Diskrete Gleichverteilung

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Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Gleichverteilung auf \{0,1,\dots,20\}, d. h. n=21

Die diskrete Gleichverteilung ist eine statistische Wahrscheinlichkeitsverteilung (Gleichverteilung). Eine diskrete Zufallsvariable X mit endlich vielen Ausprägungen hat eine diskrete Gleichverteilung, wenn die Wahrscheinlichkeit für jede ihrer Ausprägungen x_1, \dotsc, x_n gleich ist. Es gilt dann P(X = x_i) = \tfrac{1}{n} für i \in \{1,\dotsc,n\}.

Typischerweise findet diese Wahrscheinlichkeitsverteilung Anwendung bei Zufallsexperimenten, deren Ergebnisse gleichhäufig sind. Wenn man (mit oder ohne Begründung) annimmt, dass die n Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind, spricht man von einem Laplace-Experiment. Gängige Beispiele für Laplace-Experimente sind der Laplace-Würfel und die Laplace-Münze. Siehe auch Stetige Gleichverteilung, Laplace-Formel.

Wahrscheinlichkeitsfunktion[Bearbeiten]

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Gleichverteilung ist:

 \operatorname{P}(X = x) =f(x)= \begin{cases}
\frac {1}{n} & \text{für}\; x = x_i (i = 1, \dots , n) \\
0 & \text{sonst}
\end{cases}

und damit genügt sie der Verteilungsfunktion

F_X(t)= P(X\leq t) = \frac{|\{k:x_k\leq t\}|}{n}.

Im Fall x_k=k ergibt das

F_X(t)= P(X\leq t) =
\begin{cases}
 0  & \text{falls } t<1 \\
 \frac{\lfloor t \rfloor}{n} & \text{falls } 1 \leq t < n \\
 1  & \text{falls } t \geq n
\end{cases}

Eigenschaften[Bearbeiten]

Erwartungswert[Bearbeiten]

Der Erwartungswert ist:

 \operatorname{E}(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i

Im Fall x_k=k besitzt die diskrete Gleichverteilung den Erwartungswert (nach der Gaußschen Summenformel)

 \operatorname{E}(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i =\frac{n+1}{2}

Varianz[Bearbeiten]

Die Varianz ist

 \operatorname{Var}(X) = \frac {1}{n} \left(\sum_{i=1}^n x_i^2 - \frac {1}{n} \left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2\right) =\frac{n^2-1}{12}.

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion[Bearbeiten]

Ist  X eine diskret gleichverteilte Zufallsvariable aus  \{1, \dots ,N \} , so ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion gegeben durch

m_X(t):=\frac{t(1-t^N)}{N(1-t)} für t \in [0,1).

Dies folgt direkt aus der geometrischen Reihe

Schätzer[Bearbeiten]

Ist  x=(x_1, \dots , x_n ) eine diskret gleichverteilte Stichprobe aus \{1,\dots,N\}, so ist der Maximum-Likelihood-Schätzer für den Parameter N gegeben durch

 T_M(x)=\max_{i=1, \dots , n} x_i .

Er ist insbesondere nicht erwartungstreu, da er den wirklichen Wert tendenziell unterschätzt und nie überschätzt, sondern nur asymptotisch erwartungstreu. Die Einführung eines Korrekturterms führt zu dem Schätzer

 T'_M(x)=\frac{n+1}{n}\max_{i=1, \dots , n} x_i .

Oder aber man schätzt den mittleren Abstand in der Werte in der Stichprobe durch  \min_{i=1, \dots , n} x_i ab und erhält aufs Neue einen Schätzer

 T_I(x) = \left(\max_{i=1, \dots , n} x_i\right) + \left(\min_{i=1, \dots , n} x_i\right) -1.

Dieser ist erwartungstreu, genauso wie

 T_S(x)=\left( \frac{2}{n} \sum_{i=1}^n x_i\right)-1.

Das Problem, aus einer gleichverteilten Stichprobe die Größe der Grundgesamtheit zu bestimmen, wird auch gelegentlich das Taxiproblem genannt, da ein nichtsahnender Reisender sich wohl fragen mag, wie viele Taxis in der Stadt, in der er sich gerade aufhält, existieren, er aber nur die Taxinummern der Taxis, die an ihm vorbeifahren, kennt. Das Taxiproblem ist ein Standardbeispiel der Schätztheorie, um zu zeigen, dass sich ohne Probleme mehrere verschiedene Schätzer für dasselbe Problem finden lassen, von denen a priori nicht klar ist, welcher besser ist. Varianten des Taxiproblems waren anscheinend im Zweiten Weltkrieg wichtig, um aus den Seriennummern abgeschossener Panzer Rückschlüsse auf die Anzahl der Panzer in der gegnerischen Armee zu ziehen.

Beziehung zu anderen Verteilungen[Bearbeiten]

Beziehung zur Bernoulli-Verteilung[Bearbeiten]

Die Bernoulli-Verteilung mit  p=q=\frac{1}{2} ist eine diskrete Gleichverteilung auf  \{0,1\} .

Beziehung zur Beta-Binomialverteilung[Bearbeiten]

Die Beta-Binomialverteilung mit  a=b=1 ist eine diskrete Gleichverteilung auf  \{0, \dots, n\} .

Beziehung zur Zweipunktverteilung[Bearbeiten]

Die Zweipunktverteilung ist für  p=q=\frac{1}{2} eine diskrete Gleichverteilung auf  \{a,b\} .

Beziehung zum Urnenmodell[Bearbeiten]

Die diskrete Gleichverteilung ist die Basis aller Überlegungen, die Im Urnenmodell angestellt werden, da das ziehen jeder der Kugeln aus der Urne Gleichwahrscheinlich sein soll. Je nachdem, wie die Kugeln gefärbt, nummeriert oder zurückgelegt werden (oder auch nicht) ergeben sich somit aus der diskreten Gleichverteilung eine Vielzahl anderer wichtiger Verteilungen wie z.B. die Binomialverteilung, Geometrische Verteilung, Hypergeometrische Verteilung, Negative Binomialverteilung und Multinomialverteilung.

Beispiel[Bearbeiten]

Sechsseitiger Laplace-Würfel[Bearbeiten]

Das Zufallsexperiment ist: Ein Würfel wird einmal geworfen. Die möglichen Ausprägungen der Zufallsvariablen X sind: x_1=1, x_2=2, \dots, x_6=6. Nach der klassischen Wahrscheinlichkeitsauffassung ist die Wahrscheinlichkeit für jede Ausprägung gleich. Sie hat dann die Wahrscheinlichkeitsfunktion

 P(X = x) = f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{6} & \text{für}\; x = x_i (i = 1, \dots , 6) \\
0 & \text{sonst}
\end{cases}

mit dem Erwartungswert \operatorname{E}(X) für x_i=i und n=6:

 E(X) = 7/2 = 3{,}5

und der Varianz

 V(X) = \frac {35}{12} \approx 2{,}92.

Entscheidungsproblem des Marketing[Bearbeiten]

Eine Anwendung in der Praxis könnte etwa ein Problem des Operations Research (Marketing) sein. Eine Unternehmung möchte ein neues Produkt auf dem Markt einführen

Man versucht, den Erfolg des Produkt quantitativ vorauszuschätzen. Es wird vereinfachend von 5 verschiedenen verkauften Stückzahlen ausgegangen: 0, 1.000, 5.000, 10.000 und 50.000. Da über die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Absatzzahlen keine verlässliche Schätzung möglich ist, verwendet man der Einfachheit halber gleiche Wahrscheinlichkeiten.

Man kann nun den Entscheidungsprozess, d. h. die individuelle Kaufentscheidung objektivieren, also den erwarteten durchschnittlichen Absatz ermitteln und sich überlegen, etwa anhand von Entscheidungsbäumen, inwieweit erhöhte Werbeausgaben die Absatzzahlen erhöhen könnten.

Abgrenzung[Bearbeiten]

Die diskrete Gleichverteilung wird oft auch nach Pierre-Simon Laplace benannt (Laplace-Würfel). Sie hat jedoch nichts mit der stetigen Laplace-Verteilung zu tun.

Weblinks[Bearbeiten]