Kreisteilungskörper

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Kreisteilungskörper (auch: Zyklotomische Körper) sind Studienobjekte des mathematischen Teilgebietes der algebraischen Zahlentheorie. Sie sind in gewisser Hinsicht besonders einfache Verallgemeinerungen des Körpers der rationalen Zahlen.

Definition: Es sei eine natürliche Zahl. Dann ist der -te Kreisteilungskörper diejenige Körpererweiterung von , die durch Adjunktion der Menge aller -ten Einheitswurzeln entsteht.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ist eine primitive -te Einheitswurzel, so ist das Minimalpolynom von das -te Kreisteilungspolynom , deshalb ist
Insbesondere ist der Körpergrad mit der eulerschen φ-Funktion.
  • Zwei Kreisteilungskörper und mit sind genau dann gleich, wenn ungerade ist und gilt.
  • Die Adjunktion der -ten Einheitswurzeln zu ergibt mit
  • Die Erweiterung ist galoissch. Die Galoisgruppe ist isomorph zu ist eine primitive -te Einheitswurzel, so entspricht einem Element der durch
definierte Automorphismus von
  • Der Ganzheitsring von ist mit einer beliebigen primitiven -ten Einheitswurzel
  • Insbesondere ist der Ganzheitsring von gleich dem Ring der ganzen gaußschen Zahlen, der Ganzheitsring von ist gleich dem Ring der Eisenstein-Zahlen. Diese beiden Zahlkörper sind die einzigen algebraischen Erweiterungen der rationalen Zahlen, die sowohl Kreisteilungskörper als auch quadratische Erweiterungskörper sind.
  • Eine Primzahl ist genau dann verzweigt in wenn ein Teiler von ist. ist genau dann voll zerlegt, wenn gilt.
  • Ist eine Primzahlpotenz und eine primitive -te Einheitswurzel, so ist in unzerlegt und rein verzweigt. Das einzige Primideal über ist das Hauptideal, das von erzeugt wird:

Satz von Kronecker-Weber[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Kronecker-Weber (nach L. Kronecker und H. Weber) besagt, dass jeder algebraische Zahlkörper mit abelscher Galoisgruppe in einem Kreisteilungskörper enthalten ist. Die maximale abelsche Erweiterung von entsteht also durch Adjunktion aller Einheitswurzeln.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]