Ikosaederstumpf

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Polyeder
Ikosaederstumpf
3D-Ansicht eines abgestumpften Ikosaeders (Animation)
3D-Ansicht eines abgestumpften Ikosaeders (Animation)
Anzahl der Seitenflächen 32
Art der Seitenflächen 12 × Polig 05.svg
20 × Polig 06.svg
Anzahl Ecken 60
Art der Ecken 60 × {5.6.6}
Anzahl Kanten 90
Schläfli-Symbol
dual zu Pentakisdodekaeder
Körpernetz eines Ikosaederstumpfs
Körpernetz eines Ikosaederstumpfs
Fußball: Projektion der Flächen eines Ikosaederstumpfes auf die Kugeloberfläche

Der Ikosaederstumpf (auch Fußballkörper genannt) ist ein Polyeder (Vielflächner), das durch Abstumpfung der Ecken eines Ikosaeders entsteht und zu den dreizehn archimedischen Körpern zählt. Anstatt der zwölf Ecken des Ikosaeders befinden sich nun dort zwölf regelmäßige Fünfecke; die 20 Dreiecke des Ikosaeders werden zu regelmäßigen Sechsecken. Das Polyeder setzt sich somit aus insgesamt 32 Flächen zusammen und hat 60 Ecken sowie 90 Kanten.

Beim regelmäßigen Ikosaederstumpf, also dem Fußballkörper, sind alle 90 Kanten gleich lang.

Der zum Ikosaederstumpf duale Körper ist das Pentakisdodekaeder.

Das mit Abstand am besten untersuchte Fullerenmolekül C60 besitzt die Struktur eines Ikosaederstumpfes.

Formeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Größen eines regelmäßigen Ikosaederstumpfs mit Kantenlänge
Volumen
Oberflächeninhalt
Umkugelradius
1. Inkugelradius
 (Pentagon)
2. Inkugelradius
 (Hexagon)
Kantenkugelradius
1. Flächenwinkel
 (Hexagon–Hexagon)
 ≈ 138° 11′ 23″
2. Flächenwinkel
 (Hexagon–Pentagon)
 ≈ 142° 37′ 21″
Eckenraumwinkel
 ≈ 1,3524 π
Sphärizität
 ≈ 0,96662

Herleitung der Formeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

lila: Sechseck, rot: Fünfeck
Zur Berechnung von Eigenschaften, oben Ikosaeder, lila: Sechseck, rot: Fünfeck

Der Ikosaederstumpf entsteht durch Abschneiden der Ecken eines regulären Ikosaeders so, dass die Kanten des Ikosaeders beidseitig um 1/3 gekürzt werden. Das mittlere Drittel wird zur Kante des Ikosaederstumpfes. Bezeichnet die Länge der Kante des Ikosaeders und die Kantenlänge des Ikosaederstumpfes, so gilt

Winkel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Berechnung der Winkel zwischen zwei benachbarten Sechsecken bzw. einem Sechseck und einem Fünfeck sind die in dem Bild eingezeichneten Winkel wichtig. Die Winkel zwischen zwei Sechsecken sind mit denen von benachbarten Dreiecken des Ikosaeders identisch, da beim Abstumpfen, aus den Dreiecken Sechsecken werden. Aus der Zeichnung erkennt man, dass (wie beim Ikosaeder)

und damit gilt: Der

  • Winkel zwischen zwei Sechsecken ist

Für den Winkel zwischen einem Fünfeck und einem Sechseck ist zusätzlich der Winkel wichtig. Es gilt (siehe Bild)

Der

  • Winkel zwischen einem Fünfeck und einem Sechseck ist
(siehe Formelsammlung)

Für den Raumwinkel folgt aus der Ebenen-Formel

  • Der Raumwinkel in einem Punkt des Ikosaederstumpfes ist also

Kugelradien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Kantenkugelradius ist der gleiche wie bei dem Ikosaeder. Unter Beachtung von erhält man

  • .

Für den Umkugelradius ergibt sich aus der Zeichnung

Also ist der

  • Umkugelradius

Der Inkugelradius der Kugel, die die Sechsecke berührt, ist identisch mit dem Radius der Inkugel des Ikosaeders:

Mit ergibt sich für den

  • Inkugelradius

Der Radius der Inkugel, die die Fünfecke berührt, ist gleich dem Abstand der Gerade in der y-z-Ebene durch den Fünfeckpunkt mit der Steigung vom Nullpunkt (siehe Bild). Die Gleichung dieser Gerade ist

Mit ergibt sich

Mit der Hessesche Normalform folgt für das Quadrat des Abstandes vom Nullpunkt

Also ist der

  • Inkugelradius für Fünfecke .

Oberfläche, Volumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Oberfläche des Ikosaederstumpfes ist gleich 20-mal der Fläche eines regelmäßigen Sechsecks plus 12-mal der Fläche eines regelmäßigen Fünfecks. Mit

ist die

  • Oberfläche des Ikosaederstumpfs

Ein Ikosaederstumpf als Körper kann man sich aus 12 Pyramiden mit einem der Fünfecke als Grundfläche und als Höhe plus 20 Pyramiden mit einem Sechseck als Grundfläche und als Höhe zusammengesetzt denken. Das Volumen des Ikosaederstumpfes ist also gleich

Mit ist

und damit

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Commons: Ikosaederstumpf – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Ikosaederstumpf – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen