Subquotient

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In den mathematischen Teilgebieten der Kategorientheorie und der Abstrakten Algebra versteht man unter einem Subquotienten ein Quotientenobjekt eines Unterobjekts.

In der Sprache der Gruppentheorie ist ein Unterobjekt eine Untergruppe und ein Quotientenobjekt eine Quotientengruppe (auch Faktorgruppe genannt): Damit ist ein Subquotient einer Gruppe das Bild einer Untergruppe von unter einem Gruppenhomomorphismus.

Der Begriff Subquotient findet Anwendung u. a. bei der Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen, insbesondere bei den sporadischen Gruppen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gruppentheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Gruppe, eine Untergruppe von und ein Normalteiler von , in Zeichen

dann nennt man die Faktorgruppe (Quotientengruppe) einen Subquotienten von .

In der Literatur über sporadische Gruppen finden sich Formulierungen wie

  1. involviert [1]
  2. is involved in [2]

für denselben Sachverhalt.

Modultheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Ring mit Einselement. Bei den -Moduln gibt es -Untermoduln und -Quotientenmoduln (Faktormoduln). Ganz analog wie bei den Gruppen sind die -Subquotienten definiert.

Die Begriffsbildung gilt auch bei nicht-kommutativem Ring und links/rechts-seitigen Moduln über diesem Ring.

Eigenschaften und Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Unter den obigen Bezeichnungen ergeben sich die unmittelbaren Folgerungen:
  1. Ein Unterobjekt von wie auch ein (homomorphes) Bild von ist ein Subquotient von
  2. Ist , dann ist
  3. Ist und , dann ist

Endliche Objekte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Haben alle Objekte endliche Kardinalitäten, dann gibt es Formeln, die diese mit Indices in Beziehung bringen, siehe zum Beispiel den Satz von Lagrange. Wegen gilt mit obigen Bezeichnungen

und ist insbesondere ein Teiler von sowie

Halbordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für endliche Objekte ist die Relation »ist Subquotient von« eine Ordnungsrelation, und zwar eine Halbordnung.

Reflexivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

ist Subquotient von .

Transitivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Subquotienten von Subquotienten sind Subquotienten.

Beweis für Gruppen

Sei Subquotient von und der kanonische Homomorphismus. Ist nun , also Subquotient von , dann ist zunächst

mit jeweils surjektiv.

Nun sind die Urbilder und Untergruppen von , die enthalten. Ferner ist und , da alle ein Urbild in haben. Überdies ist ein Normalteiler von . Damit ist der Subquotient von als ein Subquotient von .[3]

Antisymmetrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind zwei Objekte Subquotienten voneinander, so sind sie isomorph.

Beweis

Die Wechselbeziehung zwischen und lässt sich wegen , also , nur aufrechterhalten mit und , woraus folgt.

Diskrete Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ordnungsrelation »ist Subquotient von« ist bei endlichen Gruppen eine diskrete Ordnung, d. h. die von ihr erzeugte Ordnungstopologie ist eine diskrete Topologie. In Formeln und mit und als Relationszeichen:

Ist dann gibt es ein mit derart, dass

Ein solches nennt man einen maximalen echten Subquotienten von . Der Begriff wird bspw. bei der Anordnung der sporadischen Gruppen im Hasse-Diagramm benötigt.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Dieter Held: Die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen (PDF, 131 kB) S. 19 (Memento des Originals vom 26. Juni 2013 im Internet Archive) i Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.mathematik.uni-mainz.de
  2. Robert Griess: The Friendly Giant. In: Inventiones Mathematicae. Band 69, 1982, S. 91, doi:10.1007/BF01389186 (Online bei digizeitschriften.de).
  3. Die Noether'schen Isomorphie-Sätze