Verträglichkeit (Mathematik)

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In der Mathematik ist eine Abbildung zwischen zwei Mengen, die nicht verschieden sein müssen und die Strukturen der gleichen Art besitzen, mit deren Strukturen verträglich, ein Homomorphismus oder ein (konkreter) Morphismus, falls sie die Elemente aus der einen Menge so in die andere Menge abbildet, dass sich ihre Bilder dort hinsichtlich der Relationen sowie Abbildungen der Struktur ebenso verhalten, wie sich deren Urbilder in der Ausgangsstruktur verhalten.

Ein wichtiger Sonderfall hierfür sind die Distributivgesetze als Charakterisierung von zweistelligen Verknüpfungen, die linksverträglich bzw. rechtsverträglich mit anderen Verknüpfungen sind.

Definition[Bearbeiten]

Gegeben seien zwei nichtleere Mengen A und B sowie beliebige nichtleere Indexmengen I, J, K und J_i für jedes i \in I, die im folgenden immer auch unendlich sein können.

Weiterhin seien R_A \subseteq A^J und R_B \subseteq B^J zwei Relationen[1] mit gleichen Eigenschaften sowie (R_{A,i})_{i\in I} und (R_{B,i})_{i\in I} zwei Familien von Relationen R_{A,i} \subseteq A^{J_i} und R_{B,i} \subseteq B^{J_i}, die für jeden Index i \in I jeweils gleiche Eigenschaften haben, sodass (A, (R_{A,i})_{i\in I}) und (B, (R_{B,i})_{i\in I}) zwei Strukturen der gleichen Art sind. Eine Abbildung \varphi\colon\, A \to B,\, a \mapsto \varphi(a), heißt dann verträglich mit den Relationen R_A und R_B, wenn gilt:

(a_j)_{j\in J} \in R_A  \implies  \left(\varphi(a_j)\right)_{j\in J} \in R_B.

\varphi ist verträglich mit den Strukturen (A, (R_{A,i})_{i\in I}) und (B, (R_{B,i})_{i\in I}),[2] wenn für jeden Index i \in I die Abbildung \varphi verträglich ist mit R_{A,i} und R_{B,i}. Man nennt dann \varphi auch einen Homomorphismus oder kurz Morphismus zwischen diesen zwei Strukturen.

Nun sei \chi\colon\, A^K \to A,\, (a_k)_{k\in K} \mapsto \chi(a_k)_{k\in K},[3] eine innere Verknüpfung auf A (K darf auch unendlich sein) und R_A \subseteq A^J, sodass auf A^K komponentenweise die Relation R_{A^K} := \bigl\{\left((a_{k,j})_{k\in K}\right)_{j\in J} \bigr|\, (a_{k,j})_{j \in J} \in R_A für alle k \in K\,\bigl\} \subseteq \bigl(A^K\bigr)\bigr.^J auf A gegeben ist. \chi heißt dann verträglich mit R_A, wenn \chi verträglich ist mit R_{A^K} und R_A.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Sind zwei Relationen mit gleichen Eigenschaften R_A \subseteq A^I\!\times A und R_B \subseteq B^I\!\times B Abbildungen (d.h. linkstotal und rechtseindeutig) f_A\colon\, A^I \to A,\, (a_i)_{i\in I} \mapsto f_A(a_i)_{i\in I}, und f_B\colon\, B^I \to B,\, (b_i)_{i\in I} \mapsto f_B(b_i)_{i\in I}, bzw. deren Graphen G_{f_A} = R_A sowie G_{f_B} = R_B, so ist eine Abbildung \varphi\colon\, A \to B genau dann verträglich mit den Abbildungen f_A und f_B, wenn
\varphi\left(f_A(a_i)_{i\in I}\right) = f_B\left(\varphi(a_i)\right)_{i\in I}   für alle (a_i)_{i\in I} \in A^I.
  • Zwei nullstellige Abbildungen f_A\colon\, A^0 \to A,\, () \mapsto f_A(), und f_B\colon\, B^0 \to B,\, () \mapsto f_B(), können stets als die einelementigen einstelligen Relationen R_A = \{f_A()\} \subseteq A und R_B = \{f_B()\} \subseteq B auffasst werden. Eine Abbildung \varphi\colon\, A \to B ist daher genau dann verträglich mit den Abbildungen f_A und f_B, wenn \varphi die Konstanten f_A() und f_B() aufeinander abbildet:
\varphi(f_A()) = f_B().
  • \chi\colon\, A^K \to A ist genau dann verträglich mit einer Abbildung f_A\colon\, A^I \to A, wenn mit f_{A^K}\colon\, \bigl(A^K\bigr)^I \to A^K,\, \left((a_{k,i})_{k\in K}\right)_{i\in I} \mapsto f_{A^K}\left((a_{k,i})_{k\in K}\right)_{i\in I} = \left(f_A(a_{k,i})_{i\in I}\right)_{k\in k\!}, gilt:
\chi\left(f_A(a_{k,i})_{i\in I}\right)_{k\in K} = f_A\left(\chi(a_{k,i})_{k\in K}\right)_{i\in I}   für alle \left((a_{k,i})_{k\in K}\right)_{i\in I} \in \bigl(A^K\bigr)^I.

Distributivität[Bearbeiten]

Sei nun zusätzlich eine nichtleere Menge C gegeben. Man nennt dann eine zweistellige Verknüpfung \star\colon\, C \times A \to B,\, (c, a) \mapsto c \star a, linksverträglich mit R_A und R_B, wenn für jedes c \in C die Linkstransformation

\tau_{c\star}\colon\, A \to B,\, a \mapsto \tau_{c\star}(a) := c \star a,

nach obiger Definition mit R_A und R_B verträglich ist. Ebenso nennt man eine zweistellige Verknüpfung *\colon\, A \times C \to B,\, (a, c) \mapsto a * c, rechtsverträglich mit R_A und R_B, wenn für jedes c \in C die Rechtstransformation

\tau_{*c}\colon\, A \to B,\, a \mapsto \tau_{*c}(a) := a * c,

mit R_A und R_B verträglich ist.

Falls \star linksverträglich ist sowie * rechtsverträglich ist mit Abbildungen f_A\colon\, A^I \to A und f_B\colon\, B^I \to B, dann sagt man auch, dass \star linksdistributiv ist bzw. * rechtsdistributiv ist über f_A und f_B\colon

c \star f_A(a_i)_{i\in I} = f_B(c \star a_i)_{i\in I}   bzw.   f_A(a_i)_{i\in I} * c = f_B(a_i * c)_{i\in I}   für alle c \in C und für alle (a_i)_{i\in I} \in A^I.

Eine innere zweistellige Verknüpfung \cdot\colon\, A \times A \to A auf A heißt distributiv über f_A, wenn \cdot links- und rechtsdistributiv über f_A ist.

Beispiele[Bearbeiten]

a_1 \leq a_2 \implies \varphi(a_1) \sqsubseteq \varphi(a_2)   für alle a_1,a_2 \in A.
Mit der gemeinsamen topologischen Struktur zweier topologischer Räume (X,\mathcal O) und (Y,\mathcal P) ist daher eine Abbildung \varphi\colon\, X \to Y genau dann verträglich oder stetig, falls sie für jeden Punkt x \in X mit allen gegen x konvergenten Netzen verträglich ist:
(x_i)_{i\in I} \longrightarrow_X x \implies \left(\varphi(x_i)\right)_{i\in I} \longrightarrow_Y \varphi(x)   für alle Netze (x_i)_{i\in I} mit x_i \in X für alle i \in I.
  • Die Distributivität spielt bei vielen algebraischen Strukturen eine wichtige Rolle.

Literatur[Bearbeiten]

  •  Garrett Birkhoff: Lattice Theory. 3rd Edition. AMS, Providence, RI, 1973, ISBN 0-8218-1025-1.
  •  Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1982, ISBN 3-411-01638-8.
  •  Hans Hermes: Einführung in die Verbandstheorie. 2. Auflage. Springer, Berlin – Heidelberg 1967.
  •  Wilhelm Klingenberg: Lineare Algebra und Geometrie. Springer, Berlin – Heidelberg 1984, ISBN 3-540-13427-1.
  •  Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3., neu bearb. und erw. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2001, ISBN 3-540-67790-9.
  •  F. Reinhardt, H. Soeder: dtv-Atlas Mathematik. 11. Auflage. Band 1: Grundlagen, Algebra und Geometrie, Deutscher Taschenbuchverlag, München 1998, ISBN 3-423-03007-0.
  •  Heinrich Werner: Einführung in die allgemeine Algebra. Bibliographisches Institut, Mannheim 1978, ISBN 3-411-00120-8.

Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. Die Menge A^J = \{(a_j)_{j\in J} \mid a_j \in A für alle j\in J\} aller Familien in A mit Indexmenge J wird, falls J endlich ist und genau n Elemente enthält, ebenso mit A^n = \{(a_0,\ldots,a_{n-1}) \mid a_0,\ldots,a_{n-1} \in A\} oder für \underline n := \{1, \ldots, n\} mit A^{\underline n} = \{(a_1,\ldots,a_n) \mid a_1,\ldots,a_n \in A\} identifiziert, wobei man zwischen A^n und A^{\underline n} in der Regel nicht unterscheidet.
  2. Eine Struktur ((A_k)_{k\in K}, (R_i)_{i\in I}) mit einem Tupel bzw. einer Familie von mehreren Trägermengen A_k und mit Relationen R_i in (auch verschiedenen) kartesischen Produkten dieser Trägermengen lässt sich als eine Struktur mit der Trägermenge A := \bigcup(A_k)_{k\in K} auffassen, da stets jede Relation R_i auch Teilmenge eines kartesischen Produkts von A ist.
  3. Um Klammern zu sparen, wird hier die Operatorenschreibweise verwendet.