Linearität

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Der Begriff Linearität leitet sich vom lateinischen linea, Linie, bzw. linearis, aus Linien bestehend, ab und hat je nach Verwendung unterschiedliche Bedeutungen. Die deutsche Übersetzung von Linearität wäre „Geradlinigkeit“, diese ist jedoch aufgrund der unterschiedlichen Bedeutungen dieses Wortes in der deutschen Umgangssprache nicht gebräuchlich.

Inhaltsverzeichnis

1 Linearität in Naturwissenschaft und Technik
2 Linearität von Texten und Medien
3 Linearität in der Wissensvermittlung
4 Linearität in der Verwandtschaftsterminologie
5 Siehe auch
6 Einzelnachweise

[Bearbeiten] Linearität in Naturwissenschaft und Technik

[Bearbeiten] Allgemeine Definition

Linearität ist die Eigenschaft eines Systems auf die Veränderung eines Parameters stets mit einer dazu proportionalen Änderung eines anderen Parameters zu reagieren.^[1].

Diese allgemeine Definition trifft gleichermaßen für die Systemtheorie, Technik, Physik und Mathematik zu. Ist sie nicht erfüllt, so spricht man von Nichtlinearität.

[Bearbeiten] Linearität in der Mechanik

Entsprechend der lateinischen Bedeutung des Wortes linea erfolgt u. a. eine Unterscheidung der Bewegungsrichtung von Körpern danach, ob die Bewegung entlang einer entsprechend ausgeprägten geraden Linie erfolgt (linear) oder nicht (nicht linear). Die Koordinaten des Weges verändern sich proportional der Zeit.

[Bearbeiten] Linearität in der Mathematik

Beispiel: Lineare Funktionen

Linearität in der Mathematik lässt sich am einfachsten anhand sogenannter, linearer Funktionen erklären. Dies sind spezielle Funktionen, bei denen die Abbildung einer oder mehrerer Größen auf eine andere entsprechend der allgemeinen Definition erfolgt. Linearität ist weiterhin eine Eigenschaft verschiedener mathematischer Transformationen wie z. B. der Z-Transformation oder der Kontinuierlichen Fourier-Transformation.

Weiterhin trifft man bei folgenden, mathematischen Themen auf den Begriff der Linearität:

in der linearen Algebra, dem Studium von Vektorräumen
bei der linearen Abbildung, einer strukturerhaltenden Abbildung zwischen zwei Vektorräumen
bei linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen, einer Klasse von gewöhnlichen Differentialgleichungen.

Siehe auch: Glossar mathematischer Attribute, Proportionalität, ein Spezialfall von Linearität

[Bearbeiten] Linearität bei statistischen Modellen

Die Statistik liefert Methoden, mit deren Hilfe statistische Modelle in lineare und nichtlineare Modelle unterschieden werden können. Die Besonderheit dabei: Lineare Modelle sind in den geschätzten Parametern linear, aber nicht unbedingt in den unabhängigen Variablen. Was ist damit gemeint?

Erklärung: In der Quadratischen Gleichung $a x 2 + b x + c = 0$ ist nicht die unabhängige Variable $x$ , sondern die Parameter des Modells (hier die Koeffizienten: $a, b, c$ ) ausschlaggebend für das Vorliegen von Linearität. Aufgrund dessen kann die multiple lineare Regression zur Parameterabschätzung von "gekrümmten" Modellen verwendet werden.^[2]

Siehe dazu auch: Kollinearität und Multikollinearität

[Bearbeiten] Linearität bei der Methodenvalidierung

Bei der Methodenvalidierung, wie sie z.B. in der analytischen Chemie oder Forensik verwendet wird, ist ein statistischer Test auf Linearität nach Mandel, der sogenannte Mandel-Test (oder Mandel-Anpassungstest) üblich, anhand dessen bestimmt wird, welches Regressionsmodell (lineare oder quadratische Regression) für den vorliegenden Untersuchungsfall anzunehmen ist.^[3]

[Bearbeiten] Linearität in der Mess-, Steuer- und Regelungstechnik

[Bearbeiten] Messtechnik

Im industriellen Bereich wird Linearität beispielsweise definiert als: Die Abweichung bzw. Nichtabweichung einer Kennlinie von der Idealen.^[4] Linearität bezeichnet damit die lineare Korrelation zwischen einer Messgröße (z.B. Konzentration eines Stoffes in der analytischen Chemie) und dem Messsignal des Messgerätes.

Siehe auch: Linearität (Messsystemanalyse), Linearitätsfehler beim Digitalmultimeter, Linearitätsbedingung bei Korrelationskoeffizienten

[Bearbeiten] Steuer- und Regelungstechnik

Eine Umfangreiche Definition für Linearität in der Steuer- und Regelungstechnik mit mathematischer Herleitung findet man in folgendem PDF-Dokument der Universität Passau: Linearität in der Regelungstechnik

Siehe auch: Methode der globalen Linearisierung

[Bearbeiten] Linearität in der Elektrotechnik

Kennlinie einer Verstärkerröhre mit den verschiedenen Arbeitspunkten

Dem Begriff der Linearität in der Elektrotechnik liegt eine lineare Funktion zu Grunde. Im nebenstehenden Bild ist der Zusammenhang zwischen der Steuerspannung (horizontale Achse) und dem gesteuerten Strom (vertikale Achse) dargestellt. Liest man dieses Diagramm von rechts nach links, so gilt:

Im Bereich zwischen 0 und -3 V (rote Linie bei A) herrscht Linearität. Hier folgt einer infinitesimalen Spannungsänderung (+ΔU bzw. -ΔU) eine linear proportionale Änderung der Stromstärke (+ΔI bzw. -ΔI), d. h. bei Betrachtung der Betragsfunktion bei $\left| + \Delta U \right| = \left| - \Delta U \right|$ folgt $\left| + \Delta I \right| = \left| - \Delta I \right|$
Im Bereich zwischen A und AB (-6 V) ist die Funktion nur noch quasi-linear. Je näher sich jedoch die Steuerspannung (U) von rechts dem Wert AB nähert, desto mehr nimmt die Linearität ab. Zwischen -5 und -6 V erscheint dieser Effekt immer deutlicher.
Die entsprechende Umgebung zwischen AB und B ist nichtlinear. Dort bewirkt eine kleine Spannungserhöhung (+ΔU) (von links nach rechts) eine proportional größere Stromstärkeänderung (+ΔI) als eine gleich große Spannungsminderung (-ΔU) (von rechts nach links) an Stromstärkeminderung (-ΔI) verursacht, d. h. bei Betrachtung der Betragsfunktion bei $\left| + \Delta U \right| = \left| - \Delta U \right|$ folgt nun $\left| + \Delta I \right| > \left| - \Delta I \right|$ . Hieraus können Verzerrungen des Signals resultieren.

Siehe auch: Linearisierung von resistiven Sensoren

[Bearbeiten] Linearität in der Physik

In Bezug auf physikalische Situationen liegt Linearität immer dann vor, wenn die Addition bestimmter Größen die Addition anderer Größen nach sich zieht. Beispielsweise bedeutet Linearität bei der Gravitation die Eigenschaft der Addierbarkeit verschiedener Gravitationkräfte anhand ihrer Vektoren. Linearität eröffnet dabei die Möglichkeit, die Einflüsse der Gravitation in komplizierteren Situationen mit Hilfe der Vektoraddition auszurechnen.^[5]

[Bearbeiten] Linearität in der Chemie

Bei chemischen Analysen liegt Linearität bei der verwendeten Methode dann vor, wenn in einem bestimmten Konzentrationsbereich das Messsignal direkt proportional zur Analytkonzentration in der Probe ist. ^[6]

[Bearbeiten] Linearität in der Systemtheorie

In der interdisziplinären Systemtheorie werden lineare und nichtlineare Systeme unterschieden.

Ein System ist dann linear, wenn die beiden folgenden Kriterien erfüllt sind:

Wenn eine Eingangsgröße klein x zu einer Ausgangsgröße groß X führt, wird eine Eingangsgröße von 2 mal klein x zu einer Ausgangsgröße von 2mal groß X führen. Anders ausgedrückt, die Magnitude (Größenordnung) der Eingangsgröße ist proportional zur Magnitude der Ausgangsgröße des Systems.
Wenn eine Eingangsgröße klein x zu einer Ausgangsgröße groß X führt und eine Eingangsgröße klein y zu einer Ausgangsgröße groß Y führt, so verursacht eine Eingangsgröße klein x + klein y eine Ausgangsgröße groß X + groß Y. Anders ausgedrückt, das System behandelt zwei simultane Eingangsgrößen voneinander unabhängig und diese interagieren innerhalb des Systems nicht miteinander.

Implizit in diesen Kriterien ist das Faktum, dass lineare Systeme keinerlei Frequenzen am Ausgang produzieren, die nicht schon am Eingang vorhanden sind.
Dabei ist weiterhin zu beachten, dass in diesen Kriterien keinerlei Aussage steckt, wonach die Ausgangsgröße gleich der Eingangsgröße wäre, oder dieser auch nur ähnelt. Beispielsweise könnte die Eingangsgröße ein elektrischer Strom sein und die Ausgangsgröße eine Temperatur. Im Falle mechanischer Strukturen wie z. B. Maschinen könnte man eine schwingende Kraft als Eingangsgröße und eine messbare Schwingung (Bewegung) als Ausgangsgröße vorstellen.^[7]

Weiterhin kennt die Systemtheorie auch noch lineare, zeitinvariante, dynamische Systeme.

Siehe auch: Linearisierung

[Bearbeiten] Linearität von Texten und Medien

Linearität von Texten wie z. B. Büchern liegt vor, wenn diese in einer bestimmten, linearen Reihenfolge geschrieben und gelesen werden. Ausprägungen von Linearität bei Texten sind beispielsweise:

von Seite zu Seite oder von Blatt zu Blatt
von vorne nach hinten oder von hinten nach vorne
von Zeile zu Zeile oder von Spalte zu Spalte
von links nach rechts oder von rechts nach links
von oben nach unten oder von unten nach oben

Dieser Linearität des Textes folgt die Bewegungsrichtung der Augen des Autors bzw. Lesers.

Moderne Medien wie das Internet erlauben mit Hilfe von Hypertext diese Linearität in bestimmten Bereichen aufzubrechen, indem Texte untereinander verlinkt werden und diesen so eine nichtlineare Komponente hinzugefügt wird. Die Linearität einzelner Abschnitte bleibt dabei zwar erhalten, der Leser bestimmt jedoch die Leserichtung durch Auswahl der ihn interessierenden Inhalte anhand der von Autoren gesetzten Hyperlinks und bewegt sich so nichtlinear durch die vorhandenen Medieninhalte.^[8] Diese Non-Linearität von Hypertext gilt als wesentliches Element der Hypertext-Theorie.^[9]

Siehe auch: Linearität eines Zeichens

[Bearbeiten] Linearität in der Wissensvermittlung

Gegenwärtig wird im Unterrichtssystem als Ort der Wissensvermittlung und -konstruktion ein Paradigmenwechsel vollzogen. Wurde der Stoff bis in die 1980er Jahre noch linear und frontal vermittelt (Linearität a priori), so werden zunehmend die Schüler und Studenten aufgefordert, Informationen, die sie selbst aus der Umwelt sammeln, im Klassenraumdiskurs zu ordnen und zu Wissen umzuformen (Linearität a posteriori). Ein Modell dazu liefert die Unterrichtsmethode Lernen durch Lehren.

[Bearbeiten] Linearität in der Verwandtschaftsterminologie

In der Verwandtschaftsterminologie verwendet man den Term Linearität um lineare Verwandtschaft von kollateralen Verwandtschaften zu unterscheiden. Linearität wird hier als direkte Blutsverwandtschaft, Kollateralität, im Gegensatz dazu, als indirekte Blutsverwandtschaft definiert.

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Einzelnachweise

[0] Definition von Linearität bei Systemen

[1] Linearität bei statistischen Modellen

[2] Mandel-Test zur statistischen Methodenvalidierung

[3] Definition Linearität in der Messtechnik

[4] Linearität bei der Gravitation nach Albert Einstein

[5] .de: Linearität bei chemischen Analysemethoden

[6] Definition von Linearität bei Systemen

[7] webkompetenz.blogspot zu Hypertext: Text und Linearität

[8] Non-Linearität in der Hypertext-Theorie

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