Nullpunktsenergie

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Potentialfunktion des Harmonischen Oszillators (rot).
Ein Teilchen in diesem Potential kann nur bestimmte Energien annehmen (blau), die niedrigstmögliche dieser Energien fällt nicht mit dem Potentialminimum zusammen.

Die Nullpunktsenergie ist die Differenz zwischen der Energie, die ein quantenmechanisches System im Grundzustand besitzt, und dem Energieminimum, welches das System hätte, wenn man es klassisch beschreiben würde. In thermodynamischen Systemen, die Energie mit ihrer Umgebung austauschen, ist die Nullpunktsenergie damit auch gleich der Energie des Systems am absoluten Temperaturnullpunkt.

Die Nullpunktsenergie ist durch direkte Messungen nicht nachweisbar, da diese nur Energiedifferenzen erfassen. In der Quantenfeldtheorie heißt die Summe aller Nullpunktsenergien Vakuumenergie, da diese Energie dem leeren Raum ohne Teilchen zukommt. Die Vakuumenergie kann mit Hilfe des Casimir-Effekts indirekt experimentell nachgewiesen werden.

Eindimensionale Einteilchensysteme[Bearbeiten]

Die Nullpunktsenergie wird üblicherweise anhand von eindimensionalen Systemen eines Teilchens in einem Potential eingeführt. In der klassischen (das heißt nicht-quantenmechanischen) Physik ist der energieärmste Zustand der, in dem das Teilchen im Potentialminimum ruht. In der Quantenmechanik kann die kleinste erreichbare Energie über dem Wert des Potentialminimums liegen. Für gegebene Beispielsysteme kann dies durch explizite Bestimmung der Energieeigenzustände verifiziert werden.

Alternativ kann man dieses Resultat durch Verwenden der Unschärferelation erhalten:[1] Eine endliche Ortsunschärfe, die z. B. bei gebundenen Zuständen vorliegt, verlangt im Allgemeinen eine Impulsunschärfe größer als Null. Daher können der Impuls und die kinetische Energie nicht exakt Null sein. Da die kinetische Energie nicht negativ werden kann:

E_{kin} > 0

muss die Gesamtenergie, die Summe aus potentieller Energie und kinetischer Energie, somit größer sein als das Minimum der potentiellen Energie:

\Rightarrow E_{ges} = E_{pot} + E_{kin} > E_{pot}

Harmonischer Oszillator[Bearbeiten]

Das Standardbeispiel für die Nullpunktsenergie ist der quantenphysikalische harmonische Oszillator. Dieser hat das Potential

V(x) = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \omega^2 \cdot x^2

mit

also ein Potentialminimum V(x = 0) = 0,

und das Energiespektrum

E_{n} = \left( n + \frac{1}{2} \right) \cdot \hbar \cdot \omega ,

mit

Auch im energetisch niedrigsten Zustand, dem Grundzustand mit n = 0, existiert somit eine von Null verschiedene Energie:

E_{0} = \frac{1}{2} \cdot \hbar \cdot \omega.

Im klassischen Fall ist der Zustand niedrigster Energie der, bei dem das Teilchen am Ort x=0 ruht, also p=0. In der Quantenmechanik verbietet aber die Unschärferelation zwischen Ort und Impuls, dass beide Größen exakte Werte haben. Je genauer der Ort bekannt ist, umso ungenauer kennt man den Impuls, und umgekehrt. Anschaulich ergibt sich die Nullpunktsenergie als Mittelwert dieser Schwankungen.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. F. Schwabl: Quantenmechanik, 6. Auflage, Kapitel 3.1.3, ISBN 3-540-43106-3 (google books)