Verträglichkeit (Mathematik)

In der Mathematik ist eine Abbildung zwischen zwei Mengen, die nicht verschieden sein müssen und die Strukturen der gleichen Art besitzen, mit deren Strukturen verträglich, ein Homomorphismus oder ein (konkreter) Morphismus, falls sie die Elemente aus der einen Menge so in die andere Menge abbildet, dass sich ihre Bilder dort hinsichtlich der Relationen sowie Abbildungen der Struktur ebenso verhalten, wie sich deren Urbilder in der Ausgangsstruktur verhalten.

Ein wichtiger Sonderfall hierfür sind die Distributivgesetze als Charakterisierung von zweistelligen Verknüpfungen, die linksverträglich bzw. rechtsverträglich mit anderen Verknüpfungen sind.

Definition

Gegeben seien zwei nichtleere Mengen $A$ und $B$ sowie beliebige nichtleere Indexmengen $I,J,K$ und $J_{i}$ für jedes $i\in I,$ die im folgenden immer auch unendlich sein können.

Weiterhin seien $R_{A}\subseteq A^{J}$ und $R_{B}\subseteq B^{J}$ zwei Relationen mit gleichen Eigenschaften sowie $(R_{A,i})_{i\in I}$ und $(R_{B,i})_{i\in I}$ zwei Familien von Relationen $R_{A,i}\subseteq A^{J_{i}}$ und $R_{B,i}\subseteq B^{J_{i}},$ die für jeden Index $i\in I$ jeweils gleiche Eigenschaften haben, sodass $(A,(R_{A,i})_{i\in I})$ und $(B,(R_{B,i})_{i\in I})$ zwei Strukturen der gleichen Art sind. Eine Abbildung $\varphi \colon \,A\to B,\,a\mapsto \varphi (a),$ heißt dann verträglich mit den Relationen $R_{A}$ und $R_{B},$ wenn gilt:

$(a_{j})_{j\in J}\in R_{A}\implies \left(\varphi (a_{j})\right)_{j\in J}\in R_{B}.$

$\varphi$ ist verträglich mit den Strukturen $(A,(R_{A,i})_{i\in I})$ und $(B,(R_{B,i})_{i\in I}),$ wenn für jeden Index $i\in I$ die Abbildung $\varphi$ verträglich ist mit $R_{A,i}$ und $R_{B,i}.$ Man nennt dann $\varphi$ auch einen Homomorphismus oder kurz Morphismus zwischen diesen zwei Strukturen.

Nun sei $\chi \colon \,A^{K}\to A,\,(a_{k})_{k\in K}\mapsto \chi (a_{k})_{k\in K},$ eine innere Verknüpfung auf $A$ ($K$ darf auch unendlich sein) und $R_{A}\subseteq A^{J},$ sodass auf $A^{K}$ komponentenweise die Relation $R_{A^{K}}:={\bigl \{}\left((a_{k,j})_{k\in K}\right)_{j\in J}{\bigr |}\,(a_{k,j})_{j\in J}\in R_{A}$ für alle $k\in K\,{\bigl \}}\subseteq {\bigl (}A^{K}{\bigr )}{\bigr .}^{J}$ auf $A$ gegeben ist. $\chi$ heißt dann verträglich mit $R_{A},$ wenn $\chi$ verträglich ist mit $R_{A^{K}}$ und $R_{A}.$

Eigenschaften

• Sind zwei Relationen mit gleichen Eigenschaften $R_{A}\subseteq A^{I}\!\times A$ und $R_{B}\subseteq B^{I}\!\times B$ Abbildungen (d.h. linkstotal und rechtseindeutig) $f_{A}\colon \,A^{I}\to A,\,(a_{i})_{i\in I}\mapsto f_{A}(a_{i})_{i\in I},$ und $f_{B}\colon \,B^{I}\to B,\,(b_{i})_{i\in I}\mapsto f_{B}(b_{i})_{i\in I},$ bzw. deren Graphen $G_{f_{A}}=R_{A}$ sowie $G_{f_{B}}=R_{B},$ so ist eine Abbildung $\varphi \colon \,A\to B$ genau dann verträglich mit den Abbildungen $f_{A}$ und $f_{B},$ wenn

$\varphi \left(f_{A}(a_{i})_{i\in I}\right)=f_{B}\left(\varphi (a_{i})\right)_{i\in I}$   für alle $(a_{i})_{i\in I}\in A^{I}.$

• Zwei nullstellige Abbildungen $f_{A}\colon \,A^{0}\to A,\,()\mapsto f_{A}(),$ und $f_{B}\colon \,B^{0}\to B,\,()\mapsto f_{B}(),$ können stets als die einelementigen einstelligen Relationen $R_{A}=\{f_{A}()\}\subseteq A$ und $R_{B}=\{f_{B}()\}\subseteq B$ auffasst werden. Eine Abbildung $\varphi \colon \,A\to B$ ist daher genau dann verträglich mit den Abbildungen $f_{A}$ und $f_{B},$ wenn $\varphi$ die Konstanten $f_{A}()$ und $f_{B}()$ aufeinander abbildet:

$\varphi (f_{A}())=f_{B}().$

• $\chi \colon \,A^{K}\to A$ ist genau dann verträglich mit einer Abbildung $f_{A}\colon \,A^{I}\to A,$ wenn mit $f_{A^{K}}\colon \,{\bigl (}A^{K}{\bigr )}^{I}\to A^{K},\,\left((a_{k,i})_{k\in K}\right)_{i\in I}\mapsto f_{A^{K}}\left((a_{k,i})_{k\in K}\right)_{i\in I}=\left(f_{A}(a_{k,i})_{i\in I}\right)_{k\in k\!},$ gilt:

$\chi \left(f_{A}(a_{k,i})_{i\in I}\right)_{k\in K}=f_{A}\left(\chi (a_{k,i})_{k\in K}\right)_{i\in I}$   für alle $\left((a_{k,i})_{k\in K}\right)_{i\in I}\in {\bigl (}A^{K}{\bigr )}^{I}.$

Distributivität

Ist $*\colon \,A^{2}\to A,\,(a_{1},a_{2})\mapsto a_{1}*a_{2},$ eine innere zweistellige Verknüpfung auf $A,$ dann nennt man $*$ linksverträglich mit $R_{A}$ (bzw. $f_{A}$), wenn für jedes $c\in A$ die Linkstranslation

$\vartheta _{c*}\colon \,A\to A,\,a\mapsto \vartheta _{c*}(a):=c*a,$

und rechtsverträglich mit $R_{A}$ (bzw. $f_{A}$), wenn für jedes $c\in A$ die Rechtstranslation

$\vartheta _{*c}\colon \,A\to A,\,a\mapsto \vartheta _{*c}(a):=a*c,$

mit $R_{A}$ (bzw. $f_{A}$) nach obiger Definition verträglich ist. Zu einer zweistelligen inneren Verknüpfung $*$ auf $A,$ die linksverträglich oder rechtsverträglich ist mit einer anderen Abbildung $f_{A}\colon \,A^{J}\to A$ auf $A,$ sagt man auch, dass sie linksdistributiv bzw. rechtsdistributiv über $f_{A}$ ist:

$c*f_{A}(a_{j})_{j\in J}=f_{A}(c*a_{j})_{j\in J}$   bzw.   $f_{A}(a_{j})_{j\in J}*c=f_{A}(a_{j}*c)_{j\in J}$   für alle $c\in A$ und für alle $(a_{j})_{j\in J}\in A^{J}.$

$*$ heißt distributiv über $f_{A},$ falls $*$ links- und rechtsdistributiv über $f_{A}$ ist.

Beispiele

• Die mit geordneten Strukturen $(A,\leq )$ und $(B,\sqsubseteq )$ verträglichen Abbildungen $\varphi \colon \,A\to B$ heißen isoton oder auch monoton (steigend):

$a_{1}\leq a_{2}\implies \varphi (a_{1})\sqsubseteq \varphi (a_{2})$   für alle $a_{1},a_{2}\in A.$

• Eine Kongruenzrelation ist eine auf einer algebraischen Struktur $\left(A,(f_{i})\right)$ derart erklärte Äquivalenzrelation ${\sim }\subseteq A^{2},$ dass alle inneren Verknüpfungen $f_{i}$ verträglich sind mit ${\sim }.$

• Die mit algebraischen Strukturen verträglichen Abbildungen sind (algebraische) Homomorphismen.

• Vollständige Verbandshomomorphismen von unendlichen vollständigen Verbänden sind Beispiele für unendlichstellige Homomorphismen.

• Die Topologie ${\mathcal {O}}$ eines topologischen Raums $(X,{\mathcal {O}})$ ist eindeutig durch das Hüllensystem ${\mathcal {A}}$ aller abgeschlossenen Mengen des Raumes gegeben und ebenso ist ${\mathcal {A}}$ durch das Kernsystem ${\mathcal {O}}$ eindeutig bestimmt, denn jede offene Menge $O\in {\mathcal {O}}$ ist das (absolute) Komplement einer abgeschlossenen Menge $A\in {\mathcal {A}}$ und umgekehrt. Jede abgeschlossene Menge $A\in {\mathcal {A}}$ lässt sich wiederum dadurch charakterisieren, dass jeder Punkt $a\in X$ genau dann in $A$ liegt, wenn gegen ihn ein Netz $(a_{i})_{i\in I}$ konvergiert mit $a_{i}\in A$ für alle $i\in I.$ Die Topologie ${\mathcal {O}}$ und das Konvergenzverhalten aller Netze in $X$ sind also äquivalent.

Mit der gemeinsamen topologischen Struktur zweier topologischer Räume $(X,{\mathcal {O}})$ und $(Y,{\mathcal {P}})$ ist daher eine Abbildung $\varphi \colon \,X\to Y$ genau dann verträglich oder stetig, falls sie für jeden Punkt $x\in X$ mit allen gegen $x$ konvergenten Netzen verträglich ist:

$(x_{i})_{i\in I}\longrightarrow _{X}x\implies \left(\varphi (x_{i})\right)_{i\in I}\longrightarrow _{Y}\varphi (x)$   für alle Netze $(x_{i})_{i\in I}$ mit $x_{i}\in X$ für alle $i\in I.$

• Die Distributivität spielt bei vielen algebraischen Strukturen eine wichtige Rolle.

Literatur

• Garrett Birkhoff: Lattice Theory. 3rd Edition. AMS, Providence, RI 1973, ISBN 0-8218-1025-1. 
• Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1982, ISBN 3-411-01638-8. 
• Hans Hermes: Einführung in die Verbandstheorie. 2. Auflage. Springer, Berlin – Heidelberg 1967. 
• Wilhelm Klingenberg: Lineare Algebra und Geometrie. Springer, Berlin – Heidelberg 1984, ISBN 3-540-13427-1. 
• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3., neu bearb. und erw. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2001, ISBN 3-540-67790-9. 
• F. Reinhardt, H. Soeder: dtv-Atlas Mathematik. 11. Auflage. Band 1: Grundlagen, Algebra und Geometrie. Deutscher Taschenbuchverlag, München 1998, ISBN 3-423-03007-0. 
• Heinrich Werner: Einführung in die allgemeine Algebra. Bibliographisches Institut, Mannheim 1978, ISBN 3-411-00120-8.