Die Simpliziale Homologie ist in der Algebraischen Topologie , einem Teilgebiet der Mathematik , eine Methode, die einem beliebigen Simplizialkomplex eine Folge abelscher Gruppen zuordnet. Anschaulich gesprochen zählt sie die Löcher unterschiedlicher Dimension des zugrunde liegenden Raumes.
Ein simplizialer Komplex (oder Simplizialkomplex)
K
{\displaystyle K}
ist eine Menge von (durch ihre Eckpunkte eindeutig bestimmten) Simplizes , so dass jede Seitenfläche eines der Simplizes wieder in dieser Menge liegt. Einfache Beispiele sind Polygone und Polyeder . Nach einem Satz der Topologie kann man jede differenzierbare Mannigfaltigkeit triangulieren, also als einen simplizialen Komplex (SK) auffassen.
Zu einem Simplizialkomplex
K
{\displaystyle K}
betrachten wir für
n
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle n=0,1,2,\ldots }
die freie abelsche Gruppe über der Menge der
n
{\displaystyle n}
-Simplizes des simplizialen Komplexes
C
n
(
K
)
{\displaystyle C_{n}(K)}
.
Elemente von
C
n
(
K
)
{\displaystyle C_{n}(K)}
sind also formale Summen der Form
∑
i
=
1
r
a
i
σ
i
{\displaystyle \sum _{i=1}^{r}a_{i}\sigma _{i}}
mit
a
i
∈
Z
{\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} }
und
σ
i
{\displaystyle \sigma _{i}}
ein
n
{\displaystyle n}
-Simplex von
K
{\displaystyle K}
. Dabei wird gefordert, dass
σ
i
=
−
σ
j
{\displaystyle \sigma _{i}=-\sigma _{j}}
gilt, wenn die Simplizes
σ
i
{\displaystyle \sigma _{i}}
und
σ
j
{\displaystyle \sigma _{j}}
umgekehrte Orientierung besitzen.
Die „Randabbildung“
∂
:
C
n
(
K
)
→
C
n
−
1
(
K
)
{\displaystyle \partial \colon C_{n}(K)\rightarrow C_{n-1}(K)}
bilde jeden Simplex auf die alternierende Summe seiner Seitenflächen ab, das heißt
∂
(
[
v
0
,
…
,
v
n
]
)
:=
∑
i
=
0
n
(
−
1
)
i
[
v
0
,
…
,
v
i
^
,
…
,
v
n
]
,
{\displaystyle \partial ([v_{0},\dots ,v_{n}]):=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}[v_{0},\ldots ,{\hat {v_{i}}},\ldots ,v_{n}]\,,}
wobei
v
^
i
{\displaystyle {\hat {v}}_{i}}
bedeutet, dass
v
i
{\displaystyle v_{i}}
ausgelassen wird. Die alternierenden Vorzeichenfaktoren können auch als „geometrische Orientierungszahlen“ interpretiert werden.
Diese auf den Erzeugern von
C
n
(
K
)
{\displaystyle C_{n}(K)}
definierte Randabbildung setzt sich durch lineare Fortsetzung
∂
(
∑
i
=
1
r
a
i
σ
i
)
=
∑
i
=
1
r
a
i
∂
(
σ
i
)
{\displaystyle \partial (\sum _{i=1}^{r}a_{i}\sigma _{i})=\sum _{i=1}^{r}a_{i}\partial (\sigma _{i})}
eindeutig zu einer Abbildung
∂
:
C
n
(
K
)
→
C
n
−
1
(
K
)
{\displaystyle \partial :C_{n}(K)\rightarrow C_{n-1}(K)}
fort. Man rechnet leicht nach, dass
∂
∘
∂
=
0
{\displaystyle \partial \circ \partial =0}
gilt.
(
C
∗
(
K
)
,
∂
)
{\displaystyle (C_{*}(K),\partial )}
ist also ein Kettenkomplex , er wird als simplizialer Kettenkomplex des Simplizialkomplexes
K
{\displaystyle K}
bezeichnet.
Die Homologie dieses Kettenkomplexes heißt die simpliziale Homologie von
K
{\displaystyle K}
und wird mit
H
∗
(
K
)
{\displaystyle H_{*}(K)}
bezeichnet.
Dreieck
Wir wollen die Homologiegruppen des Dreiecks (bestehend aus drei 0-Simplizes
v
1
,
v
2
,
v
3
{\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}}
und den drei sie verbindenden 1-Simplizes, keinem 2-Simplex und keinen höherdimensionalen Simplizes) berechnen.
Nach Definition des Randoperators ist
∂
0
(
[
v
i
]
)
=
0
{\displaystyle \partial _{0}([v_{i}])=0}
, also:
k
e
r
(
∂
0
)
=
C
0
=
{
a
1
[
v
1
]
+
a
2
[
v
2
]
+
a
3
[
v
3
]
|
a
1
,
a
2
,
a
3
∈
Z
}
≅
Z
⊕
Z
⊕
Z
{\displaystyle \mathrm {ker} (\partial _{0})=C_{0}=\{a_{1}[v_{1}]+a_{2}[v_{2}]+a_{3}[v_{3}]|a_{1},a_{2},a_{3}\in \mathbb {Z} \}\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }
d. h. alle 0-Ketten sind im Kern.
Für eine 1-Kette
c
1
=
b
1
[
v
1
,
v
2
]
+
b
2
[
v
2
,
v
3
]
+
b
3
[
v
3
,
v
1
]
{\displaystyle c_{1}=b_{1}[v_{1},v_{2}]+b_{2}[v_{2},v_{3}]+b_{3}[v_{3},v_{1}]}
ist
∂
1
(
c
1
)
=
(
b
3
−
b
1
)
[
v
1
]
+
(
b
1
−
b
2
)
[
v
2
]
+
(
b
2
−
b
3
)
[
v
3
]
{\displaystyle \partial _{1}(c_{1})=(b_{3}-b_{1})[v_{1}]+(b_{1}-b_{2})[v_{2}]+(b_{2}-b_{3})[v_{3}]}
.
Daraus erhält man
I
m
(
∂
1
)
=
{
(
b
3
−
b
1
)
[
v
1
]
+
(
b
1
−
b
2
)
[
v
2
]
+
(
b
2
−
b
3
)
[
v
3
]
|
b
1
,
b
2
,
b
3
∈
Z
}
{\displaystyle \mathrm {Im} (\partial _{1})=\{(b_{3}-b_{1})[v_{1}]+(b_{1}-b_{2})[v_{2}]+(b_{2}-b_{3})[v_{3}]|b_{1},b_{2},b_{3}\in \mathbb {Z} \}}
.
Eine 0-Kette
c
0
=
a
1
[
v
1
]
+
a
2
[
v
2
]
+
a
3
[
v
3
]
{\displaystyle c_{0}=a_{1}[v_{1}]+a_{2}[v_{2}]+a_{3}[v_{3}]}
gehört also genau dann zum Bild von
∂
1
{\displaystyle \partial _{1}}
, wenn
a
1
=
b
3
−
b
1
{\displaystyle a_{1}=b_{3}-b_{1}}
a
2
=
b
1
−
b
2
{\displaystyle a_{2}=b_{1}-b_{2}}
a
3
=
b
2
−
b
3
{\displaystyle a_{3}=b_{2}-b_{3}}
,
also genau dann, wenn
a
1
+
a
2
+
a
3
=
0
{\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}=0}
. Daraus folgt
H
0
(
S
)
≅
(
Z
⊕
Z
⊕
Z
)
/
(
a
1
+
a
2
+
a
3
=
0
)
≅
Z
{\displaystyle H_{0}(S)\cong (\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} )/(a_{1}+a_{2}+a_{3}=0)\cong \mathbb {Z} }
.
Zur Berechnung der ersten Homologiegruppe: Für eine 1-Kette
c
1
=
b
1
[
v
1
,
v
2
]
+
b
2
[
v
2
,
v
3
]
+
b
3
[
v
3
,
v
1
]
{\displaystyle c_{1}=b_{1}[v_{1},v_{2}]+b_{2}[v_{2},v_{3}]+b_{3}[v_{3},v_{1}]}
ist
∂
1
(
c
1
)
=
0
{\displaystyle \partial _{1}(c_{1})=0}
genau dann, wenn
b
1
=
b
2
=
b
3
{\displaystyle b_{1}=b_{2}=b_{3}}
, also
k
e
r
(
∂
1
)
=
{
b
[
v
1
,
v
2
]
+
b
[
v
2
,
v
3
]
+
b
[
v
3
,
v
1
]
|
b
∈
Z
}
≅
Z
.
{\displaystyle \mathrm {ker} (\partial _{1})=\{b[v_{1},v_{2}]+b[v_{2},v_{3}]+b[v_{3},v_{1}]|b\in \mathbb {Z} \}\cong \mathbb {Z} .}
Weil es keine 2-Simplizes gibt, sind Kern und Bild von
∂
2
{\displaystyle \partial _{2}}
trivial,
k
e
r
(
∂
2
)
=
I
m
(
∂
2
)
=
0
{\displaystyle \mathrm {ker} (\partial _{2})=\mathrm {Im} (\partial _{2})=0}
. Damit erhalten wir:
H
1
(
S
)
=
k
e
r
(
∂
1
)
/
I
m
(
∂
2
)
=
k
e
r
(
∂
1
)
≅
Z
{\displaystyle H_{1}(S)=\mathrm {ker} (\partial _{1})/\mathrm {Im} (\partial _{2})=\mathrm {ker} (\partial _{1})\cong \mathbb {Z} }
H
2
(
S
)
=
k
e
r
(
∂
2
)
/
I
m
(
∂
3
)
≅
0
{\displaystyle H_{2}(S)=\mathrm {ker} (\partial _{2})/\mathrm {Im} (\partial _{3})\cong 0}
und trivialerweise
H
i
(
S
)
≅
0
{\displaystyle H_{i}(S)\cong 0}
für alle
i
>
2
{\displaystyle i>2}
.
Es gelten:
Ist
K
{\displaystyle K}
der simpliziale Komplex, der das Dreieck mit Inhalt trianguliert. Das heißt der Komplex wie oben, nur zusätzlich mit dem 2-Simplex. Dann ergibt sich
H
0
(
K
)
=
Z
,
H
1
(
K
)
=
H
2
(
K
)
=
…
=
0
{\displaystyle H_{0}(K)=\mathbb {Z} ,\,H_{1}(K)=H_{2}(K)=\ldots =0}
.
Für den 2-Torus
T
=
S
1
×
S
1
{\displaystyle T=S^{1}\times S^{1}}
gilt
H
1
(
T
)
=
Z
2
,
H
2
(
T
)
=
Z
{\displaystyle H_{1}(T)=\mathbb {Z} ^{2},\,H_{2}(T)=\mathbb {Z} }
und
H
i
(
T
)
=
0
{\displaystyle H_{i}(T)=0}
für
i
>
2
{\displaystyle i>2}
.
Für die Kleinsche Flasche
K
{\displaystyle K}
gilt
H
1
(
K
)
=
Z
⊕
Z
/
2
Z
{\displaystyle H_{1}(K)=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }
und
H
i
(
K
)
=
0
{\displaystyle H_{i}(K)=0}
für
i
≥
2
{\displaystyle i\geq 2}
.
Es gilt
H
1
(
R
P
2
)
=
Z
{\displaystyle H_{1}(\mathbb {R} P^{2})=\mathbb {Z} }
und
H
i
(
R
P
2
)
=
0
{\displaystyle H_{i}(\mathbb {R} P^{2})=0}
für alle
i
≥
2
{\displaystyle i\geq 2}
.
Sei
K
{\displaystyle K}
ein simplizialer Komplex mit
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
Zusammenhangskomponenten, dann gilt
H
0
(
K
)
=
Z
n
{\displaystyle H_{0}(K)=\mathbb {Z} ^{n}}
.
Eine simpliziale Abbildung
f
:
K
→
L
{\displaystyle f\colon K\to L}
induziert eine Kettenabbildung
f
∗
:
C
∗
(
K
)
→
C
∗
(
L
)
{\displaystyle f_{*}:C_{*}(K)\rightarrow C_{*}(L)}
durch
f
∗
(
∑
i
=
1
r
a
i
σ
i
)
=
∑
i
=
1
r
a
i
f
(
σ
i
)
{\displaystyle f_{*}(\sum _{i=1}^{r}a_{i}\sigma _{i})=\sum _{i=1}^{r}a_{i}f(\sigma _{i})}
und wegen
d
f
=
f
d
{\displaystyle df=fd}
eine wohldefinierte Abbildung
f
∗
:
H
∗
(
K
)
→
H
∗
(
L
)
{\displaystyle f_{*}:H_{*}(K)\rightarrow H_{*}(L)}
.
Sei
f
:
|
K
|
→
|
L
|
{\displaystyle f:\vert K\vert \to \vert L\vert }
eine stetige Abbildung zwischen den geometrischen Realisierungen zweier Simplizialkomplexe
K
{\displaystyle K}
und
L
{\displaystyle L}
. Wir bezeichnen mit
B
d
(
K
)
{\displaystyle Bd(K)}
die baryzentrische Unterteilung von
K
{\displaystyle K}
und mit
B
d
n
(
K
)
{\displaystyle Bd^{n}(K)}
die
n
{\displaystyle n}
-fach iterierte baryzentrische Unterteilung. Es gilt
|
B
d
n
(
K
)
|
=
|
K
|
{\displaystyle \vert Bd^{n}(K)\vert =\vert K\vert }
.
Nach dem simplizialen Approximationssatz gibt es ein
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
, so dass
f
:
|
B
d
n
(
K
)
|
→
|
L
|
{\displaystyle f:\vert Bd^{n}(K)\vert \to \vert L\vert }
eine simpliziale Approximation
g
:
B
d
n
(
K
)
→
L
{\displaystyle g:Bd^{n}(K)\rightarrow L}
besitzt.
Dann wird
f
∗
:
H
∗
(
K
)
→
H
∗
(
L
)
{\displaystyle f_{*}:H_{*}(K)\rightarrow H_{*}(L)}
definiert als die Verknüpfung von
g
∗
{\displaystyle g_{*}}
mit dem kanonischen Isomorphismus
H
∗
(
K
)
→
H
∗
(
B
d
n
(
K
)
)
{\displaystyle H_{*}(K)\to H_{*}(Bd^{n}(K))}
. Man kann zeigen, dass der so definierte Homomorphismus
f
∗
{\displaystyle f_{*}}
unabhängig von der Wahl der simplizialen Approximation ist.
Für eine abelsche Gruppe
G
{\displaystyle G}
und einen Simplizialkomplex
K
{\displaystyle K}
definiert man
C
∗
(
K
,
G
)
=
C
∗
(
K
)
⊗
Z
G
{\displaystyle C_{*}(K,G)=C_{*}(K)\otimes _{\mathbb {Z} }G}
.
Elemente von
C
n
(
K
,
G
)
{\displaystyle C_{n}(K,G)}
sind also formale Summen der Form
∑
i
=
1
r
a
i
σ
i
{\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{r}a_{i}\sigma _{i}}
mit
a
i
∈
G
{\displaystyle a_{i}\in G}
und
σ
i
{\displaystyle \sigma _{i}}
ein
n
{\displaystyle n}
-Simplex in
K
{\displaystyle K}
. Der Randoperator setzt sich fort mittels
d
(
∑
i
=
1
r
a
i
σ
i
)
=
∑
i
=
1
r
a
i
d
σ
i
{\displaystyle d(\sum _{i=1}^{r}a_{i}\sigma _{i})=\sum _{i=1}^{r}a_{i}d\sigma _{i}}
.
Die Homologie mit Koeffizienten in G
H
∗
(
X
,
G
)
{\displaystyle H_{*}(X,G)}
ist definiert als die Homologie des Kettenkomplexes
(
C
∗
(
X
,
G
)
,
d
)
{\displaystyle (C_{*}(X,G),d)}
.
Die simpliziale Homologie eines Simplizialkomplexes ist isomorph zur singulären Homologie seiner geometrischen Realisierung:
H
∗
(
K
,
G
)
=
H
∗
(
|
K
|
,
G
)
{\displaystyle H_{*}(K,G)=H_{*}(\vert K\vert ,G)}
.
Stöcker, Ralph; Zieschang, Heiner: Algebraische Topologie. Eine Einführung. 2. Auflage. Mathematische Leitfäden. B. G. Teubner, Stuttgart, 1994. ISBN 3-519-12226-X .