sqrt {a^{2}+r^{2}}}\sin \phi \sin \theta$

${\rm {d}}y={\rm {d}}r\ {\frac {r\sin \phi \sin \theta }{\sqrt {a^{2}+r^{2}}}}+{\rm {d}}\theta {\sqrt {a^{2}+r^{2}}}\sin \phi \cos \theta -{\rm {d}}\phi {\sqrt {a^{2}+r^{2}}}\cos \phi \sin \theta$

${\rm {d}}z={\rm {d}}r\ \cos \theta -{\rm {d}}\theta \ r\ \sin \theta$

Für den Fall der verschwindenden Rotation $a=0$ reduziert sich das Linienelement auf das Schwarzschild-Linienelement in Schwarzschild-Koordinaten, und für den Fall der verschwindenden Masse $M=0$ auf das Linienelement der Minkowski-Raumzeit in Kugelkoordinaten.

Kerr-Schild Koordinaten

Um die Koordinatensingularität am Ereignishorizont zu vermeiden kann in Kerr-Schild-Koordinaten transformiert werden. In diesen lautet das Linienelement

${\rm {d}}\tau ^{2}={\rm {d}}x^{2}+{\rm {d}}y^{2}+{\rm {d}}z^{2}-{\rm {d}}{\hat {t}}^{2}+{\frac {r_{\rm {s}}\ r^{3}}{r^{4}+a^{2}\ z^{2}}}\ \left({\rm {d}}{\hat {t}}+{\frac {r\ (x\ {\rm {d}}x+y\ {\rm {d}}y)}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {a\ (y\ {\rm {d}}x-x\ {\rm {d}}y)}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {z\ {\rm {d}}z}{r}}\right)^{2}$

mit der Koordinatenzeit

${\hat {t}}=t+r_{\rm {s}}\int {\frac {r\ {\rm {d}}r}{\Delta }}\ ,\ \ {\rm {d}}{\hat {t}}={\rm {d}}t+r_{\rm {s}}\ {\rm {d}}r\ r/\Delta$

dem Azimuthalwinkel

${\hat {\phi }}=\phi +a\ \int {\frac {{\rm {d}}r}{\Delta }}\ ,\ \ {\rm {d}}{\hat {\phi }}={\rm {d}}\phi +{\rm {d}}r\ a/\Delta$

und der Transformationsregel

$x=(r\ \cos {\hat {\phi }}+a\ \sin \ {\hat {\phi }})\ \sin \theta \ ,\ \ y=(r\ \sin {\hat {\phi }}-a\ \cos \ {\hat {\phi }})\ \sin \theta \ ,\ \ z=r\cos \theta$

bzw. im Umkehrschluss

$r={\sqrt {\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}-a^{2}+{\sqrt {\left(a^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right)^{2}+4\ a^{2}\ z^{2}}}}{2}}}$

Diese Koordinaten wurden von Roy Kerr in seiner originalen Arbeit von 1963 verwendet. Mit $a=0$ reduziert sich das Linienelement auf das Schwarzschild-Linienelement in erweiterten Eddington-Finkelstein-Koordinaten.

Gradient

Da eine Überprüfung der Kerr-Metrik nur über umfangreiche Rechnungen möglich ist, werden hier die kontravarianten Komponenten des metrischen Tensors über das Quadrat des Vierer-Gradienten-Operators gezeigt:

${\begin{aligned}\partial ^{\mu }\partial _{\mu }=&g^{\mu \nu }{\frac {\partial }{\partial {x^{\mu }}}}{\frac {\partial }{\partial {x^{\nu }}}}={\frac {1}{\Delta }}\left(r^{2}+a^{2}+{\frac {r_{s}ra^{2}}{\Sigma }}\sin ^{2}\theta \right)\left({\frac {\partial }{\partial {t}}}\right)^{2}+{\frac {2r_{s}ra}{\Sigma \Delta }}{\frac {\partial }{\partial {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial {t}}}\\&-{\frac {1}{\Delta \sin ^{2}\theta }}\left(1-{\frac {r_{s}r}{\Sigma }}\right)\left({\frac {\partial }{\partial {\phi }}}\right)^{2}-{\frac {\Delta }{\Sigma }}\left({\frac {\partial }{\partial {r}}}\right)^{2}-{\frac {1}{\Sigma }}\left({\frac {\partial }{\partial {\theta }}}\right)^{2}\end{aligned}}$

Besondere Flächen

Datei:Schematic Kerr Black Hole de.jpg

Schematische Darstellung der Ereignishorizonte, Ergo-Oberflächen und der Krümmungs-Singularität.

Geometrische Darstellung der Ereignishorizonte und Ergosphären der Kerr-Raumzeit in kartesischen Hintergrundkoordinaten. Die Ringsingularität liegt an der äquatorialen Ausbuchtung der inneren Ergosphäre bei R=a.

In Boyer-Lindquist-Koordinaten entartet die Kerr-Metrik auf mehreren Flächen. Mit den Bezeichnungen von oben kann beispielsweise der Nenner der rein radialen Komponente der Kerr-Metrik $g_{rr}$ gleich Null werden, wenn $\Delta =0$ gilt.

Diese Bedingung wird genau dann erfüllt, wenn

$r_{\text{event}}=M\pm {\sqrt {M^{2}-a^{2}}}.$

Bei maximaler Rotation mit $a=M$ fallen beide Werte mit dem Gravitationsradius $r_{G}=M$ zusammen. Bei minimaler Rotation mit $a=0$ fällt der positive Wert mit dem Schwarzschild-Radius $r_{s}$ zusammen und der negative Wert fällt auf das Zentrum. Deshalb werden diese beiden Flächen auch als innerer und äußerer Ereignishorizont bezeichnet. Obwohl die radiale Koordinate $r$ bei beiden Ereignishorizonten einen konstanten Wert besitzt, zeigt das Krümmungsverhalten der Ereignishorizonte, dass diese eher die geometrischen Eigenschaften eines Rotationsellipsoids besitzen. Der innere Ereignishorizont, bei dem es sich um einen Cauchy-Horizont handelt, entzieht sich so lange der Spinparameter $a<M$ der direkten Beobachtung. Da die Raumzeit im Inneren desselben extrem instabil ist, gilt es als eher unwahrscheinlich dass sich ein solcher bei einem realen Kollaps eines Sterns tatsächlich ausbildet.

Zwei weitere Flächen ergeben sich in Boyer-Lindquist-Koordinaten aufgrund eines Vorzeichenwechsels der zeitartigen Komponente $g_{tt}$. Die Bedingung $g_{tt}=0$ führt hier erneut auf eine quadratische Gleichung mit den Lösungen

$r_{\text{ergo}}=M\pm {\sqrt {M^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}.$

Diese zwei Flächen können wegen des Terms $\cos ^{2}\theta$ unter der Wurzel bei geringem Spinparameter als abgeflachte Sphären, bzw. Rotationsellipsoide dargestellt werden. Die äußere Fläche berührt dabei den äußeren Ereignishorizont an den zwei Polen, die durch die Rotationsachse definiert werden. Die beiden Pole entsprechen einem Winkel $\theta$ von $0$ bzw. $\pi$. Bei einem höheren Spinparameter beult sich die Ergosphäre von den Polen weg auch auf der z-Achse kürbisförmig aus während der innere Ereignishorizont auf den äußeren zukonvergiert und bei $a=M$ mit diesem zusammenfällt.

Der Raum zwischen den zwei äußeren Flächen mit $r=r_{\text{event}}^{\text{+}}$ und $r=r_{\text{ergo}}^{\text{+}}$ wird Ergosphäre genannt. Normalerweise erfährt jedes Teilchen eine positive Eigenzeit entlang seiner Weltlinie. Da die rein zeitliche Komponente $g_{tt}$ der Metrik hier negativ ist, ist dies jedoch erst dann möglich, wenn das Teilchen mit einer gewissen mindesten Winkelgeschwindigkeit $\Omega$ mit der inneren Masse $M$ mitrotiert. Es kann deshalb innerhalb der Ergosphäre keine Teilchen geben, die sich in entgegengesetzter Richtung zu der Masse auf der Ringsingularität drehen, da die lokale Transversalgeschwindigkeit des Raumzeitstrudels (der Frame-Dragging-Effekt) $v_{\rm {zamo}}=\Omega \ {\bar {R}}\ \varsigma$ ab dem äußeren Rand der Ergosphäre größer gleich der Lichtgeschwindigkeit $c$ ist.

Bei $a\geq M$ würde eine nackte Singularität auftreten, da der Ereignishorizont bei derartig hohen Drehimpulswerten „zerreißt“. Kip Thorne folgerte schon 1974 aus Computersimulationen des Wachstums von Schwarzen Löchern aus Akkretionsscheiben dass schwarze Löcher diesen Grenzwert nicht erreichen (seine Simulationen deuteten damals auf einen maximalen Spin von $a\approx 0{,}998M$). Auch Simulationen der Kollision zweier Schwarzer Löcher bei hohen Energien von 2009 von E. Berti und Kollegen zeigten, dass man dabei dem Grenzwert zwar sehr nahe kommt ($a=0,95M$), er aber nicht überschritten wird, da Energie und Drehimpuls durch Gravitationswellen abgestrahlt werden. Allgemein wird meist davon ausgegangen, dass der Grenzwert prinzipiell nicht überschritten werden kann (als Teil der Cosmic Censorship Hypothese).

Wie bei der Schwarzschild-Metrik in Schwarzschildkoordinaten sind die Polstellen der Kerr-Metrik, welche die Lage der Ereignishorizonte beschreiben, in Boyer-Lindquist-Koordinaten ebenfalls nur Koordinaten-Singularitäten. Durch eine andere Wahl der Koordinaten kann die Raumzeit der Kerr-Metrik ebenfalls bis in das Innere der Ereignishorizonte stetig und ohne Polstellen in der Metrik beschrieben werden.

Bahn von Testkörpern

Prograde Bahn eines Testkörpers um ein rotierendes Schwarzes Loch mit a=0,9M.

Retrograde Bahn bei einem Spinparameter von a=0,95M.

Die Gleichung für die Bewegung eines Testkörpers in der Kerr Raumzeit kann über geeignete Hamilton-Jacobi Gleichungen erhalten werden. Eine für die numerische Integration geeignete Form dieser Gleichungen in Boyer-Lindquist-Koordinaten lauten mit den inversen Metrik-Komponenten

$g^{tt}={\frac {\Xi }{\Delta \ \Sigma }}$

$g^{t\phi }=-{\frac {2\ a\ r}{\Delta \ \Sigma }}$

$g^{\phi \phi }={\frac {\Delta -a^{2}\ \sin ^{2}\theta }{\Delta \ \Sigma \ \sin ^{2}\theta }}$

$g^{rr}={\frac {\Delta }{\Sigma }}$

$g^{\theta \theta }={\frac {1}{\Sigma }}$

in den natürlichen Einheiten $G=M=c=1$:

${\dot {t}}={\frac {2\ E\ r\ \left(a^{2}+r^{2}\right)-2\ a\ L_{z}\ r}{\Delta \ \Sigma }}+E$

${\dot {r}}={\frac {\Delta \ p_{r}}{\Sigma }}$

${\dot {p}}_{r}={\frac {(r-1)\left(\mu \ \left(a^{2}+r^{2}\right)-k\right)+2\ E^{2}\ r\left(a^{2}+r^{2}\right)-2\ a\ E\ L_{z}+\Delta \ \mu \ r}{\Delta \ \Sigma }}-{\frac {2\ p_{r}^{2}\ (r-1)}{\Sigma }}$

$p_{r}={\frac {v_{r}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}{\sqrt {\frac {\Sigma }{\Delta }}}$

${\dot {\theta }}={\frac {p_{\theta }}{\Sigma }}$

${\dot {p}}_{\theta }={\frac {\sin \theta \ \cos \theta \left(L_{z}^{2}/\sin ^{4}\theta -a^{2}\left(E^{2}+\mu \right)\right)}{\Sigma }}$

$p_{\theta }={\frac {v_{\theta }\ {\sqrt {{\bar {R}}^{2}+z^{2}}}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}$

${\dot {\varphi }}={\frac {2\ a\ E\ r+L_{z}\ \csc ^{2}\theta \ (\Sigma -2r)}{\Delta \ \Sigma }}$

wobei der Punkt über den Variablen im Fall eines massebehafteten Testkörpers für die Differenzierung nach der Eigenzeit $\tau$, und im Fall eines masselosen Testteilchens nach dem affinen Parameter steht.

Dabei sind $v_{r}$, $v_{\theta }$ und $v_{\phi }$ die Komponenten der lokalen 3er-Geschwindigkeit $v={\sqrt {v_{r}^{2}+v_{\theta }^{2}+v_{\phi }^{2}}}={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}$ entlang der jeweiligen Achsen.

$E$ und $L_{z}$ sind die erhaltene spezifische Energie, sowie die Komponente des spezifischen Drehimpulses entlang der Symmetrieachse der Raumzeit. $Q$ ist die nach ihrem Entdecker Brandon Carter benannte Carter Konstante:

$Q=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}(\mu ^{2}-E^{2})+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)=a^{2}\ (\mu ^{2}-E^{2})\ \sin ^{2}\delta +L_{z}^{2}\ \tan ^{2}\delta$

Diese fließt über

$k=a^{2}\left(E^{2}+\mu \right)+L_{z}^{2}+Q$

in die Bewegungsgleichungen ein. $p_{\theta }$ ist die polare $\theta$-, $p_{r}$ die radiale $r$- und das konstante $p_{\varphi }=L_{z}$ die azimuthale $\varphi$-Komponente des Bahndrehimpulses. $\delta$ ist der Bahnneigungswinkel des Testteilchens. Für massebehaftete Testteilchen ist $\mu =-1$ während für masselose Teilchen wie Photonen $\mu =0$ gilt.

Die 4 Konstanten der Bewegung sind daher $E,L_{z},Q$ und $\mu$. Energie und Drehimpuls können aus den Eigenzeitableitungen der Koordinaten oder der lokalen Geschwindigkeit gewonnen werden:

$E={\sqrt {{\frac {(\Sigma -2\ r)\left({\dot {\theta }}^{2}\ \Delta \ \Sigma +{\dot {r}}^{2}\ \Sigma -\Delta \ \mu \right)}{\Delta \ \Sigma }}+{\dot {\varphi }}^{2}\ \Delta \ \sin ^{2}\theta }}\$$={\sqrt {\frac {\Delta \ \Sigma }{(1+\mu \ v^{2})\ \Xi }}}+\Omega \ L_{z}$

$L_{z}={\frac {\sin ^{2}\theta \ ({\dot {\phi }}\ \Delta \ \Sigma -2\ a\ E\ r)}{\Sigma -2\ r}}={\frac {v_{\phi }\ {\bar {R}}\ \sin \theta }{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}$

mit dem Radius der Gyration

${\bar {R}}={\sqrt {\frac {\Xi }{\Sigma }}}$

Korotation von lokal stationären Messbojen aufgrund des Inertial-Frame-Dragging-Effekts.

Aufgrund des Frame-dragging-Effekts korotiert selbst ein drehimpulsfreier und lokal ruhender Beobachter oder Testpartikel (in der Literatur auch ZAMO für "zero angular momentum observer" genannt) mit der Winkelgeschwindigkeit

$\Omega ={\frac {2\ a\ r}{\Xi }}$

mit der sich drehenden zentralen Masse mit, wobei die Winkelgeschwindigkeit nach der Koordinatenzeit $t$ des relativ zu den Fixsternen stationären und sich in ausreichend weiter Entfernung von der Masse befindenden Beobachters beschrieben wird. Ein solcher ZAMO kann als lokale Messboje, relativ zu der die Geschwindigkeit vor Ort $(v)$ bestimmt wird, verwendet werden. Die gravitative Zeitdilatation zwischen einem mit $\Omega$ mitbewegten und auf fixem $r$ sitzendem Beobachter und einem weit entfernten Beobachter beträgt

$\varsigma ={\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}\tau }}={\sqrt {g^{tt}}}$.

Die radiale lokale Fluchtgeschwindigkeit $v_{\rm {esc}}$ ergibt sich damit über

$\varsigma ={\sqrt {1-v_{\rm {esc}}^{2}}}\ \to \ v_{\rm {esc}}={\sqrt {\varsigma ^{2}-1}}/\varsigma$.

Für einen Testkörper mit $E=1\ ,\ L=0$ ergibt sich $v_{r}=v_{\rm {esc}}$, d.h. er entkommt der Masse mit der exakten Fluchtgeschwindigkeit.

Literatur

• Robert H. Boyer, Richard W. Lindquist: Maximal Analytic Extension of the Kerr Metric. In: Journal of Mathematical Physics. Vol. 8, Issue 2, 1967, S. 265–281. doi:10.1063/1.1705193
• Barrett O’Neill: The geometry of Kerr black holes. Peters, Wellesley 1995, ISBN 1-56881-019-9.
• David L. Wiltshire, Matt Visser, Susan M. Scott (Hrsg.): The Kerr spacetime: Rotating Black Holes in General Relativity. Cambridge University Press, Cambridge 2009, ISBN 978-0-521-88512-6
• Roy P. Kerr: The Kerr and Kerr-Schild-Metrics. In: Wiltshire, Visser, Scott, The Kerr Spacetime, Cambridge UP 2009, S. 38–72 (Erstveröffentlichung: Discovering the Kerr and Kerr-Schild metrics. arxiv:0706.1109)

Weblinks

• Schwarze Löcher: Kerr-Metrik, Artikel von Andreas Müller in Wissenschaft-Online, August 2007
• Gravitation im Universum: Die Kerr-Lösung von Hendrik van Hees, Website des GSI Helmholtzzentrums für Schwerionenforschung