Arkustangens und Arkuskotangens

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Graph der Funktion arctan(x)
Graph der Funktion arccot(x)

Arkustangens und Arkuskotangens sind zwei miteinander verwandte mathematische zyklometrische Funktionen.

Arkustangens (geschrieben oder )[1] sowie Arkuskotangens (geschrieben , und neuerdings auch )[2] sind die Umkehrfunktionen der geeignet eingeschränkten Tangens- und Kotangensfunktionen: Eine Einschränkung der ursprünglichen Definitionsbereiche ist nötig, weil Tangens und Kotangens periodische Funktionen sind. Man wählt beim Tangens das Intervall und beim Kotangens meist das Intervall .

Zusammen mit Arkussinus und Arkuskosinus als Umkehrfunktionen des Sinus und Kosinus bildet der Arkustangens den Kern der Klasse der Arkusfunktionen. Aufgrund der heute für Umkehrfunktionen gebräuchlichen allgemeinen Schreibweise beginnt dabei aber auch in diesem Fall die namentlich auf Taschenrechnern verbreitete Schreibweise die klassische Schreibweise zu verdrängen, was leicht zu Verwechslungen mit dem Kehrwert des Tangens, dem Kotangens, führen kann.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Arkustangens Arkuskotangens
Definitionsbereich
Wertebereich
Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallend
Symmetrien Ungerade Funktion:
Punktsymmetrie zu
Asymptoten für für
für
Nullstellen keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine keine
Wendepunkte

Einige spezielle Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wegen der Punktsymmetrie ist mit auch ein Wertepaar der Arkustangensfunktion.

Näherungsweise Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gelten folgende Näherungen:

Arkustangens, maximale Abweichung unter 0,005 Radianten:[3]

Eine weitere Berechnungsmöglichkeit bietet CORDIC.

Arkuskotangens:

Reihenentwicklung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Taylorreihe des Arkustangens mit dem Entwicklungspunkt x = 0 lautet:

Die Taylorreihe des Arkuskotangens mit dem Entwicklungspunkt x = 0 lautet:

Diese Reihen konvergieren genau dann, wenn und ist. Zur Berechnung des Arkustangens für kann man ihn auf einen Arkustangens von Argumenten mit zurückführen. Dazu kann man entweder die Funktionalgleichung benutzen oder (um ohne π auszukommen) die Gleichung

Durch mehrfache Anwendung dieser Formel lässt sich der Betrag des Arguments beliebig verkleinern, was eine sehr effiziente Berechnung durch die Reihe ermöglicht. Schon nach einmaliger Anwendung obiger Formel hat man ein Argument mit , so dass schon mal obige Taylorreihe konvergiert, und mit jeder weiteren Anwendung wird mindestens halbiert, was die Konvergenzgeschwindigkeit der Taylorreihe mit jeder Anwendung der Formel erhöht.

Wegen hat der Arkuskotangens am Entwicklungspunkt die Taylorreihe:

Sie konvergiert für und stimmt dort mit dem oben angegebenen Hauptwert überein. Sie konvergiert auch für , allerdings mit dem Wert . Manche Pakete der Computeralgebra geben für den am Ursprung unstetigen, aber punktsymmetrischen und am unendlich fernen Punkt stetigen Wert als Hauptwert.

Funktionalgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Arkustangenswerte über 1 oder unter −1 lassen sich aus den Werten zwischen −1 und 1 ableiten:

Gleiches gilt für die Arkuskotangenswerte:

Wenn man durch die erste Gleichung einen Arkustangenswert von 0 bis 1 erhält, kann anschließend folgende Gleichung angewandt werden:

 für 0 < x ≤ 1

Hiermit lässt sich der Arkustangenswert auf den Bereich von 0 bis ≈ 0,577 verkleinern.

Weitere Querbeziehungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Summenformeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus dem Additionstheorem für die Tangensfunktion folgt:

Aus dem Additionstheorem für die Kotangensfunktion folgt:

Beispielsweise gilt:

und

Als Arkuskotangens geschrieben:

und

Berechnung der Kreiszahl π mit Hilfe des Arkustangens[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Reihenentwicklung kann dazu verwendet werden, die Zahl π mit beliebiger Genauigkeit zu berechnen: Die einfachste Formel ist der Spezialfall die Leibniz-Formel

Da sie nur extrem langsam konvergiert, verwendete John Machin 1706 die Formel

um die ersten 100 Nachkommastellen von π mit Hilfe der Taylorreihe für den Arkustangens zu berechnen. Letztere konvergiert schneller und wird auch heute noch für die Berechnung von π verwendet.

Im Laufe der Zeit wurden noch mehr Formeln dieser Art gefunden. Ein Beispiel stammt von F. C. W. Störmer (1896):

was gleichbedeutend damit ist, dass der Realteil und der Imaginärteil der Gaußschen Zahl

gleich sind.

Gleiches gilt für die Formel von John Machin, wobei hier die Gaußsche Zahl

beträgt und mit einem normalen Taschenrechner berechnet werden kann.

Ableitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Arkustangens:

Arkuskotangens:

Stammfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Arkustangens:

Eine Stammfunktion des Arkustangens selbst ist

Der Arkustangens spielt eine wesentliche Rolle bei der symbolischen Integration von Ausdrücken der Form

Ist die Diskriminante nichtnegativ, so kann man eine Stammfunktion mittels Partialbruchzerlegung bestimmen. Ist die Diskriminante negativ, so kann man den Ausdruck durch die Substitution

in die Form

bringen; eine Stammfunktion ist also

Arkuskotangens:

Eine Stammfunktion des Arkuskotangens ist

.

Komplexes Argument[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  mit

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man kann sowohl den Arkustangens als auch den Arkuskotangens durch einen komplexen Logarithmus ausdrücken:

Arkustangens:

für z in der zweifach geschlitzten Ebene:

Arkuskotangens:

Umrechnung kartesischer Koordination in polare in der Ebene[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Punkt in der Ebene durch Polarkoordinaten gegeben, so sind seine kartesischen Koordinaten durch folgende Formeln definiert:

Die Umrechnung in der Gegenrichtung ist etwas komplizierter. Zwar gehört auf jeden Fall der Abstand des Punktes vom Ursprung

zur Lösung. Ist nun dann ist auch und es spielt keine Rolle, welchen Wert hat. Dieser Fall wird im Folgenden als der singuläre Fall bezeichnet.

Ist aber dann ist   (weil beide Funktionen und mit rad periodisch sind)   nur modulo bestimmt, d. h. mit ist auch für jedes eine Lösung.

Trigonometrische Umkehrfunktionen sind erforderlich, um von Längen zu Winkeln zu kommen. Hier zwei Beispiele, bei denen der Arkustangens zum Einsatz kommt.

Winkelhalbierende von φ

Halber Winkel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der nebenstehenden Zeichnung wurde zu einem Punkt in der Ebene, der durch seine kartesischen Koordinaten gegeben ist, der Schnittpunkt des (violetten) Kreises um mit Radius mit dem zur Polarachse parallelen, bei startenden Strahl gebildet. Dann ist die Strecke und die Winkel und im gleichschenkligen Dreieck sind gleich. Gleich sind aber auch die Wechselwinkel und so dass der Strahl den gesuchten Winkel exakt halbiert. Mit als Fußpunkt des Lotes von auf die Polarachse ergibt sich:

wobei zu beachten ist, dass das in der Zeichnung deshalb einen negativen Wert hat, weil in der linken Halbebene liegt. Aufgelöst ergibt sich:

Die Gleichung versagt, wenn ist. Dann muss wegen auch sein. Ist dann dann handelt es sich um den singulären Fall. Ist aber dann ist leicht zu sehen, dass die Gleichungen durch zu befriedigen sind.

Graph von atan2(y,x) für |x|≫0.
Quadrant in Abhängigkeit von sgn(x).

Der „Arkustangens“ mit zwei Argumenten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da die Tangensfunktion Pole bei hat, außerdem die Periode besitzt, der Winkel aber bis auf die Periode genau zu bestimmen ist – die direkt angewendete, einfache Arkustangensfunktion somit nicht ganz zureicht –, gibt es in vielen Programmiersprachen eine erweiterte Funktion, die mit den kartesischen Koordinaten, also mit 2 Argumenten, aufgerufen wird. Sie hat häufig den Namen [4] mit dieser Reihenfolge der Argumente (wohl eine Reminiszenz an ). Aber auch kommt vor.[5]

Formel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Funktionsdefinition

[6]
für  
  für  
für  
für  
für  

lassen sich die ersten 3 Fallunterscheidungen zu

für  

und die nächsten 2 zu

für  

umformen.[7]

Dem Argument wird manchmal der Funktionswert zugeordnet. Auch andere Sonderfälle wie Not a Number und ähnliche werden unterschiedlich behandelt.

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine weitere Möglichkeit besteht darin, die Funktion für über den Hauptwert des komplexen Logarithmus zu definieren:

Diese Funktion wird zum Beispiel in der inversen Kinematik genutzt, um korrekte Gelenkeinstellungen berechnen zu können. Dies ist allerdings nur eine andere formale Darstellung derselben Möglichkeit, da man letztlich mit bestimmen muss und dazu die gegebene kartesische Darstellung von in die Polarform überführt, also wieder effektiv auf die obige atan2-Funktion zurückgreift.

Arkustangens mit Lageparameter[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Arkustangens mit Lageparameter

In vielen Anwendungsfällen soll die Lösung der Gleichung so nahe wie möglich bei einem gegebenen Wert liegen. Dazu eignet sich die mit dem Parameter modifizierte Arkustangens-Funktion

.

Die Funktion rundet zur engstbenachbarten ganzen Zahl.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Arkustangens und Arkuskotangens – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Eric W. Weisstein: Inverse Tangent. In: MathWorld (englisch).
  2. Eric Weisstein: Inverse Cotangent. In: MathWorld (englisch).
  3. Weitere Approximationen (en) (Memento vom 16. April 2009 im Internet Archive)
  4. so die Programmiersprachen C, C++, Java, Python, MATLAB, R
  5. so Excel, OpenOffice Calc
  6. Man beachte, dass hier genau genommen die an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelte Ebene ist, was aber keine Auswirkungen auf den Funktionswert hat.
  7. ist bis auf die Fälle punktsymmetrisch am Ursprung, in Formeln: .