Stetiger Funktionalkalkül

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Der stetige Funktionalkalkül gehört zu den wichtigsten Grundlagen der mathematischen Theorie der C*-Algebren.

In der fortgeschrittenen Theorie sind die Anwendungen dieses Funktionalkalküls so selbstverständlich, dass sie oft nicht einmal erwähnt werden. Man kann ohne Übertreibung sagen, dass der stetige Funktionalkalkül, der auch in den grundlegenden Sätzen von Gelfand-Neumark steckt, den Unterschied zwischen C*-Algebren und allgemeinen Banachalgebren, in denen man lediglich einen holomorphen Funktionalkalkül hat, ausmacht.

Motivation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Will man einen Funktionalkalkül für stetige Funktionen auf dem Spektrum eines Banachalgebren-Elementes konstruieren, so liegt es nahe, die stetigen Funktionen gemäß dem weierstraßschen Approximationssatz durch Polynome zu approximieren, das Element in diese Polynome einzusetzen und zu zeigen, dass dadurch ein Element in approximiert wird. Um stetige Funktionen auf zu approximieren, benötigt man Polynome in zwei Variablen, oder, was auf dasselbe hinausläuft, Polynome in und , wobei die komplexe Konjugation bezeichnet. Hat man ein solches Polynom und setzt man an Stelle von , so ist zunächst nicht klar, was an die Stelle von gesetzt werden soll. Weil eine Involution auf den komplexen Zahlen ist, betrachtet man Banachalgebren mit einer Involution * und setzt an die Stelle von . Da der Polynomring kommutativ ist, muss man sich, um einen Homomorphismus zu erhalten, auf Banachalgebren-Elemente mit einschränken, solche Elemente nennt man normal. Ist nun eine Folge von Polynomen, die auf gleichmäßig gegen eine stetige Funktion konvergiert, so ist noch sicherzustellen, dass die Folge in gegen einen Grenzwert, den man dann nennen könnte, strebt. Eine eingehende Analyse dieses Konvergenzproblems zeigt, dass man sich auf C*-Algebren zurückziehen muss. Diese Überlegungen führen zum sogenannten stetigen Funktionalkalkül.

Der stetige Funktionalkalkül[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Sei ein normales Element der C*-Algebra mit Einselement und sei die Algebra der stetigen Funktionen auf . Dann gibt es genau einen *-Homomorphismus mit und .
  • ist ein isometrischer Isomorphismus auf die von erzeugte Unter-C*-Algebra.

Üblicherweise setzt man suggestiv . Dann kann man folgendes beweisen:

  • Es gelten die Formeln , für alle .
  • Für jedes gilt .
  • Sind und , so gilt .
  • Es gilt der spektrale Abbildungssatz: für alle .

Man kann sich also vorstellen, die Banachalgebren-Elemente tatsächlich in stetige Funktionen einzusetzen; die naheliegenden algebraischen Operationen verhalten sich wie erwartet.

Die Forderung nach einem Einselement ist keine wesentliche Einschränkung. Man kann nötigenfalls ein Einselement adjungieren und in der so vergrößerten C*-Algebra arbeiten. Ist dann und mit , so gilt und .

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden Anwendungen sind typische und sehr einfache Beispiele der zahlreichen Anwendungen des stetigen Funktionalkalküls in der Theorie der C*-Algebren:

Wurzeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein normales Element einer C*-Algebra. Dann sind äquivalent:

  • ist positiv, d.h. .
  • Es gibt ein selbstadjungiertes Element mit .

Ist positiv, so ist die Einschränkung der Wurzelfunktion auf stetig, und man kann mittels Funktionalkalkül bilden. Da nur reelle Werte annimmt, ist , woraus folgt, und offenbar ist .

Ist umgekehrt mit selbstadjungiertem , so ist , wobei , und aus dem spektralen Abbildungssatz folgt .

Unitäre Elemente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ist ein selbstadjungiertes Element einer C*-Algebra mit Einselement , so ist unitär.

Es ist mit , denn da selbstadjungiert ist, folgt , d.h. ist eine Funktion auf dem Spektrum von . Da folgt mittels Funktionalkalkül , d.h. ist unitär.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]