Nilpotente Gruppe

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Nilpotente Gruppe ist ein Begriff aus dem Bereich der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. In gewissem Sinn verallgemeinert er für endliche Gruppen den Begriff der kommutativen Gruppe „so wenig wie möglich“: Jede kommutative Gruppe ist nilpotent, aber nicht umgekehrt. Endliche kommutative Gruppen lassen sich (bis auf Isomorphie) eindeutig als direktes Produkt von endlich vielen zyklischen Gruppen von Primzahlpotenzordnung darstellen. Dies ist eine Aussage des Hauptsatzes über endlich erzeugte abelsche Gruppen. Bei endlichen nilpotenten Gruppen übernehmen die p-Sylowgruppen die Rolle der zyklischen Gruppen: Jede endliche nilpotente Gruppe ist (bis auf Isomorphie) ein direktes Produkt ihrer p-Sylowgruppen. Die Definition des Begriffs „nilpotente Gruppe“ beruht auf dem allgemeineren Konzept einer Kette von Untergruppen (mit bestimmten Eigenschaften), das im Artikel „Reihe (Gruppentheorie)“ erläutert wird.

Charakterisierungen[Bearbeiten]

Für nilpotente Gruppen lassen sich diverse äquivalente Charakterisierungen angeben. Sie werden oft über die Betrachtung bestimmter Reihen eingeführt. Definiere für eine Gruppe die Kommutatoren L_n(G):= [L_{n-1}(G),G] für L_1(G)=G und erhalte die absteigende Zentralreihe: G= L_1(G)\ge L_2(G)\ge \dots \ge L_n(G). Nenne G nilpotent, falls die absteigende Zentralreihe für ein n\in \mathbb{N} bei der Einsgruppe endet.

Ähnlich kann man sich für G das n-te Zentrum Z_n(G) vermöge Z_0(G):= 1, Z_1(G):=Z(G) und Z_n(G) als das Urbild von Z(G/Z_{n-1}(G)) in G definieren. Damit ist 1=Z_0(G) \le Z_1(G) \le \dots \le Z_n(G) eine aufsteigende Reihe; die aufsteigende Zentralreihe. Man zeigt dann, dass G genau dann nilpotent im obigen Sinne ist, falls diese Reihe bis zu ganz G aufsteigt und dass die Längen beider Ketten gleich sind, was zur Definition der Nilpotenzklasse (auch Nilpotenzgrad) führt. [1]

Weitere Charakterisierungen von Nilpotenz sind:

  • Alle p-Sylowuntergruppen sind normal in G. Insbesondere ist G direktes Produkt ihrer p-Sylowuntergruppen.
  • Für Primzahlen p sind Produkte von p-Elementen wieder p-Elemente.
  • Jede Untergruppe von G ist subnormal.
  • Für verschiedene Primzahlen p und q sind die Kommutatoren von p-Elementen mit q-Elementen gleich dem neutralen Element.
  • Ist U eine echte Untergruppe von G, so ist U echt in ihrem Normalisator enthalten.
  • Ist M eine maximale Untergruppe, so ist M normal in G.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Untergruppen, Faktorgruppen und homomorphe Bilder einer nilpotenten Gruppe sind nilpotent.
  • Jede nilpotente Gruppe ist auflösbar. (Die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch.)
  • Produkte nilpotenter Normalteiler in einer Gruppe sind nilpotent. Diese Eigenschaft führt zur Definition der Fittinguntergruppe, (nach Hans Fitting) dem Produkt aller nilpotenten Normalteiler.

Klassifikation[Bearbeiten]

  • Das direkte Produkt nilpotenter Gruppen ist nilpotent, falls die Nilpotenzgrade der Faktoren beschränkt sind.
  • Jede endliche p-Gruppe ist nilpotent. Eine unendliche p-Gruppe ist nilpotent, wenn die Ordnung der Gruppenelemente beschränkt ist. (Beachte, dass diese Forderung stärker ist, als die Forderung endlicher Ordnung für Gruppenelemente, die durch die Definition der p-Gruppe ohnehin gewährleistet ist.)
  • Eine endliche nilpotente Gruppe ist isomorph zum direkten Produkt ihrer p-Sylow-Untergruppen. Man beachte dabei, dass jede nilpotente Gruppe zu jeder Primzahl p genau eine (ggf. triviale) p-Sylow-Untergruppe besitzt.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Eine Gruppe ist genau dann nilpotent vom Nilpotenzgrad 1, wenn sie abelsch ist.
  • Es sei K ein Körper und n eine natürliche Zahl. Die Menge der n×n-Matrizen der Form
\begin{pmatrix}1&*&\cdots&*\\0&1&\ddots&\vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & *\\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} (dabei stehen die Sterne für beliebige Elemente von K)
ist eine Untergruppe der Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen, die Gruppe der strikten oberen Dreiecksmatrizen. Sie ist nilpotent mit Nilpotenzgrad n-1.
Im Spezialfall n=3, K=\mathbb R trägt diese Gruppe auch den Namen Heisenberggruppe.
  • Die Diedergruppe  D_n mit  n Elementen ist genau dann nilpotent, wenn n=2^r gilt; in diesem Fall ist der Nilpotenzgrad gleich r-1.
  • Die Frattinigruppe \Phi(G) ist stets nilpotent und falls G/\Phi(G) nilpotent, dann auch G.[2]

Literatur[Bearbeiten]

Fußnoten[Bearbeiten]

  1. Michael Aschbacher: Finite group theory. Cambridge University Press, Cambridge; New York 2000, ISBN 0521781450, S. 28-29.
  2. Hans Kurzweil, Bernd Stellmacher: The theory of finite groups. Springer, New York; Berlin; Heidelberg [u.a.] 2004, ISBN 0387405100.