Dieser Artikel behandelt die Multiplikation zweier Vektoren, deren Ergebnis ein
Skalar ist. Für die Multiplikation von Vektoren mit Skalaren, deren Ergebnis ein Vektor ist, siehe
Skalarmultiplikation.
Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt oder Punktprodukt) ist eine mathematische Verknüpfung zwischen Vektoren. Historisch wurde es zuerst im euklidischen Raum eingeführt. Geometrisch berechnet man das Skalarprodukt zweier Vektoren
und
im dreidimensionalen Anschauungsraum nach der Formel
.
Dabei bezeichnen
und
jeweils die Längen der Vektoren. Mit
wird der Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels bezeichnet.
In einem kartesischen Koordinatensystem gilt
![{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=x_{1}\,y_{1}+x_{2}\,y_{2}+x_{3}\,y_{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fdf725d0740b25ef1e64989864c5be77a01ded4)
Kennt man die kartesischen Koordinaten der Vektoren, so kann man mit dieser Formel das Skalarprodukt ausrechnen und mit der obigen Formel dann den Winkel zwischen den beiden Vektoren.
Wie bei der normalen Multiplikation kann das Multiplikationszeichen auch weggelassen werden:
=
, wenn klar ist, was gemeint ist.
In der Linearen Algebra wird dieses Konzept verallgemeinert. Ein Skalarprodukt ist dort eine Funktion, die zwei Elementen eines Vektorraums ein Element des dem Vektorraum zugrunde liegenden Skalarkörpers zuordnet. Als Notation verwendet man statt des Malpunkts meist spitze Klammern und schreibt also
für das Skalarprodukt zweier Vektoren
und
. Ist die Bedeutung von
und
klar, lässt man die spitzen Klammern auch weg und schreibt
. Auch die Notation
ist gebräuchlich, zeigt sie doch die enge Verwandtschaft zur Matrizenmultiplikation auf.
Im Allgemeinen ist in einem reellen oder komplexen Vektorraum von vornherein kein Skalarprodukt festgelegt. Ein Raum zusammen mit einem Skalarprodukt wird als Innenproduktraum oder Prähilbertraum bezeichnet. Diese verallgemeinern den euklidischen Raum und ermöglichen damit die Anwendung geometrischer Methoden auf abstrakte Strukturen.
Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Raum oder in der zweidimensionalen euklidischen Ebene kann man als Pfeile darstellen. Dabei stellen Pfeile, die parallel, gleichlang und gleichorientiert sind, denselben Vektor dar.
Das Skalarprodukt
zweier Vektoren
und
ist ein Skalar, das heißt eine reelle Zahl.
Geometrisch lässt es sich wie folgt definieren:
Bezeichnen
und
die Längen der Vektoren
und
und bezeichnet
den von
und
eingeschlossenen Winkel, so ist
.
Wie bei der normalen Multiplikation, aber seltener als dort, wird das Multiplikationszeichen manchmal auch weggelassen, wenn klar ist, was gemeint ist:
![{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}\,{\vec {b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2740f82b1bda1db75a07cfc42c9b5a2359fdd4fb)
Statt
schreibt man in diesem Fall gelegentlich auch
.
Eine andere übliche Notation ist
.
Um sich die Definition zu veranschaulichen, betrachtet man die orthogonale Projektion
des Vektors
auf die durch
bestimmte Richtung und setzt
![{\displaystyle b_{a}={\begin{cases}|{\vec {b}}_{\vec {a}}|&{\text{falls }}{\vec {a}},{\vec {b}}_{\vec {a}}{\text{ gleichorientiert}}\\-|{\vec {b}}_{\vec {a}}|&{\text{falls }}{\vec {a}},{\vec {b}}_{\vec {a}}{\text{ entgegengesetzt orientiert}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/800e5a7dfa5e7eb1a6400b50d910a5ccdc22e0e8)
Es gilt dann
und für das Skalarprodukt von
und
gilt
![{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=ab_{a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be3a3c911112c3769165d5a71c802ed408b56f83)
Führt man in der euklidischen Ebene bzw. im euklidischen Raum kartesische Koordinaten ein, so besitzt jeder Vektor eine Koordinatendarstellung als 2- bzw. 3-Tupel, die meist als Spalten geschrieben werden.
Für das Skalarprodukt der Vektoren
und ![{\displaystyle {\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2456724e59883332af15fb02775b87adc91211dd)
in der euklidischen Ebene gilt dann:
![{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11675eadefc600ec6cb75e525904053e16c59f5e)
Im dreidimensionalen euklidischen Raum gilt für die Vektoren
und ![{\displaystyle {\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42d273ac6e1ecb4ceebb09715fa1e6f306e3f39c)
entsprechend
![{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fca8b869d5b0769a14445f5948273e1de324069b)
Zum Beispiel berechnet sich das Skalarprodukt der beiden Vektoren
und ![{\displaystyle {\vec {b}}={\begin{pmatrix}-7\\8\\9\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f90b9a9231431290fbd91b91a60468b935194b9)
wie folgt:
![{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=1\cdot (-7)+2\cdot 8+3\cdot 9=36}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f564ca30a8d069123c92badd84f48c298bc5229a)
Aus der geometrischen Definition ergibt sich direkt:
- Sind
und
parallel und gleichorientiert (
), so gilt
.
- Insbesondere ergibt das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst das Quadrat seiner Länge:
.
- Sind
und
parallel und entgegengesetzt orientiert (
), so gilt
.
- Sind
und
orthogonal (
) , so gilt
.
Das Skalarprodukt hat die folgenden Eigenschaften, die man von einer Multiplikation erwartet:
- Das Skalarprodukt ist kommutativ (symmetrisch):
für alle Vektoren
und ![{\displaystyle {\vec {b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c9ef58be7103eb0b2bfcb460df23430f6a36216)
- Es gilt das Assoziativgesetz für die Multiplikation mit Skalaren (das Skalarprodukt ist homogen in jedem Argument):
für alle Vektoren
und
und alle Skalare ![{\displaystyle r\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79ada4fd070acfeeee62081f256be1c106346359)
- Es gilt das Distributivgesetz (das Skalarprodukt ist additiv in jedem Argument):
und
für alle Vektoren
,
und
.
Die Eigenschaften 2 und 3 fasst man auch zusammen als:
Das Skalarprodukt ist bilinear.
Weder die geometrische Definition noch die Definition in kartesischen Koordinaten ist willkürlich. Beide folgen aus den natürlichen Forderungen, dass das Skalarprodukt eine Vektors mit sich selbst das Quadrat seiner Länge ist, und dass das Skalarprodukt die obigen Eigenschaften 1–3 erfüllt.
Mit Hilfe des Skalarproduktes ist es möglich, aus der Koordinatendarstellung die Länge (den Betrag) eines Vektors zu berechnen:
Für Vektoren des zweidimensionalen Raumes gilt
![{\displaystyle |{\vec {a}}|={\sqrt {{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}}}={\sqrt {{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b4d32d41eae6577afe7c560bd8cb9ca7a9181b)
Man erkennt hier den Satz des Pythagoras wieder.
Im dreidimensionalen Raum gilt entsprechend
![{\displaystyle |{\vec {a}}|={\sqrt {{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}}}={\sqrt {{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f74874350840f3186aef0de722a8373172b4597)
Die Längen der beiden Vektoren im obenstehenden Beispiel betragen also
![{\displaystyle |{\vec {a}}|={\sqrt {1^{2}+2^{2}+3^{2}}}={\sqrt {14}}\approx 3{,}74,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea6f7bceef0b40120c7da2cd2f9a7c5dab349d0)
![{\displaystyle |{\vec {b}}|={\sqrt {(-7)^{2}+8^{2}+9^{2}}}={\sqrt {194}}\approx 13{,}93.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5be3af4c1886db581e0d753312a5a6b0aa29c256)
Indem man die geometrische Definition mit der Koordinatendarstellung kombiniert, kann man aus den Koordinaten zweier Vektoren den von ihnen eingeschlossenen Winkel berechnen.
Aus
![{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\,\cos \sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af66b16646734455f5ce26fb718ffce3e5fb988d)
folgt
![{\displaystyle \cos \sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{\left|{\vec {a}}\right|\,|{\vec {b}}|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/546d96520d5b9c4e141db40927236c340882d65d)
bzw.
![{\displaystyle \sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})=\arccos {\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{\left|{\vec {a}}\right|\,|{\vec {b}}|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a292581decd77972fb45e3aa1043b3a9cdfdfb9)
Damit lässt sich der Winkel zwischen den Vektoren im obenstehenden Beispiel berechnen:
![{\displaystyle \sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})=\arccos {\frac {36}{3{,}74\cdot 13{,}93}}\approx 46{,}3^{\circ }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d182ef750e817fe5572e3978751c381bcc77747)
Zwei Vektoren
und
sind genau dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist, also
![{\displaystyle {\vec {a}}\perp {\vec {b}}\iff {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/543511f64d513f71a764383a2047b3b1ead2a4be)
Die orthogonale Projektion von
auf die durch den Vektor
gegebene Richtung ist der Vektor
mit Komponente
![{\displaystyle k={\frac {{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}}{{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}}}={\frac {{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}}{|{\vec {a}}|^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd9f89e17edf5d60dc2e7b28ec06781ae51a9fb)
Die Projektion ist der Vektor, dessen Endpunkt der Lotfußpunkt vom Endpunkt von
auf die durch
bestimmte Gerade durch den Nullpunkt ist. Der Vektor
steht senkrecht auf
.
Ausgehend von der Darstellung des euklidischen Skalarprodukts in kartesischen Koordinaten definiert man in der linearen Algebra das Standardskalarprodukt im
-dimensionalen Koordinatenraum
wie folgt:
Sind
und ![{\displaystyle {\vec {y}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c7e70d382664b78dffdf19e9c77b14d741010cb)
zwei Vektoren aus
, so ist ihr Skalarprodukt
![{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}:=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}={x_{1}}{y_{1}}+{x_{2}}{y_{2}}+\dotsb +{x_{n}}{y_{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3398917e55f3b6c49924805a26f84490106d7ddb)
Häufig wird das Skalarprodukt statt mit einem Malpunkt durch spitze Klammern bezeichnet und man schreibt
statt
.
Man definiert dann die Länge eines Vektors, indem man die Formel aus dem euklidischen Raum überträgt:
![{\displaystyle |{\vec {x}}|={\sqrt {{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}}}={\sqrt {{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dots +{x_{n}}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/546f0fe702b30e9dfd494cd764cb9ba8896c3c03)
Entsprechend definiert man den Winkel zwischen zwei Vektoren durch
![{\displaystyle \cos \sphericalangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)={\frac {{\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}{\left|{\vec {x}}\right|\,\left|{\vec {y}}\right|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961ceea90a5f0299ecc9072e01129c6a02d19580)
bzw.
![{\displaystyle \sphericalangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)=\arccos {\frac {{\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}{\left|{\vec {x}}\right|\,\left|{\vec {y}}\right|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea78b753c173c32701b0b84df42acd9bed7ef79b)
Man nennt zwei Vektoren \vec x und \vec y zueinander orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist:
![{\displaystyle {\vec {x}}\perp {\vec {y}}\iff {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60ca3c4e1511a8365514b9353829170de5446777)
Im euklidischen Raum gilt die Formel aus der Einleitung (eine Begründung für diese Formel findet sich weiter unten)
![{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}||{\vec {y}}|\cos \sphericalangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b63246f92346bc2b70bcb365a4fe9456fb652bc)
Damit lässt sich der Winkel zwischen den Vektoren im obenstehenden Beispiel berechnen:
![{\displaystyle \sphericalangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)=\arccos {\frac {{\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}{\left|{\vec {x}}\right|\,\left|{\vec {y}}\right|}}=\arccos {\frac {36}{3{,}74\cdot 13{,}93}}\approx 46{,}3^{\circ }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca26b08200156e635732a42c99772328e58ae8c9)
Es gilt
![{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {x}}\geq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/852aeafcd14ed3be39fc9ca02867b8381e464bce)
Deswegen ist
![{\displaystyle |{\vec {x}}|={\sqrt {{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff77e4139e4f993d0cd3c0dfda197d840f9bbbc0)
immer reell.
Sind zwei Vektoren
und
parallel, so gilt
![{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}|\cdot |{\vec {y}}|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e25b64bc345b2fa9dce52018db20643bda3229c)
Stehen zwei Vektoren
und
aufeinander senkrecht (orthogonal), so gilt
.
Damit lässt sich auf einfache Weise überprüfen, ob zwei Vektoren zueinander orthogonal sind.
Ist einer der beiden Vektoren ein Einheitsvektor, so ergibt das Skalarprodukt die Länge der Projektion des anderen Vektors auf die vom Einheitsvektor definierte Gerade.
Man definiert im Fall des komplexen Vektorraums
über dem Körper
das Standardskalarprodukt für alle
folgendermaßen:
![{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}:=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\overline {y_{i}}}={x_{1}}{\overline {y_{1}}}+{x_{2}}{\overline {y_{2}}}+\dotsb +{x_{n}}{\overline {y_{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63070a76cedc319c66b7e5d679bf7f29855bf87c)
wobei der Überstrich die komplexe Konjugation bedeutet. Alternativ könnte man auch
![{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}:=\sum _{i=1}^{n}{\overline {x_{i}}}y_{i}={\overline {x_{1}}}{y_{1}}+{\overline {x_{2}}}{y_{2}}+\dotsb +{\overline {x_{n}}}{y_{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0271c4300ca2ff13354d093c7bedf5cca70fdd2)
definieren. Beide Definitionen sind gleichwertig, denn das eine Skalarprodukt ist die komplexe Konjugation des anderen. In der Praxis ist es aber zweckmäßig, sich auf eine einzige Definition zu einigen, wobei in der Mathematik die Version
bevorzugt wird, in der Physik hingegen die Version
. Für beide Definitionen gilt
und wie im Reellen
, da aufgrund der Definition
ist und im Gegensatz zu
auf
die Ordnungsrelation
definiert ist.
- Während das Skalarprodukt im reellen Fall symmetrisch ist, d.h. es gilt
, ist es im komplexen Fall hermitesch, was
bedeutet.
- Das Skalarprodukt ist nicht assoziativ (und kann es im eigentlichen Sinne auch gar nicht sein, weil sein Wert ein Skalar und nicht wieder ein Vektor ist).
- Das Skalarprodukt ist distributiv bezüglich der Addition und Subtraktion.
- Es gilt:
, wobei
die zu
adjungierte Matrix ist.
In der allgemeinen Theorie werden die Variablen für Vektoren, also Elemente eines beliebigen Vektorraums, im Allgemeinen nicht durch Pfeile gekennzeichnet. Das Skalarprodukt wird meist nicht durch einen Malpunkt, sondern durch ein Paar von spitzen Klammern bezeichnet.
- Ein Skalarprodukt oder inneres Produkt auf einem reellen Vektorraum
ist eine symmetrische positiv definite Bilinearform
, das heißt für
und
gelten die folgenden Bedingungen:
- bilinear:
![{\displaystyle \langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f047b2db98b4c449bef8a6ba1e74fd7202855549)
![{\displaystyle \langle x,y+z\rangle =\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765075f95602996be6e4fb7339917270d8c4b76a)
![{\displaystyle \langle x,\lambda y\rangle =\lambda \langle x,y\rangle =\langle \lambda x,y\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be96bfab1da5fd0cdd9b987e22ae641f80a7f1b5)
- symmetrisch:
![{\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d3053f8d1658d3b8a08299fb6dd8dd39c4eee3c)
- positiv definit:
und
genau dann, wenn ![{\displaystyle x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc)
- Ein Skalarprodukt oder inneres Produkt auf einem komplexen Vektorraum
ist eine hermitesche positiv definite Sesquilinearform
, das heißt für
und
gelten die folgenden Bedingungen:
- sesquilinear:
![{\displaystyle \langle x,y+z\rangle =\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765075f95602996be6e4fb7339917270d8c4b76a)
(semilinear im ersten Argument)
![{\displaystyle \langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f047b2db98b4c449bef8a6ba1e74fd7202855549)
(linear im zweiten Argument)
- hermitesch:
![{\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f225974b9ee4616077519c0246a4ef023a7c650a)
- positiv definit:
, und
genau dann, wenn
. (Dass
reell ist, folgt aus Bedingung 2.)
Ein reeller oder komplexer Vektorraum, in dem ein inneres Produkt definiert ist, heißt Innenproduktraum oder Prähilbertraum; ist er darüber hinaus auch noch vollständig bezüglich der durch das innere Produkt induzierten Norm, wird er als Hilbertraum bezeichnet.
Abweichende Definitionen:
- Oft wird jede symmetrische Bilinearform bzw. jede hermitesche Sesquilinearform als Skalarprodukt bezeichnet; mit diesem Sprachgebrauch beschreiben die obigen Definitionen positiv definite Skalarprodukte.
- Im komplexen Fall ließe sich das Skalarprodukt alternativ als semilinear im zweiten und linear im ersten Argument definieren. In der Physik wird jedoch die obige Variante durchgängig benutzt (siehe Bra- und Ket-Vektoren). Siehe hierzu auch den Abschnitt „Skalarprodukt als Matrizenprodukt“ weiter unten.
Das Standardskalarprodukt lässt sich auch als Matrizenprodukt schreiben, indem man den Vektor als
-Matrix (Spaltenvektor) interpretiert: Im reellen Fall gilt
![{\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{T}y=y^{T}x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/759dce104e138e860ee5bc9f344b63070e9dcdf7)
wobei
für die transponierte Matrix steht.
Im komplexen Fall gilt (für den links semilinearen, rechts linearen Fall)
![{\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{H}y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/795443a8a4831727df37d95caaf61e006b5382c4)
wobei
für die hermitesch adjungierte Matrix steht.
Allgemeiner definiert im reellen Fall jede symmetrische und positiv definite Matrix
über
![{\displaystyle \langle x,y\rangle _{A}=x^{T}Ay}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a86496d0034bfa6cf1dfc2381332d597a1fbebd)
ein Skalarprodukt; ebenso wird im komplexen Fall für jede hermitesch und positiv definite Matrix
über
![{\displaystyle \langle x,y\rangle _{A}=x^{H}Ay}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f12bc0c8d458874e01bba3985b617dff0581219)
ein Skalarprodukt definiert.
Das Skalarprodukt ist ursprünglich im Rahmen der analytischen Geometrie im euklidischen Raum eingeführt worden. So ist es mit Hilfe des Skalarproduktes beispielsweise möglich, den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen:
Das Skalarprodukt ergibt sich nämlich auch aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von diesen eingeschlossenen Winkels gemäß der Formel
![{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}|\cdot |{\vec {y}}|\cdot \cos \sphericalangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c47c89b1d941b13b0039fb0dfe255e0328a83911)
Um dies zu zeigen, mögen drei Vektoren,
des euklidischen Raumes betrachtet werden.
Wegen des Kosinussatzes ist die Länge des dem Winkel
gegenüberliegenden Vektors
![{\displaystyle |{\vec {c}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos(\gamma ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5649d243cc277d6d5f15a3c78617030f3abb21ec)
Da sich
als
ergibt, erhält man
![{\displaystyle |{\vec {b}}-{\vec {a}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos(\gamma ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b78309c82335463784148a165582d1ff55221c1)
Berechnet man nun die Länge über das Skalarprodukt, so erhält man
![{\displaystyle \left({\vec {b}}-{\vec {a}}\right)\cdot \left({\vec {b}}-{\vec {a}}\right)={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos(\gamma ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8739a6870acfb2f7a7d8c45fd7ba7ea8ecd83ca)
Aus den Rechenregeln für das Skalarprodukt ergibt sich dann
![{\displaystyle {\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos(\gamma )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f784342c7340c467479ce92f4978f22061309ffa)
und daraus die gewünschte Beziehung
![{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos(\gamma ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f25499324c1fcab530b99532d928a131357004c1)
Aus der Winkeldarstellung des Skalarprodukts folgt, dass das Skalarprodukt zweier von Null verschiedener Vektoren genau dann Null ist, wenn der Kosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels Null ist, wenn also die beiden Vektoren zueinander orthogonal sind.
Die senkrechte Projektion von
entlang
ist der Vektor
mit Komponente
von
in Richtung
. Die Projektion ist der Vektor, dessen Endpunkt der Lotfußpunkt vom Endpunkt von
auf die durch
bestimmte Gerade durch den Nullpunkt ist. Der Vektor
steht senkrecht auf
.
Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung besagt, dass für das abstrakte Skalarprodukt die Beziehung
![{\displaystyle \left|\langle x,y\rangle \right|^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac604eed201d22fe3144e836bc1d0dea05698209)
gilt, die im Falle
zu
![{\displaystyle \left|{\frac {\langle x,y\rangle }{{\sqrt {\langle x,x\rangle }}\cdot {\sqrt {\langle y,y\rangle }}}}\right|\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7ad54e1912f3269fe49a789377810329343f300)
umgeformt werden kann. Daher lässt sich auch im abstrakten Fall mittels
![{\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\langle x,y\rangle }{{\sqrt {\langle x,x\rangle }}\cdot {\sqrt {\langle y,y\rangle }}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e0bafb93d331415562d73de0ea2b92024f14241)
der Winkel
zweier Vektoren definieren.
In einem endlichdimensionalen Vektorraum ist das in der Einleitung definierte Skalarprodukt
![{\displaystyle \langle x,y\rangle :=\sum _{i=1}^{n}{\overline {x_{i}}}y_{i}={\overline {x_{1}}}y_{1}+{\overline {x_{2}}}y_{2}+\dots +{\overline {x_{n}}}y_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d05faf73c63d1f5de98b023cf15fc42c32110db4)
nicht die einzige Funktion, die der abstrakten Definition des inneren Produkts entspricht. So genügt beispielsweise auch die Funktion
![{\displaystyle \langle x,y\rangle :=x^{\,H}Ay}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3b21c3f5ccebf7f40cc91d050b0a8a27c9d7d0a)
für jede positiv definite, hermitesche Matrix
der abstrakten Definition eines inneren Produkts. Umgekehrt, jedes gegebene innere Produkt lässt sich mit Hilfe solch einer Matrix darstellen, dies ist also die allgemeine Form eines inneren Produkts auf dem komplexen Vektorraum
. Lässt sich nun aber zu einem gegebenen inneren Produkt eine Orthonormalbasis finden, also eine Menge von Vektoren
mit
![{\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =\delta _{ij},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2598b27f00de8665d03bd79ec7d8fbc68905ca64)
wobei
![{\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1,&{\text{falls }}i=j\\0,&{\text{sonst}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc1f543761268c1a7c63b4e8c3adf6e7fdb1e5a3)
das Kronecker-Delta darstellt, und kann man
![{\displaystyle x=\sum _{i}x_{i}e_{i}\quad {\text{ sowie }}\quad y=\sum _{j}y_{j}e_{j}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b9724b425e033c52b4dde235390bd50d652c11e)
in dieser Basis darstellen, so erhält man aus den Rechenregeln des inneren Produktes
![{\displaystyle \langle x,y\rangle =\left\langle \sum _{i}x_{i}e_{i},\sum _{j}y_{j}e_{j}\right\rangle =\sum _{i}{\overline {x_{i}}}\sum _{j}y_{j}\langle e_{i},e_{j}\rangle =\sum _{i}{\overline {x_{i}}}y_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3efbb94b7493823df1baef12fa327be7b599961)
also genau die in der Einleitung definierte Berechnung des Skalarprodukts mit Hilfe der Komponenten der beiden Vektoren
und
. Im endlichdimensionalen Fall lässt sich zeigen, dass es stets möglich ist, eine solche Orthonormalbasis zu finden, beispielsweise über die Gram-Schmidt-Orthogonalisierung.
Der Begriff der Orthonormalbasis und die Berechnung des inneren Produkts mit Hilfe der Komponenten der beiden Argumente lassen sich auf unendlichdimensionale Räume verallgemeinern, wobei die Vektoren üblicherweise nur als eine unendliche Summe von Vektoren aus der Orthonormalbasis dargestellt werden können und das innere Produkt daher ebenfalls eine unendliche Summe wird. Die Orthonormalbasis ist also keine Basis im Sinne der linearen Algebra, die eine Darstellung jedes Vektors als endliche Summe von Basisvektoren ermöglicht. Zur besseren Unterscheidung wird daher im unendlichdimensionalen Fall die Basis im Sinne der linearen Algebra als Hamelbasis bezeichnet.
Aus der Darstellung des Skalarprodukts mittels Winkel
![{\displaystyle \langle x,y\rangle =|x||y|\cdot \cos \measuredangle (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83447eb884c7a5eb81b32e6f81641785a5931e4a)
folgt geometrisch, dass das Skalarprodukt invariant gegenüber längen- und winkeltreuen Abbildungen sein muss. Dies lässt sich auch analytisch nachrechnen. Längen- und winkeltreue Abbildungen werden durch unitäre Matrizen
dargestellt, das sind Matrizen mit der Eigenschaft
oder
![{\displaystyle \sum _{k}u_{ik}{\overline {u_{jk}}}=\delta _{ij},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98214466832cc4fd618cba5e78c5e921c3df6aaf)
wobei
das Kronecker-Delta darstellt. Für die
-te Komponente von
und
gilt
![{\displaystyle {\left(Ux\right)}_{i}=\sum _{j}u_{ij}x_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a42747a3798661d321b1efc6a6e4bbd66fb2542)
und
![{\displaystyle {\left(Uy\right)}_{i}=\sum _{k}u_{ik}y_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba0683ea443865ca57c58c9cb4f74e01df3995a7)
Somit berechnet sich das Skalarprodukt als
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle Ux,Uy\rangle &=\sum _{i}\sum _{j}{\overline {u_{ij}x_{j}}}\sum _{k}u_{ik}y_{k}\\&=\sum _{j}{\overline {x_{j}}}\sum _{k}y_{k}\sum _{i}{\overline {u_{ij}}}u_{ik}\\&=\sum _{j}{\overline {x_{j}}}\sum _{k}y_{k}\delta _{jk}\\&=\sum _{j}{\overline {x_{j}}}y_{j}\\&=\langle x,y\rangle ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f07f14a37d721d2abc1e10bec10c063bab654cad)
das Skalarprodukt bleibt also tatsächlich unverändert.
In der Physik sind viele Größen, wie zum Beispiel die Arbeit
, durch Skalarprodukte definiert:
![{\displaystyle W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}=|{\vec {F}}|\cdot |{\vec {s}}|\cdot \cos \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eacb1b3299af2ed81cfbc219ce75924ebad32b16)
mit den vektoriellen Größen Kraft
und Weg
.
- Gerd Fischer: Lineare Algebra. 15. Auflage. Vieweg Verlag, ISBN 3528032170.