Strahldichte

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
(Weitergeleitet von Strahlungsdichte)
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Physikalische Größe
Name Strahldichte
Formelzeichen
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI Watt (W) pro Quadratmeter (m²) und pro Steradiant (sr) M·T−3

Die Strahldichte[1] oder Strahlungsdichte L (auch spezifische Intensität, englisch radiance[1]) liefert detaillierte Information über die Orts- und Richtungsabhängigkeit der von einer Sendefläche abgegebenen Strahlung.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einführung und Grenzwertbetrachtung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die meisten Objekte geben von verschie­denen Stellen ihrer Oberfläche unter­schied­lich viel Strahlungsleistung ab.

Man betrachte einen Körper (beispielsweise eine Glühlampe, eine Leuchtdiode), welcher Strahlung (gemessen beispielsweise in Watt) in seine Umgebung abgibt. In der Regel wird jeder Punkt des Körpers in verschiedene Richtungen unterschiedlich viel Strahlung aussenden. Soll diese Charakteristik detailliert beschrieben werden, so ist das Konzept der Strahldichte nötig.

Es ist nämlich nicht möglich anzugeben, wie viel Watt von einem unendlich kleinen Punkt auf der Oberfläche des Körpers ausgeht, da sich die endliche Strahlungsleistung auf eine unendliche Anzahl solcher Punkte verteilt und auf einen einzelnen Oberflächenpunkt daher Null Watt entfallen. Stattdessen betrachtet man eine kleine Umgebung des betreffenden Punktes, setzt die von dieser Umgebung ausgehende (endliche) Strahlungsleistung ins Verhältnis zu ihrer (endlichen) Fläche und lässt die Umgebung gedanklich auf Null schrumpfen. Obwohl die abgestrahlte Leistung und auch die abstrahlende Fläche dabei jeweils gegen Null gehen, strebt beider Verhältnis gegen einen endlichen Grenzwert (Differentialquotient), die Flächenleistung oder spezifische Ausstrahlung des Punktes, gemessen in Watt pro Quadratmeter.

Die meisten Objekte geben in ver­schie­dene Richtungen unter­schied­lich viel Strahlungsleistung ab.

In gleicher Weise ist es nicht möglich anzugeben, welche Leistung in eine bestimmte Richtung abgegeben wird, da sich die endliche Strahlungsleistung auf unendlich viele mögliche Richtungen verteilt und auf jede einzelne Richtung daher Null Watt entfallen. Stattdessen betrachtet man einen kleinen, die gewünschte Richtung umgebenden Raumwinkel, setzt die in diesen Raumwinkel abgegebene (endliche) Leistung ins Verhältnis zur (endlichen) Größe des Raumwinkels und lässt den Raumwinkel gedanklich auf Null schrumpfen. Wiederum streben dabei sowohl der Raumwinkel als auch die in ihm enthaltene abgestrahlte Leistung jeweils gegen Null, ihr Verhältnis aber gegen einen endlichen Grenzwert, die in die betreffende Richtung abgegebene Strahlstärke , gemessen in Watt pro Steradiant.

Die Strahldichte kombiniert beides und beschreibt auf diese Weise sowohl die Orts- als auch die Richtungsabhängigkeit der von einem unendlich kleinen Flächenelement abgegebenen Strahlung.

Strahldichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Strahldichte gibt an, welche Strahlungsleistung von einem gegebenen Punkt der Strahlungsquelle in die durch den Polarwinkel und den Azimutwinkel gegebene Richtung pro projiziertem Flächenelement und pro Raumwinkelelement ausgesendet wird.

ist hierbei der Winkel zwischen Ausstrahlrichtung und Flächennormale.

Die Definition der Strahldichte weist die Besonderheit auf, dass die abgegebene Strahlungsleistung nicht wie üblich auf das abstrahlende Flächenelement , sondern auf das in Abstrahlrichtung projizierte Flächenelement bezogen wird. Die in eine bestimmte Richtung abgegebene Strahlungsleistung hängt nämlich zum einen von den (möglicherweise richtungsabhängigen) physikalischen Strahlungseigenschaften der Oberfläche und zum anderen rein geometrisch von der in Abstrahlrichtung wirksamen Projektion des strahlenden Flächenelements ab. Der zweite Effekt bewirkt, dass die unter dem Polarwinkel abgegebene Strahlungsleistung um den Faktor geringer ist als die senkrecht abgegebene Leistung. Die Division durch den Faktor rechnet diesen geometrischen Effekt heraus, so dass nur noch eine eventuelle physikalische Richtungsabhängigkeit aufgrund der Oberflächeneigenschaften übrig bleibt.

Oberflächen, welche nach Herausrechnen des –Faktors keine Richtungsabhängigkeit der Strahldichte mehr aufweisen, nennt man diffuse Strahler oder lambertsche Strahler. Ein lambertsches Flächenelement gibt in alle Richtungen dieselbe Strahldichte ab:

Die von ihm in eine bestimmte Richtung abgegebene Strahlungsleistung variiert nur noch mit dem Kosinus des Abstrahlwinkels; solche Strahler sind daher mathematisch besonders einfach zu behandeln:

Insbesondere kann bei der Integration über den Raumwinkel die nunmehr winkelunabhängige Strahldichte als Konstante vor das Integral gezogen werden (siehe unten).

Für die Definition der Strahldichte ist es unerheblich, ob es sich bei der vom Flächenelement abgegebenen Strahlung um (thermische oder nichtthermische) Eigenemission, um transmittierte oder reflektierte Strahlung oder eine Kombination daraus handelt.

Die Strahldichte ist an jedem Punkt des Raumes definiert, an dem Strahlung vorhanden ist.[2] Man denke sich anstelle eines abstrahlenden Oberflächenelements gegebenenfalls ein fiktives durchstrahltes Flächenelement im Raum.

Das photometrische Äquivalent der Strahldichte ist die Leuchtdichte, welche daher zur Veranschaulichung dienen kann: Die Leuchtdichte ist ein Maß für die Helligkeit, mit der eine Fläche wahrgenommen wird. Betrachtet man eine diffus leuchtende Fläche, z. B. ein Blatt Papier, aus verschiedenen Richtungen, so bleibt die wahrgenommene Leuchtdichte der Fläche dabei konstant, während die den Betrachter erreichende gesamte Lichtmenge von der projizierten Fläche abhängt und daher mit dem Cosinus des Betrachtungswinkels variiert. Analog ist die Strahldichte eines diffusen Strahlers in alle Richtungen dieselbe, die in eine bestimmte Richtung abgegebene Strahlungsleistung hängt aber zusätzlich von der in die betreffende Richtung projizierten Strahlfläche ab.

Spektrale Strahldichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die spektrale Strahldichte (engl. spectral radiance) (Einheit: W·m−2·Hz−1·sr−1) eines Körpers gibt an, welche Strahlungsleistung der Körper bei der Frequenz in die durch den Polarwinkel und den Azimutwinkel gegebene Richtung pro projizierter Fläche, pro Raumwinkel und pro Frequenzbreite aussendet.

Die spektrale Strahldichte wird auch angegeben als (Einheit: W·m−3·sr−1) bezogen auf das Einheits-Wellenlängenintervall.

Die spektrale Strahldichte liefert die detaillierteste Darstellung der Strahlungseigenschaften eines Strahlers. Sie beschreibt explizit die Richtungsabhängigkeit und die Frequenz- (oder Wellenlängen‑)abhängigkeit der abgegebenen Strahlung. Aus der spektralen Strahldichte lassen sich die anderen Strahlungsgrößen durch Integration über die Richtungen und/oder Frequenzen ableiten. Integration über das relevante Frequenz- bzw. Wellenlängenintervall liefert insbesondere wieder die Strahldichte, welche daher, wenn sie von der spektralen Strahldichte unterschieden werden muss, auch Gesamtstrahldichte genannt wird.

Schwarzer Strahler[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Schwarzer Strahler ist ein idealisierter Körper, welcher alle auf ihn treffende elektromagnetische Strahlung vollständig absorbiert. Aus thermodynamischen Gründen weist die von einem solchen Körper seinerseits abgegebene thermische Strahlung ein universelles Spektrum auf, und er muss zwangsläufig ein lambertscher Strahler sein. Reale Strahler erreichen diese idealen Eigenschaften niemals vollständig, können ihnen jedoch nahekommen. Die Strahlungseigenschaften eines Schwarzen Strahlers können daher oft als gute Näherung für einen realen Strahler benutzt werden.

Die Abweichung eines realen Strahlers vom schwarzen Ideal kann durch einen Emissionsgrad erfasst werden. Da ein realer Strahler auf einer gegebenen Wellenlänge nicht stärker strahlen kann als ein schwarzer Körper gleicher Temperatur, muss der Emissionsgrad immer kleiner als 1 sein. Der Emissionsgrad kann wellenlängenabhängig und, falls der reale Strahler kein lambertscher Strahler ist, auch richtungsabhängig sein. Ermittelt werden die Emissionsgrade durch Vergleich der Strahldichten oder der spektralen Strahldichten von realem und Schwarzem Strahler.

Spektrale Verteilung der Intensität der Schwarzkörper­strahlung in doppelt-logarithmischer Auftragung

Spektrale Strahldichte eines Schwarzen Strahlers[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach Planck gilt für die spektrale Energiedichte eines Schwarzen Strahlers:

Aus dieser ergibt sich die spektrale Strahldichte:

Der Faktor kann so verstanden werden, dass sich die Strahlung mit der Geschwindigkeit in den gesamten Raumwinkel ausbreitet.

Folgerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die spektrale Strahldichte eines Schwarzen Strahlers der absoluten Temperatur gilt nach Planck

in der Frequenzdarstellung:

mit

: spektrale Strahldichte des Schwarzen Strahlers, W m−2 Hz−1 sr−1
: Frequenz, Hz

und in der Wellenlängendarstellung:

mit

: spektrale Strahldichte des Schwarzen Strahlers, W m−2 μm−1 sr−1
: Wellenlänge, m, µm
: absolute Temperatur, K
, : Plancksches Wirkungsquantum, Js
: Lichtgeschwindigkeit, m/s
: Boltzmannkonstante, J/K

ist die Strahlungsleistung, die vom Flächenelement im Frequenzbereich zwischen und in das zwischen den Azimutwinkeln und sowie den Polarwinkeln und aufgespannte Raumwinkelelement abgestrahlt wird. Die Richtungsabhängigkeit dieser Strahlungsleistung kommt nur durch den geometrischen –Faktor zustande; die spektrale Strahldichte selbst ist richtungsunabhängig.

Bei der Umrechnung zwischen Frequenz- und Wellenlängendarstellung ist zu beachten, dass wegen

gilt:

Das Verhältnis der in eine bestimmte Richtung abgegebenen und bei einer bestimmten Wellenlänge betrachteten spektralen Strahldichte eines Flächenelements eines gegebenen Strahlers zu der bei derselben Wellenlänge betrachteten spektralen Strahldichte eines Schwarzen Strahlers derselben Temperatur ist der gerichtete spektrale Emissionsgrad des Flächenelements.

Integriert man die spektrale Strahldichte des Schwarzen Strahlers über alle Richtungen des Halbraums, in den das Flächenelement abstrahlt, so erhält man die spektrale spezifische Ausstrahlung des Schwarzen Strahlers. Das Integral liefert einen zusätzlichen Faktor . Zur Formel siehe den Artikel „Plancksches Strahlungsgesetz“.

Gesamtstrahldichte eines Schwarzen Strahlers[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn die spektrale Strahldichte über alle Frequenzen bzw. Wellenlängen integriert wird, wird die Gesamtstrahldichte berechnet :

Die Auswertung des Integrals liefert wegen :

mit

: Gesamtstrahldichte des Schwarzen Strahlers, W m−2 sr−1.

ist die Strahlungsleistung, die vom Flächenelement auf allen Frequenzen in das in der Richtung gelegene Raumwinkelelement abgestrahlt wird.

Das Verhältnis der in eine bestimmte Richtung abgegebenen Gesamtstrahldichte eines Flächenelements eines gegebenen Strahlers zu der Gesamtstrahldichte eines Schwarzen Strahlers derselben Temperatur ist der gerichtete Gesamtemissionsgrad des Flächenelements.

Integriert man die Gesamtstrahldichte des Schwarzen Strahlers über alle Richtungen des Halbraums, in den das Flächenelement abstrahlt, so erhält man die spezifische Ausstrahlung des Schwarzen Strahlers. Das Integral liefert einen zusätzlichen Faktor . Zur Formel siehe den Artikel „Stefan-Boltzmann-Gesetz“.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Umstellen der Definitionsgleichung für die Strahldichte liefert die Strahlungsleistung, die vom Flächenelement in das Raumwinkelelement gestrahlt wird, welches in der durch die Winkel und beschriebenen Richtung liegt:

Soll die Ausstrahlung einer endlich großen Abstrahlfläche in einen endlich großen Raumwinkel ermittelt werden, so ist über und zu integrieren:

Dabei wurde die Darstellung des Raumwinkelelements in Kugelkoordinaten verwendet:

Da im Allgemeinen vom Ort auf der Strahlfläche und von den überstrichenen Richtungen abhängen kann, ergibt sich unter Umständen ein sehr kompliziertes Integral. Eine wesentliche Vereinfachung tritt ein, wenn die Strahlfläche ein lambertscher Strahler (die Strahldichte also richtungsunabhängig) mit konstanten Oberflächeneigenschaften (die Strahldichte also ortsunabhängig) ist. Dann ist die Strahldichte eine konstante Zahl und kann vor das Integral gezogen werden:

Das Integral hängt jetzt nur noch von der Gestalt und Lage des Raumwinkels ab und kann unabhängig von gelöst werden. Auf diese Weise können nur von der Sender- und Empfängergeometrie abhängige allgemeine Sichtfaktoren ermittelt werden.

Wird beispielsweise die Ausstrahlung in den gesamten von der Strahlfläche überblickten Halbraum betrachtet, so ergibt sich für das Integral der Wert und die Abstrahlung eines lambertschen Strahlers der Fläche in den gesamten Halbraum ist einfach:

(Strahlungsleistung eines lambertschen Strahlers in den Halbraum)

Ist die Strahlfläche ein Schwarzer Strahler der Temperatur , so lässt sich die benötigte Strahldichte sofort nach dem planckschen Strahlungsgesetz berechnen (Formeln siehe oben). Ist sie ein Grauer Strahler, so ist die plancksche Strahldichte um den Emissionsgrad abzumindern. Eine eventuelle Orts- und Richtungsabhängigkeit des Emissionsgrades sowie eventuelle Reflexionen können die Integrationen erschweren.

Fotometrisches Grundgesetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das fotometrische Grundgesetz besagt, dass die Leuchtdichte auf dem Weg von der Lichtquelle zur beleuchteten Fläche unverändert bleibt. In der Radiometrie gilt dies analog: Die Strahldichte am Ort des Senders in Richtung des Empfängers ist gleich der Strahldichte am Ort des Empfängers aus Richtung des Senders. Für eine detaillierte Beschreibung siehe Leuchtdichte#Fotometrisches Grundgesetz.

Bezug zu anderen radiometrischen Größen und zur Photometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

radiometrische Größe Symbola) SI-Einheit Beschreibung photometrische Entsprechungb) Symbol SI-Einheit
Strahlungs­fluss
Strahlungs­leistung, radiant flux, radiant power
W
(Watt)
Strahlungsenergie durch Zeit Lichtstrom
luminous flux, luminous power
lm
(Lumen)
Strahl­stärke
Strahlungs­stärke, radiant intensity
W/sr Strahlungsfluss durch Raumwinkel Lichtstärke
luminous intensity
cd = lm/sr
(Candela)
Bestrahlungs­stärke
irradiance
W/m2 Strahlungsfluss durch Empfänger­fläche Beleuchtungs­stärke
illuminance
lx = lm/m2
(Lux)
Spezifische Ausstrahlung
Ausstrahlungs­strom­dichte, radiant exitance
W/m2 Strahlungsfluss durch Sender­fläche Spezifische Lichtausstrahlung
luminous exitance
lm/m2
Strahldichte
Strahlungsdichte, Radianz, radiance
W/m2sr Strahlstärke durch effektive Senderfläche Leuchtdichte
luminance
cd/m2
Strahlungs­energie
Strahlungsmenge, radiant energy
J
(Joule)
durch Strahlung übertragene Energie Lichtmenge
luminous energy, quantity of light
lm·s
Bestrahlung
Einstrahlung, radiant exposure
J/m2 Strahlungsenergie durch Empfänger­fläche Belichtung
luminous exposure
lx·s
Strahlungs­ausbeute
radiant efficiency
1 Strahlungsfluss durch auf­ge­nom­mene (meist elek­trische) Leistung Lichtausbeute
(overall) luminous efficacy
lm/W
a) Der Index „e“ dient zur Abgrenzung von den photo­metrischen Größen. Er kann weggelassen werden.
b) Die photometrischen Größen sind die radiometrischen Größen, gewichtet mit dem photo­metrischen Strahlungs­äquivalent K, das die Empfindlich­keit des menschlichen Auges angibt.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • H. D. Baehr, K. Stephan: Wärme- und Stoffübertragung. 5. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32334-1, Kap. 5: Wärmestrahlung.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b electropedia, Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch (IEV) der International Electrotechnical Commission: Eintrag 845-01-30 (Bereich Beleuchtung) hat die Übersetzung: radiance = „Strahldichte“
  2. DIN EN ISO 9288: Wärmeübertragung durch Strahlung - Physikalische Größen und Definitionen. Beuth Verlag, August 1996