„Kern (Algebra)“ – Versionsunterschied
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Der Kern eines Gruppenhomomorphismus enthält immer das neutrale Element, der Kern einer linearen Abbildung enthält immer den [[Nullvektor]]. Enthält er nur das neutrale Element bzw. den Nullvektor, so nennt man den Kern ''trivial''. |
Der Kern eines Gruppenhomomorphismus enthält immer das neutrale Element, der Kern einer linearen Abbildung enthält immer den [[Nullvektor]]. Enthält er nur das neutrale Element bzw. den Nullvektor, so nennt man den Kern ''trivial''. |
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Eine lineare Abbildung bzw. ein Homomorphismus ist genau dann [[Injektivität|injektiv]], wenn der Kern nur aus dem Nullvektor bzw. dem neutralen Element besteht (also trivial ist). |
Eine lineare Abbildung bzw. ein Homomorphismus ist genau dann [[Injektivität|injektiv]], wenn der Kern nur aus dem Nullvektor bzw. dem neutralen Element besteht (also trivial ist).<ref name="netzer">{{Internetquelle |url=https://www.uibk.ac.at/mathematik/algebra/media/teaching/lineare-algebra.pdf |titel=Lineare Algebra |autor=Tim Netzer |werk=Universität Innsbruck |format=pdf |datum=222 |abruf=2023-09-15}}</ref> |
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⚫ | Der Kern ist von zentraler Bedeutung im [[Homomorphiesatz]].<ref>{{Literatur |Autor=Jessica K. Sklar |Titel=A First Course in Linear Algebra |Kapitel=9.1 |Verlag=libretexts.org |Sprache=en |Online=[https://math.libretexts.org/Bookshelves/Abstract_and_Geometric_Algebra/First-Semester_Abstract_Algebra%3A_A_Structural_Approach_(Sklar)/09%3A_The_Isomorphism_Theorem/9.01%3A_The_First_Isomorphism_Theorem The_First_Isomorphism_Theorem]}}</ref> |
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Der Kern ist von zentraler Bedeutung im [[Homomorphiesatz]]. |
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== Beispiel (lineare Abbildung von Vektorräumen) == |
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: <math>\operatorname{Kern} f = \left\{ \begin{pmatrix}0\\0\\\lambda \end{pmatrix}, \lambda \in \R\right\}</math>. |
: <math>\operatorname{Kern} f = \left\{ \begin{pmatrix}0\\0\\\lambda \end{pmatrix}, \lambda \in \R\right\}</math>. |
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Geometrisch ist der Kern in diesem Fall eine Gerade (die <math>z</math>-Achse) und hat demnach die Dimension 1. Die Dimension des Kerns wird auch als [[Defekt (Mathematik)|Defekt]] bezeichnet und kann mit Hilfe des [[Rangsatz|Rangsatzes]] explizit berechnet werden. |
Geometrisch ist der Kern in diesem Fall eine Gerade (die <math>z</math>-Achse) und hat demnach die [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] 1. Die Dimension des Kerns wird auch als [[Defekt (Mathematik)|Defekt]] bezeichnet und kann mit Hilfe des [[Rangsatz|Rangsatzes]] explizit berechnet werden.<ref name="netzer"/> |
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== Verallgemeinerungen == |
== Verallgemeinerungen == |
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=== Universelle Algebra === |
=== Universelle Algebra === |
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In der [[universelle Algebra|universellen Algebra]] ist der Kern einer Abbildung <math>f \colon A \to B</math> die durch <math>f</math> induzierte [[Äquivalenzrelation]] auf <math>A</math>, also die Menge <math>\operatorname{Kern}(f):=\{(x,y) \in A \times A \mid f(x)=f(y)\}</math>. Wenn <math>A</math> und <math>B</math> algebraische Strukturen gleichen Typs sind (zum Beispiel <math>A</math> und <math>B</math> sind Verbände) und <math>f</math> ein [[Homomorphismus]] von <math>A</math> nach <math>B</math> ist, dann ist die Äquivalenzrelation <math>\operatorname{Kern}(f)</math> auch eine [[Kongruenzrelation]]. Umgekehrt zeigt man auch leicht, dass jede Kongruenzrelation Kern eines Homomorphismus ist. Die Abbildung <math>f</math> ist genau dann injektiv, wenn <math>\operatorname{Kern}(f)</math> die Identitätsrelation <math>\{(a,a) \mid a \in A\}</math> auf <math>A</math> ist. |
In der [[universelle Algebra|universellen Algebra]] ist der Kern einer Abbildung <math>f \colon A \to B</math> die durch <math>f</math> induzierte [[Äquivalenzrelation]] auf <math>A</math>, also die Menge <math>\operatorname{Kern}(f):=\{(x,y) \in A \times A \mid f(x)=f(y)\}</math>. Wenn <math>A</math> und <math>B</math> algebraische Strukturen gleichen Typs sind (zum Beispiel <math>A</math> und <math>B</math> sind Verbände) und <math>f</math> ein [[Homomorphismus]] von <math>A</math> nach <math>B</math> ist, dann ist die Äquivalenzrelation <math>\operatorname{Kern}(f)</math> auch eine [[Kongruenzrelation]]. Umgekehrt zeigt man auch leicht, dass jede [[Kongruenzrelation]] Kern eines Homomorphismus ist. Die Abbildung <math>f</math> ist genau dann injektiv, wenn <math>\operatorname{Kern}(f)</math> die Identitätsrelation <math>\{(a,a) \mid a \in A\}</math> auf <math>A</math> ist. |
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=== Kategorientheorie === |
=== Kategorientheorie === |
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In einer [[Kategorientheorie|Kategorie]] <math>\mathcal C</math> mit [[Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt|Nullobjekten]] ist ein Kern eines Morphismus <math>f \colon X \to Y</math> der [[Differenzkern]] des Paares <math>(f,0)</math>, das heißt charakterisiert durch die folgende [[universelle Eigenschaft]]: |
In einer [[Kategorientheorie|Kategorie]] <math>\mathcal C</math> mit [[Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt|Nullobjekten]] ist ein Kern eines [[Morphismus]] <math>f \colon X \to Y</math> der [[Differenzkern]] des Paares <math>(f,0)</math>, das heißt charakterisiert durch die folgende [[universelle Eigenschaft]]: |
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* Für die Inklusion <math>i\colon\operatorname{Kern} f\to X</math> gilt <math>fi=0</math>. |
* Für die Inklusion <math>i\colon\operatorname{Kern} f\to X</math> gilt <math>fi=0</math>. |
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* Ist <math>t \colon T \to X</math> ein Morphismus, so dass <math>ft=0</math> ist, so faktorisiert <math>t</math> eindeutig über <math>\operatorname{Kern} f</math>. |
* Ist <math>t \colon T \to X</math> ein Morphismus, so dass <math>ft=0</math> ist, so faktorisiert <math>t</math> eindeutig über <math>\operatorname{Kern} f</math>. |
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Abstrakter formuliert bedeutet das, dass der Kern sich aus dem universellen Morphismus vom |
Abstrakter formuliert bedeutet das, dass der Kern sich aus dem universellen Morphismus vom Einbettungs<nowiki/>[[Funktor (Mathematik)|funktor]] von <math>(\mathcal C\downarrow 0)</math> in <math>(\mathcal C\downarrow\mathcal C)</math> zum <math>f</math> entsprechenden Objekt ergibt. |
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== Kokern == |
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Der Kokern mit der Projektion <math>q\colon W\to\operatorname{coker} f</math> erfüllt die folgende [[universelle Eigenschaft]]: Jeder Homomorphismus <math>t\colon W\to T</math>, für den <math>tf=0</math> gilt, faktorisiert eindeutig über <math>q</math> und es gilt <math>qf=0</math>. Er ergibt sich in einer [[Kategorientheorie|Kategorie]] <math>\mathcal C</math> mit Nullobjekten aus dem universellen Morphismus vom <math>f</math> entsprechenden Objekt zum Einbettungsfunktor von <math>(0\downarrow\mathcal C)</math> in <math>(\mathcal C\downarrow\mathcal C)</math>. |
Der Kokern mit der Projektion <math>q\colon W\to\operatorname{coker} f</math> erfüllt die folgende [[universelle Eigenschaft]]: Jeder Homomorphismus <math>t\colon W\to T</math>, für den <math>tf=0</math> gilt, faktorisiert eindeutig über <math>q</math> und es gilt <math>qf=0</math>. Er ergibt sich in einer [[Kategorientheorie|Kategorie]] <math>\mathcal C</math> mit Nullobjekten aus dem universellen Morphismus vom <math>f</math> entsprechenden Objekt zum Einbettungsfunktor von <math>(0\downarrow\mathcal C)</math> in <math>(\mathcal C\downarrow\mathcal C)</math>. |
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Diese Eigenschaft ist auch die Definition für den Kokern in beliebigen Kategorien mit [[Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt|Nullobjekten]]. In [[Abelsche Kategorie|abelschen Kategorien]] stimmt der Kokern mit dem Quotienten nach dem [[Bild (Mathematik)|Bild]] überein. |
Diese Eigenschaft ist auch die Definition für den Kokern in beliebigen Kategorien mit [[Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt|Nullobjekten]]. In [[Abelsche Kategorie|abelschen Kategorien]] stimmt der Kokern mit dem [[Äquivalenzrelation#Quotientenmenge_und_Partition|Quotienten]] nach dem [[Bild (Mathematik)|Bild]] überein. |
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== Literatur == |
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* {{Literatur |
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* https://www.mathebibel.de/defekt-einer-matrix |
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| Autor=Tilo Arens, Rolf Busam, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel |
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* {{Literatur |
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| Autor=Kenneth Kuttler |
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| Titel=A First Course in Linear Algebra |
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| Kapitel=5.7 |
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| Sprache=en |
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}} |
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* {{Literatur |
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| Autor=Serlo |
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| Titel=Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Algebra 1 |
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| Verlag=WikiBooks |
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== Einzelnachweise == |
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<references/> |
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[[Kategorie:Lineare Algebra]] |
[[Kategorie:Lineare Algebra]] |
Version vom 15. September 2023, 17:01 Uhr
Der Kern einer Abbildung dient in der Algebra dazu, anzugeben, wie stark die Abbildung von der Injektivität abweicht. Dabei ist die genaue Definition abhängig davon, welche algebraischen Strukturen betrachtet werden. So besteht beispielsweise der Kern einer linearen Abbildung zwischen Vektorräumen und aus denjenigen Vektoren in , die auf den Nullvektor in abgebildet werden; er ist also die Lösungsmenge der homogenen linearen Gleichung und wird hier auch Nullraum genannt. In diesem Fall ist genau dann injektiv, wenn der Kern nur aus dem Nullvektor in besteht. Analoge Definitionen gelten für Gruppen- und Ringhomomorphismen. Der Kern ist von zentraler Bedeutung im Homomorphiesatz.
Definition
- Ist ein Gruppenhomomorphismus, so wird die Menge
- aller Elemente von , die auf das neutrale Element von abgebildet werden, Kern von genannt. Er ist ein Normalteiler in .
- Ist eine lineare Abbildung von Vektorräumen (oder allgemeiner ein Modulhomomorphismus), dann heißt die Menge
- der Kern von . Er ist ein Untervektorraum (allgemeiner ein Untermodul) von .
- Ist ein Ringhomomorphismus, so ist die Menge
- der Kern von . Er ist ein zweiseitiges Ideal in .
Im Englischen wird statt auch oder (für engl. kernel) geschrieben.
Bedeutung
Der Kern eines Gruppenhomomorphismus enthält immer das neutrale Element, der Kern einer linearen Abbildung enthält immer den Nullvektor. Enthält er nur das neutrale Element bzw. den Nullvektor, so nennt man den Kern trivial.
Eine lineare Abbildung bzw. ein Homomorphismus ist genau dann injektiv, wenn der Kern nur aus dem Nullvektor bzw. dem neutralen Element besteht (also trivial ist).[1]
Der Kern ist von zentraler Bedeutung im Homomorphiesatz.[2]
Beispiel (lineare Abbildung von Vektorräumen)
Wir betrachten die lineare Abbildung , die durch
definiert ist. Die Abbildung bildet genau die Vektoren der Form
auf den Nullvektor ab und andere nicht. Der Kern von ist also die Menge
- .
Geometrisch ist der Kern in diesem Fall eine Gerade (die -Achse) und hat demnach die Dimension 1. Die Dimension des Kerns wird auch als Defekt bezeichnet und kann mit Hilfe des Rangsatzes explizit berechnet werden.[1]
Verallgemeinerungen
Universelle Algebra
In der universellen Algebra ist der Kern einer Abbildung die durch induzierte Äquivalenzrelation auf , also die Menge . Wenn und algebraische Strukturen gleichen Typs sind (zum Beispiel und sind Verbände) und ein Homomorphismus von nach ist, dann ist die Äquivalenzrelation auch eine Kongruenzrelation. Umgekehrt zeigt man auch leicht, dass jede Kongruenzrelation Kern eines Homomorphismus ist. Die Abbildung ist genau dann injektiv, wenn die Identitätsrelation auf ist.
Kategorientheorie
In einer Kategorie mit Nullobjekten ist ein Kern eines Morphismus der Differenzkern des Paares , das heißt charakterisiert durch die folgende universelle Eigenschaft:
- Für die Inklusion gilt .
- Ist ein Morphismus, so dass ist, so faktorisiert eindeutig über .
Abstrakter formuliert bedeutet das, dass der Kern sich aus dem universellen Morphismus vom Einbettungsfunktor von in zum entsprechenden Objekt ergibt.
Kokern
Der Kokern, Alternativschreibweise Cokern, ist der duale Begriff zum Kern.
Ist eine lineare Abbildung von Vektorräumen über einem Körper, so ist der Kokern von der Quotient von nach dem Bild von .
Entsprechend ist der Kokern für Homomorphismen abelscher Gruppen oder Moduln über einem Ring definiert.
Der Kokern mit der Projektion erfüllt die folgende universelle Eigenschaft: Jeder Homomorphismus , für den gilt, faktorisiert eindeutig über und es gilt . Er ergibt sich in einer Kategorie mit Nullobjekten aus dem universellen Morphismus vom entsprechenden Objekt zum Einbettungsfunktor von in .
Diese Eigenschaft ist auch die Definition für den Kokern in beliebigen Kategorien mit Nullobjekten. In abelschen Kategorien stimmt der Kokern mit dem Quotienten nach dem Bild überein.
Literatur
- Tilo Arens, Rolf Busam, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel: Grundwissen Mathematikstudium - Analysis und Lineare Algebra mit Querverbindungen: Analysis und Lineare Algebra mit Querverbindungen. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2013, S. 74f, S. 425f, doi:10.1007/978-3-8274-2309-2.
- Kenneth Kuttler: A First Course in Linear Algebra. libretexts.org, 5.7 (englisch, The Kernel and Image of A Linear Map).
- Serlo: Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Algebra 1. WikiBooks (Kern einer linearen Abbildung).
Einzelnachweise
- ↑ a b Tim Netzer: Lineare Algebra. (pdf) In: Universität Innsbruck. 222, abgerufen am 15. September 2023.
- ↑ Jessica K. Sklar: A First Course in Linear Algebra. libretexts.org, 9.1 (englisch, The_First_Isomorphism_Theorem).