Spezielle Funktion
In der Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet man gewisse Funktionen als spezielle Funktionen, weil sie sowohl in der Mathematik selbst als auch in ihren Anwendungen (z. B. in der mathematischen Physik) eine tragende Rolle spielen. Spezielle Funktionen sind Funktionen, welche man weder durch die vier Grundrechnungsarten noch die Verkettung/Umkehrung von elementaren Funktionen aufbauen kann.
Die meisten speziellen Funktionen sind holomorph oder meromorph und lassen sich in Reihen entwickeln. Sie werden unter anderem deshalb als speziell bezeichnet, weil sie in vielfältiger Weise zueinander in Beziehung stehen. Bei ihrer Untersuchung werden solche Beziehungen beschrieben und neue gefunden. Einige spezielle Funktionen zählen zu den transzendenten Funktionen und werden aufgrund ihrer Sonderstellung auch als höhere transzendente Funktionen bezeichnet.
Seit dem 19. Jahrhundert wurden verschiedene Ansätze entwickelt, mit denen wichtige spezielle Funktionen als Spezialfälle von geschlossen darstellbaren Funktionenscharen behandelt werden können. Hierzu zählen u. a. die Meijersche G-Funktion, Foxsche H-Funktion und die hypergeometrische Funktion.
Liste einiger spezieller Funktionen
- Folgende spezielle Funktionen sind Verallgemeinerungen der Fakultät bzw. der Gammafunktion
- Hypergeometrische Funktionen
- Spezielle Funktionen, die sich aus der hypergeometrischen Funktion für spezielle Parameter ergeben
- Funktionen, die als verallgemeinerte Logarithmen verwendet werden
- Zeta-Funktionen
- Weitere spezielle Funktionen
In der mehrdimensionalen Analysis sind auch spezielle Funktionen in mehreren (in der Regel komplexen) Variablen gebräuchlich.
- Spezielle Funktionen in mehreren Parametern
- Verallgemeinerte hypergeometrische Funktionen
Weitere Spezielle Funktionen der theoretischen Physik:
Anwendungsgebiete
Viele dieser Funktionen sind Lösungen von Differentialgleichungen, die in wichtigen Anwendungssituationen auftreten. Spezielle Funktionen sind auch das Rückgrat von vielen Berechnungen mit Computeralgebrasystemen (Mathematica, Maple usw.).
In jüngerer Zeit werden auch die Eigenschaften von speziellen Funktionen mit Hilfe von Computeralgebra und symbolischer Mathematik untersucht. In der analytischen Zahlentheorie sind sie von besonderer Bedeutung.
Literatur
- Irene A. Stegun und Milton Abramowitz: Handbook of Mathematical Functions, Dover Press (Online-Version)
- A. Erdélyi, W. Magnus, F. Oberhettinger und F. Tricomi: Higher Transcendental Functions, McGraw-Hill, New York, 1953
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