Intervall (Musik)

Als Intervall (von lat. intervallum = „Zwischenraum“, eigentlich „Raum zwischen Schanzpfählen“ zu lat. vallus = „Schanzpfahl“) bezeichnet man in der Musik den hörbaren Abstand der Tonhöhen zwischen zwei gleichzeitig oder nacheinander erklingenden Tönen innerhalb eines Tonsystems.

Wichtige Intervalle stammen aus der Obertonreihe, deren erste fünf Teiltöne in ihrer Reihenfolge der Prime, Oktave, Quinte, Quarte und großen Terz entsprechen. Die Oktave wird in historisch entstandenen Tonsystemen in Tonleitern eingeteilt, deren Tonstufen im Verhältnis zum Grundton diatonische Intervalle ergeben. Diese werden nach der Ordinalzahl ihrer Tonstufe bezeichnet.

In europäischer tonaler Musik ist das kleinste Intervall in der Regel ein Halbton-Abstand: die kleine Sekunde. Alle übrigen Intervalle können als Vielfache davon aufgefasst werden. Intervalle werden heute in Cent gemessen; ein Halbton entspricht 100 Cent.

Antikes Griechenland

Pythagoras definierte die für Tonalität zentralen Intervalle als Proportionen von Saitenlängen eines über einen Steg gespannten Monochords:

• Oktave: 1:2 (halbe Gesamtlänge)
• Quinte: 2:3
• Quarte: 3:4
• Ganzton: 8:9 (Differenz zwischen Quarte und Quinte)

Er berücksichtigte den „kleinen“ Ganzton - 9:10 - noch nicht und kannte deshalb keine große Terz, sondern ein aus zwei großen Ganztönen bestehendes, um das syntonische Komma (81:80) größeres Intervall: den Ditonus (81:64). Zog man den Ditonus von einer reinen Quarte ab, so blieb das Leimma übrig (256:243). Mit diesen Intervallen ließ sich kein stabiler harmonischer Dreiklang bilden, so dass die antike griechische Musik noch keine Harmonik im späteren europäischen Sinn ausbildete. Erst Archytas und Didymos bestimmten die große Terz (4:5), Eratosthenes die kleine Terz (5:6).

Die Pythagoreer ließen nur als ganzzahlige Verhältnisse errechenbare Intervalle gelten. Sie fanden keinen Quotienten, dessen Verdoppelung 8:9 ergibt, so dass sie den Ganzton nicht in zwei gleiche Halbtöne, sondern nur in einen kleineren (diesis) und einen größeren (apotome) Halbton teilen konnten. Auch war eine Oktave für sie mathematisch nicht exakt mit der Summe von sechs Ganzton- oder zwölf Halbtonschritten identisch: Denn zwölf aneinander gereihte reine Quinten ergab einen etwas höheren Zielton als die siebte Oktave des Ausgangstons. Die Differenz bezeichnet man als das pythagoreische Komma.

Philolaos rechnete addierte musikalische Intervalle in multiplizierte akustische Proportionen um. Diese Methode wurde nach 1585 von Simon Stevin durch eine Exponentialfunktion und um 1640 von Bonaventura Francesco Cavalieri und Juan Caramuel y Lobkowitz durch die logarithmische Umkehrfunktion optimiert. Euklid fasste Intervallproportionen hypothetisch bereits als Frequenzverhältnisse auf, ohne sie schon messen zu können.

Im Gegensatz zu den Phytagoreern definierte Aristoxenos Intervalle nicht mathematisch, sondern akustisch als hörbaren „Zwischenraum“ (diastema) zwischen zwei Tönen einer kontinuierlichen Melodie, wie es griechischer Musikpraxis entsprach. Demgemäß ordnete er jedem Intervall eine bestimmte Anzahl festgelegter Tonhöhen (Töne) zu, die es umfasst. So enthielt die Quarte vier aufeinander folgende Töne, ein sogenanntes Tetrachord. Dessen Außentöne wurden später ebenfalls kurz als Intervall bezeichnet, so dass der Begriff fortan den Abstand vom ersten zum letzten Ton einer solchen Tonfolge meinte.

Den Ganzton teilte Aristoxenos praktisch in zwei, drei oder vier gleiche Teilintervalle ein. Die verschiedene Kombination von Halb- und Ganztönen innerhalb eines Tetrachords ergab dessen genus (Tongeschlecht: diatonisch, chromatisch oder enharmonisch). Zwei im Abstand eines Ganztons aufeinander folgende Tetrachorde ergaben verschiedene Tonleitern (Modi) im Rahmen einer Oktave.

Europäische Tonalität

Intervalle als Tonleiterstufen

In der Geschichte Europas entstanden verschiedene Tonsysteme, von denen sich bis etwa 1700 in Mitteleuropa das Dur-Moll-tonale System durchsetzte. Dieses basiert auf Tonleitern mit sieben Tonstufen, die fünf Ganzton- und zwei Halbtonschritte enthalten. Aus den lateinischen Ordinalzahlen dieser Tonstufen (prima „die Erste“, secunda „die Zweite“, tertia „die Dritte“ usw.) ergaben sich die bekannten diatonischen Intervallnamen: Prime, Sekunde, Terz, Quarte, Quinte, Sexte, Septime, Oktave.

Die Prime bezeichnet eigentlich kein Intervall, sondern die erste Tonstufe, davon abgeleitet die Wiederholung eines Tons oder den Gleichklang (unisono) dazu. Erst ab der Sekunde bezeichnet die Tonstufe zugleich deren Abstand zum Anfangs- und Grundton, oder auch einen gleichartigen Abstand zwischen zwei anderen Tönen dieser Leiter. Wegen der historischen Inklusivzählung lassen sich die Intervallnamen nicht addieren: Sekunde plus Sekunde ergibt beispielsweise eine Terz, keine Quarte.

Intervallgruppen

Intervalle im Oktavraum werden in Gruppen von „reinen“, „kleinen“ und „großen“ Intervallen eingeteilt. Zu den reinen Intervallen zählen Primen, Quinten, Quarten und Oktaven. Bei Sekunden, Terzen, Sexten und Septimen unterscheidet man kleine und große Intervalle. Wenn Töne notiert und dann alteriert (versetzt) werden, unterscheidet man zudem übermäßige und verminderte Intervalle.

Alle reinen, kleinen und großen Intervalle können durch Versetzungszeichen in übermäßige oder verminderte verwandelt werden. Dabei wird ein Halbton zum jeweiligen Tonabstand addiert (übermäßig) oder subtrahiert (vermindert). Der Abstand zwischen vierter und siebter Tonstufe einer Durtonleiter entspricht in der Notation einer übermäßigen Quarte, der zwischen zweiter und sechster Tonstufe einer Molltonleiter einer verminderten Quinte. Akustisch klingen als übermäßige Quarten oder verminderte Quinten notierte Intervalle gleich und werden beide Tritonus genannt.

Komplementärintervalle

Als Komplementärintervalle oder Umkehrintervalle bezeichnet man je zwei Intervalle im Oktavraum, die einander zu einer Oktave ergänzen. Dazu wird entweder der obere Ton des ersten Intervalls um eine Oktave nach unten oder der untere um eine Oktave nach oben versetzt. Jeweils komplementär sind:

• Primen und Oktaven,
• Sekunden und Septimen.
• Terzen und Sexten,
• Quarten und Quinten.

Dabei bleiben reine Intervalle rein, große werden mit kleinen, verminderte mit übermäßigen Intervallen ergänzt und umgekehrt. Intervalle, die über die Oktave hinausgehen, werden nicht gesondert ergänzt, sondern als Addition zu einer Oktave aufgefasst: Eine Dezime entspricht also einer Oktave plus einer Terz; zu ihr ist dann ebenfalls eine Sexte komplementär.

Konsonanzen und Dissonanzen

Als Konsonanz („Zusammenklang“) bezeichnet man alle Intervalle, deren Töne tonal geprägte Hörer als miteinander verschmelzend, zueinander gut passend, harmonisch entspannt, ruhig und stabil klingend empfinden. Als Dissonanz („Auseinanderklang“) bezeichnet man Intervalle, deren Töne eine starke Reibung gegeneinander und darum den Hörwunsch nach einer „Auflösung“ in eine Konsonanz erzeugen.

Welche Intervalle als konsonant oder dissonant empfunden werden, hat sich mit kulturellen Hörgewohnheiten und musiktheoretischen Festlegungen historisch verändert. In der Antike galten nur die Oktave, Quinte und Quarte als konsonant. Seit etwa 1500 werden in tonaler europäischer Musik auch Terzen und Sexten als Konsonanzen betrachtet. Als Dissonanzen gelten alle Sekunden und Septimen sowie alle übermäßigen oder verminderten Primen, Quarten, Quinten und Oktaven. Auch reine Quarten, deren Hauptton unten liegt, werden oft zu den Dissonanzen gezählt.

Dissonante Intervalle wurden kompositorisch seit dem Barock immer öfter nicht nur melodisch für Schlusswendungen, sondern auch harmonisch als Teil von Kadenzklängen gebraucht. Die kleine Septime etwa wurde Dominantklängen als spannungsreicher zusätzlicher Leitton mit Strebetendenz abwärts hinzugefügt und machte aus ihnen einen Dominantseptakkord. Zur Unterscheidung vom nach oben strebenden Leitton nennt man diesen Ton manchmal auch „Gleitton“.

Der Gebrauch von Dissonanzen für erhöhte harmonische Spannung verstärkte sich in der Romantik und Spätromantik, bis nahezu jeder tonleitereigene oder tonleiterfremde Ton als nach oben oder unten auflösbarer Leitton verwendet werden konnte, so dass sich die Tonalität aufzulösen begann.

Stimmungen

Diatonische Intervalle im Oktavraum haben ganzzahlige Proportionen und entsprechende Schwingungsverhältnisse. Sie haben daher einen charakteristischen Klang, so dass man sie trotz leichter Verstimmungen erkennen und unterscheiden kann. Deshalb erscheinen sie unter demselben Namen in verschiedenen Stimmungen.

In der reinen Stimmung sind alle Intervalle vom Grundton einer Dur-Tonleiter aus exakt gestimmt und erklingen darauf bezogen optimal. Die Dreiklänge der Tonika, der Dominante und der Subdominante sind rein. Die Quinten in diesen Akkorden sind rein. Jedoch ist die Quinte zwischen zweiter und sechster Tonstufe „unrein“ bzw. leicht um das sogenannte "syntonische Komma" verstimmt. Es entsteht auch eine Tonhöhendifferenz - das sogenannte pythagoräische Komma - zwischen der siebten reingestimmten Oktave und der zwölften reinen Quinte, obwohl der notierte Zielton derselbe ist. Andere [[Tonsup>2Hochzeit machen…“]]
„Macht hoch die Tür…“ | „Häns-chen klein…“
„Kuk-kuck, Kuk-kuck, ruft’s aus dem Wald…“ |- | große Terz | „Al-le Vögel sind schon da…“
„Und in dem Schnee-ge-bir-ge…“
„Mor-ning has bro-ken…“ (Morning has broken, Cat Stevens) | „Nun ruh-en alle Wälder…“ (Dur)
Leitmotiv der 5. Sinfonie von Beethoven (Schicksalssinfonie): G-G-G-Es (indifferent, s. Eingleitung)
„Straw -ber-ry Fie -lds for-ever…“ (Dur) Strawberry Fields Forever (The Beatles/John Lennon)
„Ce-ci -lia you're brea-king my heart…“ (Dur) (Anfang von Cecilia Simon & Garfunkel) |- | Quarte | „O Tannenbaum,…“
| „Mor-gen, Kinder, wird’s was geben…“
Kleine Nachtmusik von W.A.Mozart, G-D-G-D-G-D-G-H-D |- | Tritonus | „Ma-ri-a…“ (Maria aus West Side Story))
„The Simp-sons…“ (Anfang der Titelmelodie der Simpsons)
| In Kommt ein Vogel geflogen: „…von der Lie-bsten einen Gruß…“
„…Im Märzen der Bauer die-Röß-lein ein-spannt…“
|- | Quinte | „Wach auf, meins Herzens Schöne…“
„Morgen kommt der Weihnachtsmann…“ | „Ick heff mol in Ham-borg en Veermaster seen…“ (Shanty)
„Nun sich der Tag geendet hat…“ (nach Adam Krieger) |- | kleine Sexte | „When Israel was in Egypt’s land…“, Go down Moses | „…gar fest um die Hand.“ (2. Schluss von Zum Tanze da geht ein Mädel) |- | große Sexte | „Dies Bildnis ist bezaubernd schön…“
„Ich weiß, es wird einmal ein Wunder geschehn…“
„Ma co -me bali bella bim-ba…“ (ital. Volkslied)
„My Bonnie is over the ocean…“
„And Now the End is near…“, My Way | „Nobody knows the trouble I’ve seen,…“
„Win-de weh’n, Schif-fe geh’n…“ |- | kleine Septime | „There’s a place for us…“ (Somewhere aus West Side Story)
„Wir setzen uns mit Tränen nieder und ru-fen Dir…“ (wiederholt im Schlusschor der Matthäuspassion, J.S.Bach)
„Sing, sing, was geschah?…“ (Anfang des Refrain von Zogen einst fünf wilde Schwäne) | „…und der He-erbst be-ginnt.“ aus Bunt sind schon die Wälder |- | große Septime | O terra, addio, Schlussduett aus Aida | Die Hütte auf Hühnerfüßen aus Bilder einer Ausstellung von Mussorgski |- | Oktave | „Some-where over the rainbow…“ (Wizard of Oz) „I’m singing in the rain…“
„…gar fest um die Hand.“ (1. Schluss von Zum Tanze da geht ein Mädel) | Mainzer Narrhallamarsch
„... der ihn nicht las -sen kann.“ Schluss vom C-a-f-f-e-e-Kanon (Karl Gottlieb Hering) |}

Mathematische Definitionen

Das Intervall im Sinn einer mathematischen Größe wird zwischen zwei beliebigen Tönen gebildet, unabhängig davon, ob die Töne gleichzeitig oder direkt nacheinander erklingen oder nicht.

Die historische Tonsystemtheorie bevorzugt positive Intervalle als Tonabstände. Negative Intervalle bei Tondifferenzen spielen beim Transponieren eine Rolle und wurden in der Kanontechnik des Mittelalter schon gebraucht, ebenso die Prime (unisonus) als Intervall zwischen gleichhohen Tönen.

siehe: Intervall (Mathematik)

Tonstruktur

Eine Tonstruktur ist eine Menge, deren Elemente die Töne sind. Jedem Tonpaar $(x,y)$ wird ein eindeutiges Intervall $\Delta$ von $x$ zu $y$ zuordnet, das als Tondifferenz $\Delta =x-y$ geschrieben wird; für sie gilt die Regel $(x-z)+(z-y)=x-y$. Die Tondifferenz kann negativ sein.

Für ein positives Intervall $\Delta$ gilt $-\Delta$ als Unterintervall, zum Beispiel: $\mathrm {Unteroktave} :=-\mathrm {Oktave}$.

Diese Metrikregel ist eine Verallgemeinerung der geometrischen Intervallzusammensetzung bei Philolaos. Er arbeitete wie die meisten historischen Musiktheoretiker nur mit positiven Tonabständen: Der Tonabstand $\left|\Delta \right|=\left|x-y\right|$ bezeichnet den Betrag der Tondifferenz $\Delta =x-y$. Er ist nie negativ, möglicherweise aber das Nullintervall, das als Prime bezeichnet wird.

Mit Intervallen im Sinn von Tondifferenzen hängen die Tonhöhenrelation höher, tiefer, gleichhoch zusammen, ferner auch Schritte in Tonfolgen und Tonleitern. So lassen sich folgende Tonhöhenrelationen definieren:

• "x ist höher als y" bedeutet soviel wie $x-y>0$
• "x ist tiefer als y" bedeutet soviel wie $x-y<0$
• "x und y sind gleichhoch" bedeutet soviel wie $x-y=0$

Als Tonfolgen gelten emath> oder der Saitenlänge $L_{P}$:

$\mathrm {Frequenz} (x):=\mathrm {Proportion} (x_{P}-x)\cdot f_{P}$

$\mathrm {L{\ddot {a}}nge} (x):=\mathrm {Proportion} (x-x_{P})\cdot L_{P}$

Aus diesen Definitionen ergeben sich wiederum Intervallproportionen als Längenverhältnisse oder reziproke Frequenzverhältnisse:

$\mathrm {Proportion} (x-y)=\mathrm {Frequenz} (y):\mathrm {Frequenz} (x)=\mathrm {L{\ddot {a}}nge} (x):\mathrm {L{\ddot {a}}nge} (y)$

Siehe auch

• Allintervallreihe
• Mikrointervall

Literatur

• Sigalia Dostrovsky und John T. Cannon: Entstehung der musikalischen Akustik [1600-1750). In: Frieder Zaminer (Hrsg.): Geschichte der Musiktheorie. Bd. 6. Darmstadt 1987 S. 7-79, ISBN 3-534-01206-2
• Mark Lindley: Stimmung und Temperatur. In: Frieder Zaminer (Hrsg.): Geschichte der Musiktheorie. Bd. 6. Darmstadt 1987 S. 109-332, ISBN 3-534-01206-2
• Wilfried Neumaier: Was ist ein Tonsystem?. Frankfurt am Main, Bern, New York 1986, ISBN 3-8204-9492-8
• Frank Haunschild: Die neue Harmonielehre Band 1, AMA-Verlag, Brühl 1998, ISBN 978-3-927190-00-9, 3. Kapitel „Intervalle“ (S. 32-42)
• Bernd Alois Zimmermann: Intervall und Zeit: Aufsätze und Schriften zum Werk. Edition Schott, Mainz 1974, ISBN 3-7957-2952-1

Weblinks

• Liste von Frequenzverhältnissen und ihren deutschen Intervallnamen
• GNU Solfege, freie Gehörtrainingssoftware
• Intervalltrainer online
• Weiterer Intervalltrainer
• Lissajous Kurven: Simulation zur graphischen Darstellung von musikalischen Intervallen, Schwebungen, schwingender Saiten
• Töne und Intervalle