Unitäre Matrix

Eine unitäre Matrix ist in der linearen Algebra eine komplexe quadratische Matrix, deren Zeilen- und Spaltenvektoren paarweise orthonormal zueinander sind. Damit ist die Inverse einer unitären Matrix gleichzeitig ihre Adjungierte. Die Menge der unitären Matrizen fester Größe bildet mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung die unitäre Gruppe. Durch Multiplikation mit einer unitären Matrix bleibt sowohl die euklidische Norm, als auch das Standardskalarprodukt zweier Vektoren erhalten. Eine reelle unitäre Matrix wird orthogonale Matrix genannt. Unitäre Matrizen werden unter anderem bei der diskreten Fourier-Transformation und in der Quantenmechanik eingesetzt.

Definition

Eine komplexe quadratische Matrix $U\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ heißt unitär, wenn das Produkt mit ihrer adjungierten Matrix $U^{H}$ die Einheitsmatrix $I$ ergibt, also

$U\cdot U^{H}=I$

gilt. Werden die Zeilenvektoren der Matrix $U$ mit $u_{1},\ldots ,u_{n}$ bezeichnet, dann ist diese Bedingung gleichbedeutend damit, dass das Standardskalarprodukt zweier Zeilenvektoren

$u_{i}\cdot u_{j}^{H}=\delta _{ij}={\begin{cases}1&{\text{falls}}~i=j\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}$

ergibt, wobei $\delta _{ij}$ das Kronecker-Delta ist. Die Zeilenvektoren einer unitären Matrix bilden damit eine Orthonormalbasis des Koordinatenraums $\mathbb {C} ^{n}$. Dies trifft auch für die Spaltenvektoren einer unitären Matrix zu, denn mit $U$ ist auch die transponierte Matrix $U^{T}$ unitär. Auch die Adjungierte einer unitären Matrix ist unitär, es gilt also auch

$U^{H}\cdot U=I$.

Beispiel

Die Matrix

$U={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+i&1-i\\1-i&1+i\end{pmatrix}}$

ist unitär, denn es gilt

$U\,U^{H}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+i&1-i\\1-i&1+i\end{pmatrix}}\cdot {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-i&1+i\\1+i&1-i\end{pmatrix}}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}2(1+i)(1-i)&(1+i)^{2}+(1-i)^{2}\\(1-i)^{2}+(1+i)^{2}&2(1-i)(1+i)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I$.

Eigenschaften

Inverse

Eine unitäre Matrix $U\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ ist immer invertierbar und ihre Inverse ist gleich ihrer Adjungierten, das heißt

$U^{H}=U^{-1}$.

Die Inverse einer Matrix $U$ ist nämlich gerade diejenige Matrix $U^{-1}$, für die

$U\,U^{-1}=U^{-1}\,U=I$

gilt. Es gilt auch die Umkehrung und jede Matrix $U$, deren Adjungierte gleich ihrer Inversen ist, ist unitär, denn es gilt dann

$U\,U^{H}=U\,U^{-1}=I$.

Invarianz von Norm und Skalarprodukt

Wird eine unitäre Matrix $U\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ mit einem Vektor $x\in \mathbb {C} ^{n}$ multipliziert, ändert sich die euklidische Norm des Vektors nicht, das heißt

$\|U\,x\|_{2}=\|x\|_{2}$.

Weiter ist Standardskalarprodukt zweier Vektoren $x,y\in \mathbb {C} ^{n}$ invariant bezüglich der Multiplikation mit einer unitären Matrix $U$, also

$\left\langle U\,x,U\,y\right\rangle =\left\langle x,y\right\rangle$.

Beide Eigenschaften folgen dabei direkt aus der Verschiebungseigenschaft des Standardskalarprodukts. Umgekehrt ist die Abbildungsmatrix jeder linearen Abbildung

$f\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n},x\mapsto U\,x$,

die die euklidische Norm oder das Standardskalarprodukt erhält, unitär, denn es gilt

$\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle =\left\langle U\,e_{i},U\,e_{j}\right\rangle =\left\langle e_{i},e_{j}\right\rangle =\delta _{ij}$,

wobei $e_{i}$ der $i$-te Standardbasisvektor ist. Eine solche lineare Abbildung wird entsprechend unitäre Abbildung genannt.

Determinante

Für den Betrag der Determinante einer unitären Matrix $U\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ gilt

$|\det U|=1$,

was mit Hilfe des Determinantenproduktsatzes über

$\operatorname {det} ^{2}U=\det U\cdot \det U=\det U\cdot \det U^{H}=\det(UU^{H})=\det I=1$

folgt.

Eigenwerte

Die Eigenwerte einer unitären Matrix $U\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ haben ebenfalls alle den komplexen Betrag eins, sind also von der Form

$\lambda =e^{it}$

mit $t\in \mathbb {R}$. Ist nämlich $x$ ein zu $\lambda$ gehöriger Eigenvektor, dann gilt aufgrund der Invarianz bezüglich der euklidischen Norm und der absoluten Homogenität einer Norm

$\|x\|_{2}=\|U\,x\|_{2}=\|\lambda \,x\|_{2}=|\lambda |\,\|x\|_{2}$

und daher $|\lambda |=1$. Eine unitäre Matrix besitzt demnach höchstens die reellen Eigenwerte $\pm 1$.

Diagonalisierbarkeit

Eine unitäre Matrix $U\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ ist normal, das heißt es gilt

$U\,U^{H}=U^{H}\,U$,

und daher diagonalisierbar. Nach dem Spektralsatz gibt es eine weitere unitäre Matrix $V\in \mathbb {C} ^{n\times n}$, sodass

$V^{-1}\,U\,V=D$

gilt, wobei $D\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von $U$ ist.

Normen

Die Spektralnorm einer unitären Matrix $U\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ ist

$\|U\|_{2}=\max _{\|x\|_{2}=1}\|U\,x\|_{2}=\max _{\|x\|_{2}=1}\|x\|_{2}=1$.

Für die Frobeniusnorm gilt mit dem Frobenius-Skalarprodukt entsprechend

$\|U\|_{F}={\sqrt {\langle U,U\rangle }}={\sqrt {\langle I,I\rangle }}={\sqrt {n}}$.

Das Produkt mit einer unitären Matrix erhält sowohl die Spektralnorm, als auch die Frobeniusnorm einer gegebenen Matrix $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$, denn es gilt

$\|U\,A\|_{2}=\max _{\|x\|_{2}=1}\|U\,A\,x\|_{2}=\max _{\|x\|_{2}=1}\|A\,x\|_{2}=\|A\|_{2}$

und

$\|U\,A\|_{F}={\sqrt {\langle U\,A,U\,A\rangle }}={\sqrt {\langle A,A\rangle }}=\|A\|_{F}$.

Damit bleibt auch die Kondition einer Matrix bezüglich dieser Normen nach Multiplikation mit einer unitären Matrix erhalten.

Erhaltung der Idempotenz

Ist $U\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ eine unitäre und $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ eine idempotente Matrix, gilt also $A\,A=A$, dann ist die Matrix

$B=U\,A\,U^{H}$

ebenfalls idempotent, denn

$B\,B=U\,A\,U^{H}U\,A\,U^{H}=U\,A\,A\,U^{H}=U\,A\,U^{H}=B$.

Unitäre Matrizen als Gruppe

→ Hauptartikel: Unitäre Gruppe

Die Menge der regulären Matrizen fester Größe bildet mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung eine Gruppe, die allgemeine lineare Gruppe $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$. Als neutrales Element dient dabei die Einheitsmatrix $I$. Die uniären Matrizen bilden eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe, die unitäre Gruppe $\mathrm {U} (n)$. Das Produkt zweier unitärer Matrizen $U,V\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ ist nämlich wieder unitär, denn es gilt

$(U\,V)\,(U\,V)^{H}=U\,(V\,V^{H})\,U^{H}=U\,U^{H}=I$.

Weiter ist die Inverse einer unitären Matrix $U\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ ebenfalls unitär, denn es gilt

$U^{-1}\,U^{-H}=U^{H}\,U^{-H}=(U^{-1}\,U)^{H}=I^{H}=I$.

Die unitären Matrizen mit Determinante eins bilden wiederum eine Untergruppe der unitären Gruppe, die spezielle unitäre Gruppe $\mathrm {SU} (n)$. Die unitären Matrizen mit Determinante minus eins bilden keine Untergruppe der unitären Gruppe, denn ihnen fehlt das neutrale Element, sondern lediglich eine Nebenklasse.

Anwendungen

Unitäre Matrizen werden häufig in der Quantenmechanik im Rahmen der Matrizenmechanik verwendet. Beispiele sind:

• die Dirac-Matrizen
• die Pauli-Matrizen
• die S-Matrix
• die CKM-Matrix

Eine weitere wichtige Anwendung unitärer Matrizen besteht in der diskreten Fourier-Transformation komplexer Signale.

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. (Eine Einführung für Studienanfänger). 14. durchgesehene Auflage. Vieweg, 2003, ISBN 3-528-03217-0. 
• Jörg Liesen, Volker Mehrmann: Lineare Algebra. Springer, 2011, ISBN 978-3-8348-8290-5. 
• Eberhard Zeidler, Wolfgang Hackbusch (Hrsg.): Taschenbuch der Mathematik. Band 1. Springer, 2012, ISBN 978-3-8351-0123-4. 

Weblinks

• Oxana A. Ivanova: Unitary matrix. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 
• Todd Rowland: Unitary Matrix. In: MathWorld (englisch).