Elektrisches Potential

Physikalische Größe
Name	elektrisches Potential
Größenart	elektrisches Potential
Formelzeichen	$\Phi ,\,\phi ,\,\varphi ,\,V$
Größen- und Einheitensystem Einheit Dimension SI V M L2 T−3 I−1 cgs g1/2·cm1/2·s−1 M1/2 L1/2 T−1 Gauß, esE (cgs) Statvolt (statV) M1/2 L1/2 T−1 emE (cgs) Abvolt (abV) M1/2 L1/2 T−1 Planck 1 M L2 T−2 Q−1

Das elektrische Potential, auch elektrisches Potenzial, $\varphi$ (griechischer Kleinbuchstabe Phi) ist eine physikalische Größe in der klassischen Elektrodynamik.

In der Elektrostatik lässt sich das elektrische Potential aus dem Quotienten der potentiellen Energie einer Probeladung und ihrer Ladung $q$ berechnen:

$\varphi ={\frac {E_{\mathrm {pot} }}{q}}$

Dabei wird ein zeitinvariantes, d. h. statisches elektrisches Feld vorausgesetzt, das jedem Punkt des Raumes ein Potential zuordnet; man spricht daher von einem Potentialfeld.

Die Differenz der Potentiale an zwei Punkten bezeichnet man als die elektrische Spannung zwischen diesen Punkten (siehe auch Potential und Spannung).

Ein Potentialfeld lässt sich durch Äquipotentialflächen visualisieren.

Das elektrische Potential hat im SI-Einheitensystem die Einheit Volt ($\mathrm {V}$) bzw. Watt je Ampere ($\mathrm {W} \,\mathrm {A} ^{-1}$) oder Joule je Coulomb ($\mathrm {J} \,\mathrm {C} ^{-1}$).

Elektrisches Potential einer Punktladung

Das elektrische Potential einer Punktladung bei verschieden großer Ladung. Blau ist negative Ladung, Rot ist positive.

Das elektrische Potential einer Punktladung $q$, auch Coulomb-Potential genannt, ist im SI-Einheitensystem gegeben durch

$\varphi ({\vec {r}})={\frac {q}{4\,\pi \,\varepsilon _{0}\,\left|{\vec {r}}\right|}}$

Dabei bezeichnet

• $q$ die elektrische Ladung
• $\varepsilon _{0}$ die elektrische Feldkonstante
• ${\vec {x}}$ die Position des betrachteten Punktes relativ zur Punktladung.

Im Heaviside-Lorentz-Einheitensystem gilt wegen $\varepsilon _{0}=1$ vereinfacht

$\varphi ({\vec {r}})={\frac {q}{4\,\pi \,\left|{\vec {r}}\right|}}$

Elektrisches Potential eines statischen elektrischen Feldes

Im Flammensonden-Versuch lässt sich das el. Potential als Spannung messen.

Statische elektrische Felder ${\vec {E}}$ sind wirbelfrei, sie können deshalb als Gradient eines Skalarfeldes dargestellt werden (siehe Gradientenfeld). Das negative Skalarfeld wird dabei als elektrisches Potential $\varphi$ bezeichnet.

$-{\vec {\nabla }}\varphi ={\vec {E}}$

Ist das elektrische Feld ${\vec {E}}$ bekannt, so lässt sich das Potential am Punkt mit dem Ortsvektor ${\vec {r}}$, ausgehend von einem Nullpotential $\varphi ({\vec {r}}_{0})=0$ im Ort ${\vec {r}}_{0}$, durch ein Kurvenintegral berechnen:

$\varphi ({\vec {r}})=-\int _{{\vec {r}}_{0}}^{\vec {r}}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}$

Üblicherweise wird $\varphi (\infty )$ als Nullpotential gewählt. Daraus folgt:

$\varphi ({\vec {r}})=\int _{\vec {r}}^{\infty }{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}$

Für eine bekannte Ladungsverteilung $\rho ({\vec {r}})$ gilt:

$\varphi ({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \mathrm {d} {\vec {r}}^{\prime }{\frac {\rho ({\vec {r}}^{\prime })}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }\right|}}$

Für eine kontinuierliche Ladungsverteilung $\rho$ gilt die Poisson-Gleichung:

$\Delta \varphi =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$.

Dabei bezeichnet

• ${\vec {\nabla }}$ den Nabla-Operator

• $\Delta ={\vec {\nabla }}^{2}$ den Laplace-Operator
• $\varepsilon _{0}$ die elektrische Feldkonstante.

Speziell für den leeren Raum ergibt sich aus der Poisson-Gleichung mit $\rho =0$ die Laplace Gleichung $\Delta \varphi =0$. $\varphi$ ist damit eine harmonische Funktion.

Im Innern eines Leiters ist das elektrische Potential konstant.

Elektrisches Potential eines dynamischen elektrischen Feldes

Für dynamische elektrische Felder gilt:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\neq 0$

Das elektrische Feld ${\vec {E}}$ ist nicht wirbelfrei und kann deshalb nicht als Gradientenfeld des elektrischen Potentials dargestellt werden. Wirbelfrei ist hingegen der Ausdruck:

${\vec {\nabla }}\times \left({\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\right)=0$

Dieses wirbelfreie Vektorfeld ${\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}$ ist mit dem elektrischen Potential $\varphi$ als Gradientenfeld darstellbar:

$-{\vec {\nabla }}\varphi ={\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}$

Umgekehrt lässt sich das Potential an einem Ort ${\vec {r}}$, ausgehend von einem Nullpotential $\varphi ({\vec {r}}_{0})=0$ in einem beliebig gewählten Ort ${\vec {r}}_{0}$, durch ein Kurvenintegral bestimmen:

$\varphi ({\vec {r}})=-\int _{{\vec {r}}_{0}}^{\vec {r}}\left({\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}$

Mit der üblichen Wahl von $\varphi (\infty )$ als Nullpotential folgt:

$\varphi ({\vec {r}})=\int _{\vec {r}}^{\infty }\left({\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}$

Dabei bezeichnet

• ${\vec {\nabla }}$ den Nabla-Operator
• ${\vec {B}}$ die magnetische Flussdichte
• ${\vec {A}}$ das magnetische Vektorpotential

Mit der Lorenz-Eichung ${\vec {\nabla }}{\vec {A}}=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}$ folgt für eine kontinuierliche Ladungsverteilung $\rho$ die Poisson-Gleichung:

$\Delta \varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$

Dabei bezeichnet

• $\Delta ={\vec {\nabla }}^{2}$den Laplace-Operator
• $\varepsilon _{0}$ die elektrische Feldkonstante
• $c$ die Lichtgeschwindigkeit.

Für stationäre Felder gilt ${\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}=0$ und ${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0$, sodass die Formeln wieder in die für statische Felder übergehen.

Zusammenhang mit der elektrischen Spannung

Das Potential eines elektrischen Feldes ist nicht eindeutig definiert, es kann immer eine beliebige Konstante dazu addiert werden, die von der Wahl des Nullpotentials abhängt. Der konkrete Wert des Potentials an einem Ort ${\vec {r}}_{0}$ kann deshalb beliebig gewählt werden, eindeutig definiert ist nur seine Differenz zu allen anderen Werten. Wirkliche physikalische Bedeutung haben deshalb nur Potentialdifferenzen:

$U=\varphi ({\vec {r}}_{1})-\varphi ({\vec {r}}_{2})$

Die Potentialdifferenz $U$ wird dabei als elektrische Spannung bezeichnet.