Verträglichkeit (Mathematik)

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In der Mathematik ist eine Abbildung zwischen zwei Mengen, die nicht verschieden sein müssen und die Strukturen der gleichen Art besitzen, dann mit deren Strukturen verträglich, ein Homomorphismus oder ein (konkreter) Morphismus, wenn sie die Elemente aus der einen Menge so in die andere Menge abbildet, dass sich ihre Bilder dort hinsichtlich der Relationen sowie Abbildungen der Struktur ebenso verhalten, wie sich deren Urbilder in der Ausgangsstruktur verhalten.

Ein wichtiger Sonderfall hierfür sind die Distributivgesetze als Charakterisierung von zweistelligen Verknüpfungen, die linksverträglich bzw. rechtsverträglich mit anderen Verknüpfungen sind.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben seien zwei nichtleere Mengen und sowie beliebige nichtleere Indexmengen und für jedes die im Folgenden immer auch unendlich sein können.

Weiterhin seien und zwei Relationen[1] mit gleichen Eigenschaften sowie und zwei Familien von Relationen und die für jeden Index jeweils gleiche Eigenschaften haben, sodass und zwei Strukturen der gleichen Art sind. Eine Abbildung heißt dann verträglich mit den Relationen und wenn gilt:

ist verträglich mit den Strukturen und [2] wenn für jeden Index die Abbildung verträglich ist mit und Man nennt dann auch einen Homomorphismus oder kurz Morphismus zwischen diesen zwei Strukturen.

Nun sei [3] eine innere Verknüpfung auf ( darf auch unendlich sein) und sodass auf komponentenweise die Relation für alle auf gegeben ist. heißt dann verträglich mit wenn verträglich ist mit und

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Sind zwei Relationen mit gleichen Eigenschaften und Abbildungen (d.h. linkstotal und rechtseindeutig) und bzw. deren Graphen sowie so ist eine Abbildung genau dann verträglich mit den Abbildungen und wenn
   für alle
  • Zwei nullstellige Abbildungen und können stets als die einelementigen einstelligen Relationen und auffasst werden. Eine Abbildung ist daher genau dann verträglich mit den Abbildungen und wenn die Konstanten und aufeinander abbildet:
  • ist genau dann verträglich mit einer Abbildung wenn mit gilt:
   für alle

Distributivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei nun zusätzlich eine nichtleere Menge gegeben. Man nennt dann eine zweistellige Verknüpfung linksverträglich mit und wenn für jedes die Linkstransformation

nach obiger Definition mit und verträglich ist. Ebenso nennt man eine zweistellige Verknüpfung rechtsverträglich mit und wenn für jedes die Rechtstransformation

mit und verträglich ist.

Falls linksverträglich ist sowie rechtsverträglich ist mit Abbildungen und dann sagt man auch, dass linksdistributiv ist bzw. rechtsdistributiv ist über und

   bzw.      für alle und für alle

Eine innere zweistellige Verknüpfung auf heißt distributiv über wenn links- und rechtsdistributiv über ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die mit geordneten Strukturen und verträglichen Abbildungen heißen isoton oder auch monoton (steigend):
   für alle
  • Die Topologie eines topologischen Raums ist eindeutig durch das Hüllensystem aller abgeschlossenen Mengen des Raumes gegeben und ebenso ist durch das Kernsystem eindeutig bestimmt, denn jede offene Menge ist das (absolute) Komplement einer abgeschlossenen Menge und umgekehrt. Jede abgeschlossene Menge lässt sich wiederum dadurch charakterisieren, dass jeder Punkt genau dann in liegt, wenn gegen ihn ein Netz konvergiert mit für alle Die Topologie und das Konvergenzverhalten aller Netze in sind also äquivalent.
Mit der gemeinsamen topologischen Struktur zweier topologischer Räume und ist daher eine Abbildung genau dann verträglich oder stetig, falls sie für jeden Punkt mit allen gegen konvergenten Netzen verträglich ist:
   für alle Netze mit für alle
  • Die Distributivität spielt bei vielen algebraischen Strukturen eine wichtige Rolle.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Garrett Birkhoff: Lattice Theory. 3rd Edition. AMS, Providence, RI 1973, ISBN 0-8218-1025-1.
  • Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1982, ISBN 3-411-01638-8.
  • Hans Hermes: Einführung in die Verbandstheorie. 2. Auflage. Springer, Berlin – Heidelberg 1967.
  • Wilhelm Klingenberg: Lineare Algebra und Geometrie. Springer, Berlin – Heidelberg 1984, ISBN 3-540-13427-1.
  • Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3., neu bearb. und erw. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2001, ISBN 3-540-67790-9.
  • F. Reinhardt, H. Soeder: dtv-Atlas Mathematik. 11. Auflage. Band 1: Grundlagen, Algebra und Geometrie. Deutscher Taschenbuchverlag, München 1998, ISBN 3-423-03007-0.
  • Heinrich Werner: Einführung in die allgemeine Algebra. Bibliographisches Institut, Mannheim 1978, ISBN 3-411-00120-8.

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Die Menge für alle aller Familien in mit Indexmenge wird, falls endlich ist und genau Elemente enthält, ebenso mit oder für mit identifiziert, wobei man zwischen und in der Regel nicht unterscheidet.
  2. Eine Struktur mit einem Tupel bzw. einer Familie von mehreren Trägermengen und mit Relationen in (auch verschiedenen) kartesischen Produkten dieser Trägermengen lässt sich als eine Struktur mit der Trägermenge auffassen, da stets jede Relation auch Teilmenge eines kartesischen Produkts von ist.
  3. Um Klammern zu sparen, wird hier die Operatorenschreibweise verwendet.