Arkustangens und Arkuskotangens

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Graph der Funktion arctan(x)
Graph der Funktion arccot(x)

Arkustangens und Arkuskotangens sind zwei miteinander verwandte mathematische zyklometrische Funktionen.

Arkustangens (geschrieben , , oder )[1] sowie Arkuskotangens (geschrieben , und neuerdings auch )[2] sind die Umkehrfunktionen der geeignet eingeschränkten Tangens- und Kotangensfunktionen: Eine Einschränkung der ursprünglichen Definitionsbereiche ist nötig, weil Tangens und Kotangens periodische Funktionen sind. Man wählt beim Tangens das Intervall und beim Kotangens meist das Intervall .

Zusammen mit Arkussinus und Arkuskosinus als Umkehrfunktionen des Sinus und Kosinus bildet der Arkustangens den Kern der Klasse der Arkusfunktionen. Aufgrund der heute für Umkehrfunktionen gebräuchlichen allgemeinen Schreibweise beginnt dabei aber auch in diesem Fall die namentlich auf Taschenrechnern verbreitete Schreibweise die klassische Schreibweise zu verdrängen, was leicht zu Verwechslungen mit dem Kehrwert des Tangens, dem Kotangens, führen kann.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Arkustangens Arkuskotangens
Definitionsbereich
Wertebereich
Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallend
Symmetrien Ungerade Funktion:
Punktsymmetrie zu
Asymptoten für für
für
Nullstellen keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine keine
Wendepunkte

Einige spezielle Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wegen der Punktsymmetrie ist mit auch ein Wertepaar der Arkustangensfunktion.

Näherungsweise Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gelten folgende Näherungen:

Arkustangens, maximale Abweichung unter 0,005 Radianten:[3]

Eine weitere Berechnungsmöglichkeit bietet CORDIC.

Arkuskotangens:

Reihenentwicklung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Taylorreihe des Arkustangens mit dem Entwicklungspunkt x=0 lautet:

Die Taylorreihe des Arkuskotangens mit dem Entwicklungspunkt x=0 lautet:

Diese Reihen konvergieren genau dann, wenn und ist. Zur Berechnung des Arkustangens für kann man ihn auf einen Arkustangens von Argumenten mit zurückführen. Dazu kann man entweder die Funktionalgleichung benutzen oder (um ohne π auszukommen) die Gleichung

Durch mehrfache Anwendung dieser Formel lässt sich der Betrag des Arguments beliebig verkleinern, was eine sehr effiziente Berechnung durch die Reihe ermöglicht. Schon nach einmaliger Anwendung obiger Formel hat man ein Argument mit , so dass schon mal obige Taylorreihe konvergiert, und mit jeder weiteren Anwendung wird mindestens halbiert, was die Konvergenzgeschwindigkeit der Taylorreihe mit jeder Anwendung der Formel erhöht.

Wegen hat der Arkuskotangens am Entwicklungspunkt die Taylorreihe:

Sie konvergiert für und stimmt dort mit dem oben angegebenen Hauptwert überein. Sie konvergiert auch für , allerdings mit dem Wert . Manche Pakete der Computeralgebra geben für den am Ursprung unstetigen, aber punktsymmetrischen und am unendlich fernen Punkt stetigen Wert als Hauptwert.

Funktionalgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Arkustangenswerte über 1 oder unter −1 lassen sich aus den Werten zwischen −1 und 1 ableiten:

Gleiches gilt für die Arkuskotangenswerte:

Weitere Querbeziehungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Beziehungen zwischen beiden Arkusfunktionen geben auch die folgende Formeln wieder:

Summenformeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus dem Additionstheorem für die Tangensfunktion folgt:

Aus dem Additionstheorem für die Kotangensfunktion folgt:

Beispielsweise gilt:

und

Als Arkuskotangens geschrieben:

und

Berechnung der Kreiszahl π mit Hilfe des Arkustangens[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Reihenentwicklung kann dazu verwendet werden, die Zahl π mit beliebiger Genauigkeit zu berechnen: Die einfachste Formel ist der Spezialfall die Leibniz-Formel

Da sie nur extrem langsam konvergiert, verwendete John Machin 1706 die Formel

um die ersten 100 Nachkommastellen von π mit Hilfe der Taylorreihe für den Arkustangens zu berechnen. Letztere konvergiert schneller und wird auch heute noch für die Berechnung von π verwendet.

Im Laufe der Zeit wurden noch mehr Formeln dieser Art gefunden. Ein Beispiel stammt von F. C. W. Störmer (1896):

was gleichbedeutend damit ist, dass der Realteil und der Imaginärteil der Gaußschen Zahl

gleich sind.

Gleiches gilt für die Formel von John Machin, wobei hier die Gaußsche Zahl

beträgt und mit einem normalen Taschenrechner berechnet werden kann.

Ableitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Arkustangens:

Arkuskotangens:

Stammfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Arkustangens:

Eine Stammfunktion des Arkustangens selbst ist

Der Arkustangens spielt eine wesentliche Rolle bei der symbolischen Integration von Ausdrücken der Form

Ist die Diskriminante nichtnegativ, so kann man eine Stammfunktion mittels Partialbruchzerlegung bestimmen. Ist die Diskriminante negativ, so kann man den Ausdruck durch die Substitution

in die Form

bringen; eine Stammfunktion ist also

Arkuskotangens:

Eine Stammfunktion des Arkuskotangens ist

.

Komplexes Argument[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  mit

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Arkustangens:

Man kann den Arkustangens durch einen komplexen Logarithmus ausdrücken:

für z in der zweifach geschlitzten Ebene:

Arkuskotangens:

Ebenfalls ist es möglich, den Arkuskotangens durch einen komplexen Logarithmus auszudrücken:

Zwischen Arkustangens und Arkuskotangens besteht folgende Beziehung:

Der „Arkustangens“ mit zwei Argumenten (atan2)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diese Funktion dient bei der Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten der Ermittlung des Winkels Da der einfache Arkustangens nicht die Möglichkeit bietet, den Winkel im korrekten Quadranten zu ermitteln, und außerdem die Tangensfunktion für einen Funktionswert von nicht umkehrbar ist, gibt es in vielen Programmiersprachen eine Funktion, die mit 2 Argumenten aufgerufen wird. Sie wird üblicherweise mit bezeichnet.

Die Funktion kann über die folgende Eigenschaft definiert werden: Sind reelle Zahlen und so gilt:

sind hierbei die Polarkoordinaten des Punktes mit den kartesischen Koordinaten

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Darstellung von atan2(y,x) für x≠0

Eine von mehreren in der Praxis vorkommenden Definitionen:

Für ist die Funktion manchmal nicht definiert. Auch Sonderfälle wie Not a Number und Inf werden unterschiedlich behandelt.

Wertebereich[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei der o. g. Definition:

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine weitere Möglichkeit besteht darin, die Funktion für (x,y) ≠ (0,0) über den Hauptwert des komplexen Logarithmus zu definieren:

Diese Funktion wird zum Beispiel in der inversen Kinematik genutzt, um korrekte Gelenkeinstellungen berechnen zu können. Dies ist allerdings nur eine andere formale Darstellung derselben Möglichkeit, da man letztlich mit bestimmen muss und dazu die gegebene kartesische Darstellung von in die Polarform überführt, also wieder effektiv auf die obige atan2-Funktion zurückgreift.

Arkustangens mit Lageparameter[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Arkustangens mit Lageparameter

In vielen Anwendungsfällen soll die Lösung der Gleichung so nahe wie möglich bei einem gegebenen Wert liegen. Dazu eignet sich die mit dem Parameter modifizierte Arkustangens-Funktion

.

Die Funktion rundet zur engstbenachbarten ganzen Zahl.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Arkustangens und Arkuskotangens – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Eric Weisstein: Inverse Tangent. In: MathWorld (englisch).
  2. Eric Weisstein: Inverse Cotangent. In: MathWorld (englisch).
  3. Weitere Approximationen (en) (Memento vom 16. April 2009 im Internet Archive)