Gleichstufige Stimmung

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Die gleichstufige Stimmung ist ein Stimmungssystem, bei dem alle zwölf Halbtonschritte einer Oktave die gleiche Größe (100 Cent) haben. Andere Bezeichnungen sind: gleichtemperierte/gleichschwebende Stimmung oder gleichschwebende Temperatur; zur Unterscheidung von gleichstufigen Systemen mit anderer Stufenzahl (z.B. 19 oder 24) ist die Bezeichnung 12-EDO (Equal Division of the Octave) gebräuchlich. Die umgangssprachlich oft verwendete Bezeichnung temperierte Stimmung ist zu ungenau, da die Gleichstufigkeit nur eine mögliche Art ist, Intervalle zu temperieren.

Die Reine Stimmung bei Tasteninstrumenten ist mit dem Problem behaftet, dass immer nur eine begrenzte Anzahl von sauber klingenden Akkorden zur Verfügung steht. Dieses Problem löst die gleichstufige Stimmung, indem sie die unvermeidlichen Unreinheiten gleichmäßig auf alle Tonstufen verteilt, so dass alle Akkorde und Tonarten gleich brauchbar sind. In früheren Stimmungssystemen war dies nicht der Fall, wodurch die Möglichkeit der Modulation zu andern Tonarten beschränkt war. Von Kritikern der gleichstufigen Stimmung wird allerdings bedauert, dass bei ihr der individuelle Charakter einzelner Tonarten der früheren mitteltönigen oder wohltemperierten Stimmungen verloren gehe.

Stimmungen mit temperierten Intervallen[Bearbeiten]

Das in der westlichen Musik vorherrschende gleichstufige Stimmungssystem ist besonders wichtig für Musikinstrumente, deren Tonhöhe und Tastenanzahl beziehungsweise der Zahl der Töne pro Oktave durch konstruktive Parameter festgelegt ist, also z. B. Tasteninstrumente wie Orgel, Cembalo, Klavier, oder Stabspiele und vielsaitige Zupfinstrumente, bei denen ein tonartbedingtes Umstimmen bzw. Anpassen der Tonhöhe während des Spiels nicht möglich ist.

Andere Instrumente, wie Streich- oder Blasinstrumente, können dagegen durchaus rein intonieren, wobei der Spieler dann von Fall zu Fall die systembedingten Unreinheiten durch geringfügige Anpassung der Tonhöhe ausgleichen kann.

Je nachdem, in welchem harmonischen Zusammenhang ein Ton gespielt wird, müsste dieser aber eigentlich eine leicht unterschiedliche Tonhöhe haben, um in einem Akkord rein (schwebungsfrei) zu erklingen. Beispielsweise entspricht der Ton Gis nicht dem Ton As, und dieses Problem besteht letztlich bei allen Tönen einer Tonleiter, je nachdem, in welchem harmonischen Zusammenhang man sie gebraucht. Für Tasteninstrumente wurde deshalb eine Temperierung erforderlich, die zunächst in den mitteltönigen Stimmungen und dann in den wohltemperierten Stimmungen verwirklicht wurde. Merkmal all dieser Temperierungen ist es, dass sie auf Grund musikalischer Gesichtspunkte entwickelt wurden. Die exakte Lage aller zwölf Halbtöne wird bei mitteltöniger oder wohltemperierter Stimmung so ermittelt, dass einige Tonarten bzw. Akkorde reiner klingen, andere, meist die seltener gebräuchlichen, unreiner klingen.

Allein bei der mathematisch ermittelten gleichstufigen Stimmung klingen alle Tonarten gleich (unrein).[1]

Intervalle in der gleichstufigen Stimmung[Bearbeiten]

Bei der gleichtemperierten Stimmung wird die Oktave in zwölf identische Halbton-Schritte aufgeteilt:

Halbton = 1/12·Oktave = 100 Cent. (Frequenzverhältnis \sqrt[12]{2} \approx 1{,}0594630943593)[2].

Dadurch wird das Pythagoreische Komma ausgeglichen, das bei zwölf hintereinander ausgeführten reinen Quinten (zum Beispiel C-G-D-A-E-H-Fis-Cis-Gis-Dis-Ais-Eis-His) auftritt. Diese Quinten sind nun alle um 1/12 dieses Kommas tiefer gestimmt, sodass die offene Quintenspirale sich zum Quintenzirkel schließt. Im Vergleich zur pythagoreischen (der quintenreinen) Stimmung mit der reinen Quinte von 702 Cent hat die gleichstufige Stimmung eine geringfügig verkleinerte Quinte von 700 Cent; entsprechend ist die Quarte (rein: 498 Cent, gleichstufig: 500 Cent) der gleichstufigen Stimmung – die die Quinte zur Oktave ergänzt – um zirka 2 Cent weiter als eine reine Quarte. Die große Terz (386 Cent) der reinen Stimmung wird bei der gleichstufigen Stimmung (400 Cent) immerhin um zirka 14 Cent vergrößert („geschärft“); die kleine Sext (rein: 814 Cent, gleichstufig: 800 Cent) ist um denselben Wert zu klein. Die kleine Terz (rein: 316 Cent, gleichstufig: 300 Cent) wiederum wird gar um zirka 16 Cent zu eng, die große Sext (rein: 884 Cent, gleichstufig: 900 Cent) um denselben Wert zu weit gestimmt.

Ein derart gestimmtes Instrument enthält außer der Oktave kein einziges „ideales“, d. h. in einem einfach ganzzahligen Frequenzverhältnis rein gestimmtes Intervall mehr, und die Abweichungen sind auch durchaus hörbar. In der heutigen Musikwahrnehmung wird das jedoch allgemein als akzeptabel empfunden (Gewöhnungseffekt [3]).

Geschichte[Bearbeiten]

Geometrische Darstellung der gleichstufigen Stimmung aus Sopplimenti musicali (1588) von Gioseffo Zarlino

Die gleichstufige Stimmung konnte erstmals 1584 von Chu Tsai-yü (朱載堉) in China mit Hilfe eines Systems neunstelliger Zahlen ziemlich genau berechnet werden. In Europa wurden diese Berechnungen allerdings erst 1799 bekannt, ohne dass Chu Tsai-yü namentlich genannt wurde. 1588 bot Gioseffo Zarlino eine exakte geometrische Darstellung. Simon Stevin beschrieb als erster Europäer in Vande Spiegheling der Singconst (Manuskript um oder vor 1600) eine weitgehende Annäherung mit Hilfe eines von ihm entwickelten Verfahrens zur Wurzelberechnung, meinte allerdings fälschlicherweise, dabei natürliche große Terzen zu gewährleisten.

Als gleichstufig bezeichnete Lautenstimmungen des 16. Jahrhunderts fußten, wie von Vincenzo Galilei praktiziert, meistens auf dem Halbton mit dem Verhältnis 18:17 (etwa 99 Cent).

Vor allem im 17. Jahrhundert wurde die gleichstufige Stimmung nicht nur von Theoretikern wie z. B. Pietro Mengoli und Marin Mersenne, sondern auch von Komponisten, Instrumentenbauern und ausübenden Musikern diskutiert. Das belegt beispielsweise eine Auseinandersetzung über Stimmungen zwischen Giovanni Artusi und Claudio Monteverdi kurz nach 1600. Girolamo Frescobaldi empfahl die gleichstufige Stimmung für die Orgel in der Basilica S. Lorenzo in Damaso.

Im deutschen Sprachraum verwendete man für gleichstufig den Begriff gleichschwebend, so Andreas Werckmeister 1707 in Musikalische Paradoxal-Discourse: „ … wenn die Temperatur also eingerichtet wird/daß alle Quinten 1/12 Commat: … schweben, und ein accurates Ohr dieselbe auch zum Stande zu bringen und zu stimmen weiß/so dann gewiß eine wohltemperirte Harmonia, durch den gantzen Circul und durch alle Clavis sich finden wird.“ Werckmeister meint damit ausdrücklich nicht, dass die Schwebungsfrequenzen gleich seien. Die von ihm angesprochene Schwierigkeit, gleichstufig zu stimmen, kann z. B. ein Klavierstimmer gerade dadurch meistern, dass er die unterschiedlichen Schwebungsfrequenzen der Quinten in den verschieden hohen Lagen des Klavieres kennt und zum Stimmen nutzt.

Die praktische Bedeutung blieb indes bis ins 18. Jahrhundert gering. Es mehrten sich aber die Befürworter der gleichstufigen Stimmung, zu denen z. B. Jean-Philippe Rameau und Friedrich Wilhelm Marpurg gehörten. Bis gegen Ende des 18. Jahrhunderts gewann die gleichstufige Stimmung die Oberhand gegenüber ungleichstufigen Stimmungen und setzte sich im 19. Jahrhundert endgültig durch.

Damit verloren allerdings die Tonarten-Charaktere für neue Kompositionen an Bedeutung, weil verschiedene Tonarten in dieser Hinsicht nicht mehr unterschiedlich klangen. Beim Aufführen älterer Werke auf gleichstufig gestimmten Instrumenten gehen aus demselben Grund häufig wesentliche künstlerische Aspekte der Komposition verloren, so setzten beispielsweise ältere Komponisten zu ihrer Zeit gerne schlecht klingende „unmögliche“ Tonarten ein, um negative Sachverhalte wie Schmerz oder Sünde klanglich erlebbar zu machen.

Heute werden Instrumente mit festen Tonhöhen, wie das Klavier oder die Gitarre, standardmäßig gleichstufig gestimmt. Viele Orgeln und Cembali aber werden historisierend mit anderen, ungleichstufigen Stimmungen versehen.

Quantitative Aspekte der gleichstufigen Stimmung[Bearbeiten]

Frequenzberechnung[Bearbeiten]

Zusammenhang von Frequenz, Halbton und Oktave bei logarithmischer Darstellung

Die mathematische Vorschrift zur Bestimmung der Töne auf der gesamten Tonleiter der gleichstufigen Stimmung lautet


f(i) = f_0 \cdot 2^{i/12} \, ,

wobei f0 die Frequenz eines beliebigen Ausgangstons (z. B. die Frequenz des Kammertons a’ mit 440 Hz) ist. i ist die Halbtonschritt-Entfernung zu dem gewählten Ton mit der Frequenz f0. Eine solche mathematische Folge nennt man geometrische Folge. Will man die Frequenzen über äquidistanten Tonnamen auf einer Geraden abtragen, so muss man einfachlogarithmisches Papier verwenden. Es liegt nahe, zur Beschriftung nicht den Zehner-, sondern den Zweierlogarithmus zu verwenden.

Möchte man beispielsweise die Frequenz des Tones g’ bestimmen, so zählt man seine Halbtonschritt-Entfernung vom Kammerton a’ ab (i = minus 2, da man nach unten zählt), und setzt die Werte in die Gleichung ein:


f(-2) = 440\,\mathrm{Hz} \cdot 2^{-2/12} \approx 391{,}995\,\mathrm{Hz} \,

für den Ton g’’ erhält man entsprechend einen Halbtonabstand zu f0 von i = 10:


f(10) = 440\,\mathrm{Hz} \cdot 2^{10/12} \approx 783{,}991\,\mathrm{Hz} \,

Wie man sieht, besitzt g’’ die doppelte Frequenz wie g’. Die Oktavenreinheit bleibt also gewahrt, wogegen alle anderen Intervalle geringfügig unrein sind.

Frequenzen und Centwerte[Bearbeiten]

Beim Vergleich von Intervallen verwendet man die Einheit Cent. Dabei gilt: 1 Oktave = 1200 Cent.

Vergleich der Frequenzen der gleichstufigen Stimmung und der reinen Stimmung.
Chromatische Skala der gleichstufigen Stimmung:
Name des Tones c cis/des d dis/es e f fis/ges g gis/as a ais/b h c
Frequenz [Hz] 261,6 277,2 293,7 311,1 329,6 349,2 370 392 415,3 440 466,2 493,9 523,3
In Cent 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200
Erweiterte Skala der reinen Stimmung von C-Dur und C-moll ergänzt um fis und des:[4]
Name des Tones c des d es e f fis g as a b h c
Frequenz [Hz] 264 281,6 297 316,8 330 352 371,25 396 422,4 440 475,2 495 528
In Cent 0 112 204 316 386 498 590 702 814 884 1018 1088 1200
Intervall Gleichstufig temperiertes Intervall In Cent Reines Intervall In Cent Differenz in Cent
Prime \sqrt[12]{2^0} = 1 0 Cent \tfrac{1}{1} = 1 0 Cent 0 Cent
Kleine Sekunde \sqrt[12]{2^1} = \sqrt[12]{2} \approx 1{,}059463 100 Cent \tfrac{16}{15} \approx 1{,}066667 111,73 Cent -11,73 Cent
Große Sekunde \sqrt[12]{2^2} = \sqrt[6]{2} \approx 1{,}122462 200 Cent     \tfrac{9}{8} = 1{,}125
\tfrac{10}{9}  \approx 1{,}111111
203,91 Cent
182,40 Cent
-3,91 Cent
17,60 Cent
Kleine Terz \sqrt[12]{2^3} = \sqrt[4]{2} \approx 1{,}189207 300 Cent \tfrac{6}{5} = 1{,}2 315,64 Cent -15,64 Cent
Große Terz \sqrt[12]{2^4} = \sqrt[3]{2} \approx 1{,}259921 400 Cent \tfrac{5}{4} = 1{,}25 386,31 Cent 13,69 Cent
Quarte \sqrt[12]{2^5} = \sqrt[12]{32} \approx 1{,}334840 500 Cent \tfrac{4}{3} \approx 1{,}333333 498,04 Cent 1,96 Cent
übermäßige Quarte
Tritonus *
\sqrt[12]{2^6} = \sqrt{2} \approx 1{,}414214 600 Cent \tfrac{45}{32} = 1{,}40625 590,22 Cent 9,78 Cent
Quinte \sqrt[12]{2^7} = \sqrt[12]{128} \approx 1{,}498307 700 Cent \tfrac{3}{2} = 1{,}5 701,96 Cent -1,96 Cent
Kleine Sexte \sqrt[12]{2^8} = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}587401 800 Cent \tfrac{8}{5} = 1{,}6 813,69 Cent -13,69 Cent
Große Sexte \sqrt[12]{2^9} = \sqrt[4]{8} \approx 1{,}681793 900 Cent \tfrac{5}{3} \approx 1{,}666667 884,36 Cent 15,64 Cent
Kleine Septime \sqrt[12]{2^{10}} = \sqrt[6]{32} \approx 1{,}781797 1000 Cent \tfrac{16}{9} \approx 1{,}777778
    \tfrac{9}{5} = 1{,}8
996,09 Cent
1017,60 Cent
3,91 Cent
-17,60 Cent
Große Septime \sqrt[12]{2^{11}} = \sqrt[12]{2048} \approx 1{,}887749 1100 Cent \tfrac{15}{8} = 1{,}875 1088,27 Cent 11,73 Cent
Oktave \sqrt[12]{2^{12}} = 2 1200 Cent \tfrac{2}{1} = 2 1200 Cent 0 Cent
Anmerkungen:
  • Ist die Differenz negativ, so ist das gleichtemperierte Intervall enger als das reine.
  • * Tritonus (Übermäßige Quarte), definiert als: Große Terz (Frequenzverhältnis 5/4) plus Große Sekunde (Frequenzverhältnis 9/8) = Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) minus diatonischer Halbton (Frequenzverhältnis 16/15). Die übermäßige Quarte (zum Beispiel C-Fis oder Ges-C, Frequenzverhältnis 45/32 entsprechend 590 Cent) ist in reiner Stimmung kleiner als die verminderte Quinte (zum Beispiel Fis-C oder C-Ges, Frequenzverhältnis 64/45 entsprechend 610 Cent). In gleichstufiger Stimmung sind jedoch beide gleich der Hälfte einer Oktave (600 Cent).
  • Bemerkung zur großen Sekunde und kleinen Septime: In der reinen Stimmung gibt es die zwei Ganztöne mit den Frequenzverhältnissen 9/8 und 10/9. Entsprechend gibt es zwei kleine Septimen mit den Frequenzverhältnissen 2:9/8 = 16/9 und 2:10/9 = 9/5.

Sonderformen[Bearbeiten]

Die Einteilung der Oktave in zwölf Töne mit gleichem Frequenzverhältnis zu ihren Nachbartönen ist zwar die gebräuchlichste, aber nicht die einzige Möglichkeit, um sich reinen Intervallen anzunähern. Mit mehr Tönen pro Oktave lassen sich bessere Näherungen erreichen. Gleichstufige Einteilungen, die tatsächlich Verwendung gefunden haben, sind z. B.:

In der Neuen Musik des 20. und 21. Jahrhunderts wurde und wird mit zahlreichen gleichstufigen (und anderen) Tonsystemen experimentiert, wobei die Oktave etwa in 17, 19, 31, 53, 72 gleiche Schritte unterteilt wird.

Gelegentlich werden auch andere Intervalle als die Oktave unterteilt. So kreiert z. B. Karlheinz Stockhausen für seine elektronische Studie II von 1952 ein Tonsystem, das auf der Einteilung eines Intervalls mit dem Frequenzverhältnis 5/1 in 25 gleiche Stufen basiert. Da die Stufenabstände geringfügig größer sind als der traditionelle temperierte Halbton, entsteht ein Tonsystem, das zur Erzeugung (unharmonischer) Tongemische geeignet ist.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Alexander J. Ellis schreibt dazu 1864, dass Gleichstufige Stimmung so schwierig zu realisieren ist, dass sie wohl nie (damals) erreicht wurde. Tatsächlich konnte man diese Stimmung exakt erst mit physikalischen Methoden 1917 verwirklichen (Nach Owen Jorgensen, "Tuning", East Lansing, Mich., 1991). Beides zitiert bei: Ross W. Duffin: How Equal Temperament Ruines Harmony. W. W. Norton & Company, New York, London, 2007, S. 112
  2. Bei der Addition (Subtraktion, Multiplikation) von Intervallen werden die entsprechenden Frequenzverhältnisse multipliziert (dividiert, potenziert). Die Oktave hat das Frequenzverhältnis 2, der Halbton = 1/12 Oktave entsprechend das Frequenzverhältnis 2^{\frac {1} {12}} = \sqrt[12]{2}.
  3. Ross W. Duffin (siehe unten "Literatur") kritisiert diesen "Gewöhnungseffekt" S.30 Unbeschadet, wie meisterhaft die heutigen Musiker sind, sie hören nicht mehr die schlechte große Terz der gleichstufigen Stimmung, weil sie diese stets benutzen (Konditionierung) und nie eine reine große Terz gehört haben (Ignoranz).
  4. (Genauer) Tabelle: Intervalle der reinen Stimmung

Literatur[Bearbeiten]

  • Mark Lindley: Stimmung und Temperatur, in: Frieder Zaminer (Hrsg.): Geschichte der Musiktheorie, Bd. 6. Hören Messen und Rechnen in der frühen Neuzeit, S. 109–332, Darmstadt 1987
  • Ross W. Duffin: How Equal Temperament Ruined Harmony (And Why You should Care). W. W. Norton & Company, New York, London, 2007 (Auszug)

Weblinks[Bearbeiten]