Beleuchtungsstärke

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Physikalische Größe
Name Lichtstärke
Formelzeichen der Größe E_\mathrm{v}
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI Lux (lx) L−2·J

Die Beleuchtungsstärke Ev (englisch illuminance) auf einer Fläche gibt an, welcher Lichtstrom auf eine Flächeneinheit fällt.

Der Lichtstrom wird in Lumen (lm) und die Fläche in Quadratmetern (m2) gemessen, die SI-Einheit der Beleuchtungsstärke ist also Lumen durch Quadratmeter (lm/m2) oder gleichbedeutend Lux (lx, von lateinisch lux, Licht).

Definition[Bearbeiten]

Die Beleuchtungsstärke auf einer Fläche ist die Flächendichte des einfallenden Lichtstroms. Sie kann im Allgemeinen von Punkt zu Punkt der beleuchteten Fläche verschieden sein. Sei daher \mathrm{d}\Phi_\mathrm{v} der differentielle („unendlich kleine“) Lichtstrom, der auf die differentielle Fläche \mathrm{d}A trifft, dann ist die Lichtstärke E_\mathrm{v} auf dem „Punkt“ \mathrm{d}A der Quotient aus den beiden differentiellen Größen:[1][2]

E_\mathrm{v} \, = \, \frac{\mathrm{d}\Phi_\mathrm{v}}{\mathrm{d}A}

Falls die Beleuchtungsstärke über eine endlich große Fläche A hinweg konstant ist, erübrigt sich die Verwendung differentieller Größen und die differentielle Definition geht über in folgende vereinfachte Definition: Die auf der Fläche A konstante Beleuchtungsstärke ist der Quotient aus dem auf die Fläche A auftreffenden Lichtstrom \Phi_\mathrm{v} und der beleuchteten Fläche A:[1]

E_\mathrm{v} \, = \, \frac{\Phi_\mathrm{v}}{A}

Falls die Beleuchtungsstärke auf der betrachteten Fläche nicht konstant ist, kann die vereinfachte Definition dennoch verwendet werden. Das Ergebnis der Quotientenbildung ist dann der über die betreffende Fläche gebildete arithmetische Mittelwert der auf der Fläche herrschenden Beleuchtungsstärke.[1]

Die Beleuchtungsstärke ist die photometrische Entsprechung zur radiometrischen Größe Bestrahlungsstärke Ee (gemessen in Watt durch Quadratmeter, W/m2). Fällt elektromagnetische Strahlung auf die Empfangsfläche und erzeugt dort die Bestrahlungsstärke Ee, so lässt sich messtechnisch oder rechnerisch die von dieser Strahlung verursachte Beleuchtungsstärke in Lux ermitteln, indem die einzelnen Wellenlängen der Strahlung mit der jeweiligen Empfindlichkeit des Auges bei der betreffenden Wellenlänge gewichtet werden.

Die Beleuchtungsstärke beschreibt die Flächendichte des auf eine Empfangsfläche fallenden Lichtstroms. Die analoge „senderseitige“ Größe, welche die Flächendichte des von einer Leuchtfläche ausgesandten Lichtstroms beschreibt, ist die spezifische Lichtausstrahlung M_\mathrm{v}.

Photometrisches Entfernungsgesetz[Bearbeiten]

Gegeben sei eine senkrecht zur Beleuchtungsrichtung stehende Fläche A. Befindet sie sich in der Entfernung r von der Lichtquelle, so spannt sie von dieser aus gesehen den Raumwinkel \textstyle \Omega \, = \, \frac{A}{r^2} auf. Die Beleuchtungsstärke E_\mathrm{v} auf dieser Fläche ist der Quotient aus dem auf die Fläche auftreffenden Lichtstrom \Phi_\mathrm{v} und der Fläche A. Der auf die Fläche fallende Lichtstrom lässt sich ausdrücken als das Produkt der von der Lichtquelle in Richtung der betrachteten Fläche ausgesandten Lichtstärke I_\mathrm{v} und dem von der Fläche aufgespannten Raumwinkel \Omega. Berücksichtigt man noch den aus der Definition des Raumwinkels folgenden Zusammenhang \Omega / A \, = \, 1 / r^2, so erhält man insgesamt:

E_\mathrm{v} \, = \, \frac{\Phi_\mathrm{v}}{A} \, = \, \frac{I_\mathrm{v} \cdot \Omega}{A} \, = \, \frac{I_\mathrm{v}}{r^2}

Berücksichtigt man noch die Möglichkeit, dass die Empfangsfläche um den Winkel \varepsilon gegen die Einstrahlrichtung geneigt ist,[Anm. 1] so erhält man das photometrische Entfernungsgesetz:[1]

E_\mathrm{v} \, = \, \frac{I_\mathrm{v}}{r^2} \cdot \cos(\varepsilon)

Wie zu erkennen ist, nimmt die von der Lichtquelle auf der Fläche erzeugte Beleuchtungsstärke mit dem Quadrat des Abstands ab, obwohl die von der Quelle in Richtung der Fläche ausgesandte Lichtstärke entfernungsunabhängig ist (zur Erläuterung siehe den Artikel →Lichtstärke).

Diese Formel gilt nur für punktförmige Lichtquellen oder für hinreichend große Abstände. Andernfalls könnte ein Punkt der Empfangsfläche von Lichtstrahlen getroffen werden, die von verschiedenen Punkten der ausgedehnten Lichtquelle ausgehen und gegen denselben Punkt der Empfangsfläche konvergieren. Diese Lichtstrahlen wären nicht streng parallel und würden die Voraussetzung verletzen, dass die zu I_\mathrm{v} beitragenden Lichtstrahlen in dieselbe Richtung ausgesandt wurden, also untereinander parallel sind. Darüber hinaus darf der Einfallswinkel \varepsilon nicht zu stark über A variieren.

Die Messung der Lichtstärke einer Quelle wird stets auf eine Messung der im Abstand r erzeugten Beleuchtungsstärke zurückgeführt. Um die erwähnten Komplikationen nicht rechnerisch berücksichtigen zu müssen[Anm. 2] und die obige einfache Formel verwenden zu können, wird die Messung in der Praxis in möglichst großem Abstand durchgeführt. Der Abstand, ab dem der Fehler bei Anwendung dieser Formel unter ein vorgegebenes Maß sinkt, heißt photometrische Grenzentfernung.

Das photometrische Entfernungsgesetz liefert die Merkregel: Sendet eine Lichtquelle Licht der Lichtstärke 1 Candela in Richtung einer Empfangsfläche, welche in 1 Meter Entfernung senkrecht zur Strahlrichtung steht, so erzeugt sie dort die Beleuchtungsstärke 1 Lux. Wie soeben erläutert, gilt diese Regel aber nur für Lichtquellen, die klein genug sind, so dass 1 Meter bereits außerhalb ihrer photometrischen Grenzentfernung liegt. In der Beleuchtungspraxis sind jedoch meist flächenhafte Lichtquellen anzutreffen, für welche die einfache Regel nicht mehr gültig ist. Hier müssen aufwändigere, vom photometrischen Grundgesetz ausgehende oder mit Sichtfaktoren arbeitende Rechenverfahren benutzt werden, welche über die von der Leuchtfläche ausgehende und die auf der Empfangsfläche eintreffende Leuchtdichteverteilung integrieren.

Die obige Herleitung des photometrischen Entfernungsgesetzes wurde der Kürze halber mit nicht-differentiellen Größen durchgeführt, also unter der Annahme, dass die Beleuchtungsstärke auf der ganzen betrachteten Fläche konstant sei. Die exakte differentielle Formel für variablen Lichtstrom liefert dasselbe Ergebnis, das dann aber nur für einen Punkt der Fläche gilt:

E_\mathrm{v} \, = \, \frac{\mathrm{d}\Phi_{\mathrm{v}}}{\mathrm{d}A} \, = \, \frac{I_\mathrm{v} \ \mathrm{d}\Omega}{\mathrm{d}A} \, = \, \frac{I_\mathrm{v}}{r^2}

Ergänzung um den Cosinus des Einfallswinkels (sofern nötig) ergibt wieder die obige Formel.

Rechenbeispiele[Bearbeiten]

Beispiel 1 zeigt die Anwendung des photometrischen Entfernungsgesetzes. Beispiel 2 behandelt exemplarisch einen etwas komplexeren Fall mit nicht-punktförmiger Lichtquelle.

Beispiel 1[Bearbeiten]

An der Decke befinde sich eine kleine, praktisch punktförmige Lichtquelle Q, die den Lichtstrom Φv = 628 Lumen in den von ihr überblickten unteren Halbraum (Ω = 2π Steradiant) abgibt. Ihre Lichtstärke Iv sei in allen Richtungen des beleuchteten Halbraums dieselbe. Welche Beleuchtungsstärken erzeugt sie auf der r = 2 m tiefer liegenden Tischplatte

  • in Punkt A, der senkrecht unter der Lichtquelle liegt und
  • in Punkt B, welcher ebenfalls auf der Tischplatte, aber d = 2 m neben Punkt A liegt?


Da die Lichtstärke in allen Richtungen dieselbe ist, kann zu ihrer Berechnung die vereinfachte Formel verwendet werden:

I_\mathrm{v}\, = \, \frac{\Phi_\mathrm{v}}{\Omega} \, = \, \frac{628 \ \mathrm{Lumen}}{2\,\pi \ \mathrm{Steradiant}} \, = \, 100 \ \mathrm{Candela}.

Da die Lichtquelle als punktförmig vorausgesetzt ist, kann zur Berechnung der Beleuchtungsstärke das photometrische Entfernungsgesetz angewendet werden. Für Punkt A ist die Entfernung r = 2 m und der Einfallswinkel ε = 0°, also

E_\mathrm{v}(A) \, = \, \frac{100}{2^2} \cdot \, \cos(0^\circ) \ \mathrm{lx} \, = \, 25 \ \mathrm{lx}.


Für Punkt B folgen aus dem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck QAB:

r' \, = \, \sqrt{r^2 + d^2} \, = \, \sqrt{2^2 + 2^2} \ \mathrm{m} \, = \, \sqrt{8} \ \mathrm{m} \, = \, 2{,}83 \ \mathrm{m}

sowie

\varepsilon' \, = \, 90^\circ - \arctan\left( \frac{r}{d} \right) \, = \, 45^\circ

und damit

E_\mathrm{v}(B) \, = \, \frac{100}{(\sqrt{8})^2} \cdot \cos(45^\circ) \ \mathrm{lx} \, = \, 8{,}84 \ \mathrm{lx}.

Beispiel 2[Bearbeiten]

Die punktförmige Lichtquelle werde nun durch eine flächenhafte ersetzt. Diese sei eine gleichförmig leuchtende Kreisscheibe mit Radius R = 0,5 m und Lambertscher (d.h. diffuser) Leuchtcharakteristik. Ihre Lichtstärke in senkrechter Richtung nach Punkt A betrage wie bei der Lichtquelle im ersten Beispiel 100 cd. Wie groß ist jetzt die Beleuchtungsstärke auf Punkt A?

Da diese Lichtquelle nicht punktförmig ist, kann das photometrische Entfernungsgesetz hier nicht verwendet werden. Stattdessen soll die Berechnung mit Hilfe von Sichtfaktoren durchgeführt werden, was aufgrund der diffusen Leuchtcharakteristik möglich ist. Der zwei Flächen 1 und 2 zugeordnete Sichtfaktor F12 gibt an, welcher Bruchteil des von Fläche 1 insgesamt diffus ausgesandten Lichts direkt auf Fläche 2 trifft. Im vorliegenden Fall ist die Empfängerfläche eine differentielle Fläche dA2 (es wird nach der Beleuchtungsstärke an einem Punkt gefragt, nicht nach dem auf eine endliche Fläche treffenden Lichtstrom), entsprechend ist ein differentieller Sichtfaktor zu verwenden.

Gibt eine endliche Senderfläche A2 den Lichtstrom Φv2 ab und fällt davon auf die differentielle Empfangsfläche dA1 der Lichtstrom dΦv1 = Ev · dA1, so ist das Verhältnis von Ev · dA1 zu Φv2 gegeben durch den differentiellen Sichtfaktor dF2 d1

\frac{E_\mathrm{v} \cdot \mathrm{d}A_1}{\Phi_\mathrm{v2}} \, = \, \mathrm{d}F_\mathrm{2 \, d1}

und es folgt bei Kenntnis von dF2 d1 sofort

E_\mathrm{v} \, = \, \frac{\Phi_\mathrm{v2} \cdot \mathrm{d}F_\mathrm{2 \, d1} }{ \mathrm{d}A_1 }.

Einer Sichtfaktortabelle[3] entnimmt man für die Beleuchtungssituation von Punkt A (Lichtaustausch zwischen Kreisscheibe und differentieller Fläche) den Sichtfaktor, welcher für die Leuchtrichtung von dA1 auf A2 lautet:

F_\mathrm{d1 \, 2} \, = \, \frac{1}{ \left( \left( \frac{r}{R} \right)^2 +1 \right) }.

Gesucht ist allerdings der Sichtfaktor für die umgekehrte Leuchtrichtung, von A2 auf dA1. Anwendung der Reziprozitätsbeziehung

A_2 \cdot \mathrm{d}F_{2\,d1} \,=\, \mathrm{d}A_1 \cdot F_{d1\,2}

liefert:

E_\mathrm{v} \, = \, \frac{ \Phi_\mathrm{v2} \cdot \mathrm{d}F_\mathrm{2 \, d1} }{ \mathrm{d}A_1 } \, = \, \frac{ \Phi_\mathrm{v2} \cdot F_\mathrm{d1 \, 2} }{ \mathrm{d}A_1 } \cdot \frac{\mathrm{d}A_1}{A_2}  \, = \, \frac{ \Phi_\mathrm{v2} \cdot F_\mathrm{d1 \, 2} }{ A_2 } \, = \, \frac{\Phi_\mathrm{v2}}{ \left( \left( \frac{r}{R} \right)^2 +1 \right) \cdot A_2 }

Im vorliegenden Fall ist A2 die Lichtquelle Q mit der Fläche A2 = π R2. Es bleibt der von Q erzeugte Lichtstrom Φv2 aus der vorgegebenen Lichtstärke zu bestimmen. Da die Fläche einheitlich leuchtet, ist der Lichtstrom gleich dem Produkt aus der überall konstanten spezifischen Lichtausstrahlung Mv und der abstrahlenden Fläche πR2. Aufgrund der Lambert-Charakteristik ist die spezifische Lichtausstrahlung das π-fache der Leuchtdichte Lv. Da die Leuchtfläche eben ist und konstante Leuchtdichte aufweist, ist die Leuchtdichte der Quotient aus der Lichtstärke in senkrechter Richtung Iv und der Leuchtfläche πR2:

\Phi_\mathrm{v2} \, = \, M_\mathrm{v} \cdot \pi R^2 \, = \, \pi \, L_\mathrm{v} \cdot \pi R^2 \, = \, \pi \frac{I_\mathrm{v}}{\pi R^2} \cdot \pi R^2 \, = \, \pi \cdot I_\mathrm{v}

Einsetzen liefert

E_\mathrm{v} \, = \, \frac{ \pi \ I_\mathrm{v}}{ \left( \left( \frac{r}{R} \right)^2 +1 \right) \cdot \pi \, R^2} \, = \,  \frac{ I_\mathrm{v} }{ r^2  + R^2 }

Mit den Zahlenwerten Iv = 100 cd, r = 2 m, R = 0,5 m folgt

E_\mathrm{v} \, = \, \frac{100}{2^2 + 0,5^2} \, = \, 23,5 \ \mathrm{lx}.

Lässt man die Flächenquelle auf Punktgröße zusammenschrumpfen (R → 0), so ergibt sich wieder das photometrische Entfernungsgesetz für punktförmige Quellen und senkrechten Einfall.

Soll auch die Empfangsfläche als endlich große Fläche angesetzt werden (z.B. die Messfläche eines Luxmeters), so ist der dieser Situation entsprechende Sichtfaktor zu verwenden.

Geschieht der Lichtaustausch zwischen nicht-gleichmäßig leuchtenden oder nicht-diffusen Flächen, so können auch keine Sichtfaktoren verwendet werden. Es ist dann die Leuchtdichteverteilung auf der Sendefläche zu bestimmen und das photometrische Grundgesetz über Sende- und Empfangsfläche zu integrieren.

Beispiele natürlicher Beleuchtungsstärken[Bearbeiten]

Luxmeter zum Messen der Beleuchtungsstärke

Durch natürliche Lichtquellen erzeugte typische Beleuchtungsstärken auf dem Erdboden:

Klarer Himmel und Sonne im Zenit 130.000 lx [4]
Klarer Himmel, Sonnenhöhe 60° (mittags im Sommer)
Beitrag der Sonne 70.000 lx
Beitrag des Himmelslichtes   20.000 lx
90.000 lx [5]
Klarer Himmel, Sonnenhöhe 16° (mittags im Winter)
Beitrag der Sonne 8.000 lx
Beitrag des Himmelslichtes   12.000 lx
20.000 lx [5]
Bedeckter Himmel, Sonnenhöhe 60° (mittags im Sommer) 19.000 lx [5]
Bedeckter Himmel, Sonnenhöhe 16° (mittags im Winter) 6.000 lx [5]
Dämmerung (Sonne knapp unter Horizont) 750 lx [4]
Dämmerung (Sonne 6° unter Horizont) 3 lx [4]
Vollmond im Zenit, mittlerer Erdabstand 0,27 lx [4]
Halbmond in 45° Höhe, mittlerer Erdabstand 0,02 lx [4]
Sternenlicht und Airglow 0,002 lx [4]
Sternenlicht 0,00022 lx [4]

Normativ geforderte Beleuchtungsstärken[Bearbeiten]

Soll-Beleuchtungsstärken:

Zum Vergleich: trüber Wintertag: 2000 bis 4000 Lux.

Übersicht über grundlegende Lichtgrößen[Bearbeiten]

Übersicht über photometrische Größen und Einheiten
Bezeichnung Formelzeichen Definition Einheitenname Einheitenumformung Dimension
Lichtstrom
(luminous flux, luminous power)
\textstyle \mathit{\Phi_\mathrm{v}}\,, F\,, P \textstyle \mathit{\Phi_\mathrm{v}} = K_\mathrm{m}\int_{380\,\mathrm{nm}}^{780\,\mathrm{nm}}\frac{\partial\mathit{\Phi_\mathrm{e}}(\lambda)}{\partial \lambda}\cdot V(\lambda)\,\mathrm{d}\lambda Lumen (lm) \textstyle \mathrm{1\, lm = 1\, sr \cdot cd} \mathsf{J} \,
Beleuchtungsstärke
(illuminance)
\textstyle E_\mathrm{v} \, \textstyle E_\mathrm{v}=\frac{\partial \mathit{\Phi_\mathrm{v}}}{\partial A} Lux (lx), früher auch Nox (nx), Phot (ph) \textstyle \mathrm{1\, lx = 1\,\frac{lm}{m^2} = 1\,\frac{sr \cdot cd}{m^2}} \mathsf{L^{-2} \cdot J}
Spezifische Lichtausstrahlung
(luminous emittance)
\textstyle M_\mathrm{v} \, \textstyle M_\mathrm{v}=\frac{\partial \mathit{\Phi_\mathrm{v}}}{\partial A} Lux (lx) \textstyle \mathrm{1\, lx = 1\,\frac{lm}{m^2} = 1\,\frac{sr \cdot cd}{m^2}} \mathsf{L^{-2} \cdot J}
Leuchtdichte
(luminance)
\textstyle L_\mathrm{v} \, \textstyle L_\mathrm{v}=\frac{\partial^2 \mathit{\Phi_\mathrm{v}}}{\partial \Omega \cdot \partial A_1 \cdot \cos \varepsilon_1} keine eigene Einheit, manchmal Nit genannt, früher auch in Stilb (sb), Apostilb (asb), Lambert (la), Blondel \textstyle \mathrm{1\,\frac{cd}{m^2} = 1\,\frac{lm}{sr \cdot m^2}} \mathsf{L^{-2} \cdot J}
Lichtstärke
(luminous intensity)
\textstyle I_\mathrm{v} \, \textstyle I_\mathrm{v}=\frac{\partial\mathit{\Phi_\mathrm{v}}}{\partial\Omega} Candela (cd) (SI-Basiseinheit),
früher auch Hefnerkerze (HK), Internationale Kerze (IK), Neue Kerze (NK)
\textstyle \mathrm{1\, cd = 1\, \frac{lm}{sr}} \mathsf{J} \,
Lichtmenge
(luminous energy)
\textstyle Q_\mathrm{v} \, \textstyle Q_\mathrm{v}= \int_{0}^{T} \mathit{\Phi_\mathrm{v}}(t) \mathrm{d}t Lumensekunde (lm s), Talbot, Lumberg \textstyle \mathrm{1\, lm \cdot s = 1\, sr \cdot cd \cdot s} \mathsf{T \cdot J}
Belichtung
(luminous exposure)
\textstyle H_\mathrm{v} \, \textstyle H_\mathrm{v}= \int_{0}^{T} E_\mathrm{v}(t) \mathrm{d}t Luxsekunde (lx s) \textstyle \mathrm{1\, lx \cdot s = 1\,\frac{lm \cdot s}{m^2} = 1\,\frac{sr \cdot cd \cdot s}{m^2}} \mathsf{L^{-2} \cdot T \cdot J}
Lichtausbeute
(luminous efficacy)
\textstyle \eta\,, \rho\, \textstyle \eta=\frac{\mathit{\Phi_\mathrm{v}}}{P} Lumen / Watt \textstyle \mathrm{1\,\frac{lm}{W} = 1\,\frac{sr \cdot cd \cdot s}{J} = 1\, \frac{sr \cdot cd \cdot s^2}{kg \cdot m^2}} \mathsf{M^{-1} \cdot L^{-2} \cdot T{^3} \cdot J}
Raumwinkel
(solid angle)
\textstyle \Omega \, \textstyle \Omega = \frac{S}{r^2} Steradiant (sr) \textstyle \mathrm{1\, sr = \frac{\left[ Fl\ddot{a}che \right]}{\left[ Radius^2 \right]} = 1\,\frac{m^2}{m^2}} \mathsf{1} \, (Eins)

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Hans R. Ris: Beleuchtungstechnik für Praktiker. 2. Auflage, VDE-Verlag GmbH, Berlin-Offenbach, 1997, ISBN 3-8007-2163-5
  • Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 4. Auflage, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main, 2000, ISBN 3-8171-1628-4

Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. \varepsilon ist der Winkel zwischen der Flächennormalen und der Strahlungsrichtung
  2. Dies geschähe durch Integration über Sender- und Empfangsfläche unter Anwendung des photometrischen Grundgesetzes.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b c d DIN 5031 Strahlungsphysik im optischen Bereich und Lichttechnik, Teil 3: Größen, Formelzeichen und Einheiten der Lichttechnik. Beuth, Berlin 1982
  2. International Electrotechnical Commission (IEC): International Electrotechnical Vocabulary, ref. 845-01-38, Illuminance (abgerufen am 07. Februar 2015)
  3. z.B.: J.R. Howell: A Catalog of Radiation Heat Transfer Configuration Factors.: B-12: Planar element dA1 to circular disk A2 in parallel plane. Normal to element passes through center of disk (abgerufen am 10. Februar 2015)
  4. a b c d e f g P.K. Seidelmann (Hrsg.): Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac. University Science Books, Mill Valley 1992, ISBN 0-935702-68-7, S. 493
  5. a b c d DIN 5034 Tageslicht in Innenräumen, Teil 2: Grundlagen. Beuth, Berlin 1985
  6. Zumtobel: Normen für die Sicherheitsbeleuchtung, Seite 8, 11 (PDF; 2,0 MB)
  7. nach DIN EN 12464-1
  8. Arbeitsinspektorat, Beleuchtung von Arbeitsräumen
  9. Universität Duisburg-Essen: Merkblatt für Bildschirmarbeitsplätze (MS Word; 185 kB), Seite 5
  10. nach DIN EN 12464-2
  11. Beleuchtung von Straßen, Wegen und Plätzen nach DIN EN 13 201 (PDF; 1,8 MB), Hrsg: Trilux