Adiabatische Zustandsänderung

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Dieser Artikel behandelt den thermodynamischen Begriff. Für die Verwendung in der Quantenmechanik siehe Adiabatisches Theorem der Quantenmechanik.

Eine adiabatische oder adiabate[1][2] Zustandsänderung (gr. α a „nicht“ und διαβαίνειν diabaínein „hindurchgehen“) ist ein thermodynamischer Vorgang, bei dem ein System von einem Zustand in einen anderen überführt wird, ohne Wärme mit seiner Umgebung auszutauschen. Adiabat wird synonym zu wärmedicht verwendet[3].

Bedeutung[Bearbeiten]

Bei einer adiabatischen Zustandsänderung eines thermodynamischen Systems findet kein Wärmeaustausch Q mit der Umgebung statt (Q = 0). Eine Arbeit W, die am System verrichtet wird, ohne seine äußeren Parameter wie potentielle oder kinetische Energie zu verändern, bewirkt nach dem Ersten Hauptsatz ausschließlich eine Änderung der inneren Energie U:

\Delta U =  W

Wird hingegen Arbeit vom System verrichtet, dann wird diese Energiemenge der inneren Energie des Systems entzogen und ist daher negativ zu werten. Da sich Wärmeübergang praktisch wie theoretisch nie vollständig verhindern lässt, ist der adiabatische Prozess eine mehr oder weniger gut realisierte Idealisierung. Er macht aber viele Berechnungen und theoretische Überlegungen einfacher oder ermöglicht sie überhaupt erst.

Adiabatische Zustandsänderungen sind entweder irreversibel oder reversibel. Im ersten Fall wird im System während des Vorgangs Entropie erzeugt, im letzten Fall nicht. Da keine Wärmeenergie mit der Umgebung ausgetauscht wird, kann auch keine Entropie zu- oder abfließen. Bei der reversiblen adiabatischen Zustandsänderung bleibt die Entropie des Systems daher gleich, es handelt sich dann auch um eine isentrope Zustandsänderung (Beispiele s. u.). Bei einer irreversiblen adiabatischen Zustandsänderung wächst die Entropie des Systems, dieser Prozess läuft spontan ab. Beispiele sind der Ausgleich von unterschiedlichen Temperaturen, Drücken oder Konzentrationen in verschiedenen Teilen eines zusammengesetzten Systems, chemische Reaktionen bis zum Erreichen des Gleichgewichts, Abbremsung einer Bewegung durch Reibung, allgemein der Abbau von Ungleichgewichten (Relaxation). Wird aber die erzeugte Entropie durch Wärmeübergang nach außen abgegeben, bleibt die Entropie des Systems konstant. Es handelt sich dann um eine isentrope Zustandsänderung, die zugleich irreversibel und nicht-adiabatisch ist.

Reversible adiabatische Zustandsänderungen spielen eine wichtige Rolle bei der axiomatischen Begründung der Thermodynamik nach Carathéodory. Grundlage ist das Axiom „Es gibt in der Nähe jedes reversibel erreichbaren Zustandes Zustände, welche nicht adiabatisch-reversibel, also nur irreversibel oder überhaupt nicht erreichbar sind“[4]. Daraus kann die Existenz einer neuen Zustandsgröße bewiesen werden, die die Entropie ist. Zustände, zwischen denen nur irreversible Übergänge möglich sind, unterscheiden sich nämlich in ihrer Entropie, so dass kein adiabatisch-reversibler (also isentroper) Übergang zwischen ihnen existieren kann.

Näherungsweise Realisierung[Bearbeiten]

Vorgänge in einer Thermoskanne laufen näherungsweise adiabatisch ab.

Eine ideale adiabatische Zustandsänderung setzt voraus, dass das System, in dem die Zustandsänderung stattfindet, perfekt gegen Wärmeströme jeglicher Form isoliert ist. Es wären also Wärmeleitung, konvektive Wärmeübertragung und Strahlungsaustausch vollständig zu unterbinden. Das System darf von einem Wärmestrom durchflossen werden, sofern keine Wärme daraus im System verbleibt; der Wärmestrom kann dann als nicht zum System gehörig betrachtet werden (Beispiele: ein völlig transparentes von der Sonne beschienenes System).

In der Realität ist eine vollständige Wärmeisolation nicht erreichbar, aber reale Vorgänge können in guter Näherung adiabatisch ablaufen, wenn

  • sie in einem gut isolierten Behälter stattfinden (z. B. chemische Reaktionen in einem adiabatischen Kalorimeter),
  • die Zustandsänderung so schnell verläuft, dass in der kurzen Zeit wenig Wärme zu- oder abfließen kann (z. B. in einem Verbrennungsmotor, bei einer Luftpumpe oder bei der Schallausbreitung) oder
  • das Volumen des Systems sehr groß ist, so dass Wärmeströme an seinem Rand praktisch keine Rolle spielen (z. B. bei thermisch aufsteigenden Luftpaketen).

In der Realität handelt es sich praktisch immer um zumindest partiell diabatische Prozesse, so dass man nur noch näherungsweise von einer adiabatischen Zustandsänderung ausgehen kann.

Beispiele[Bearbeiten]

Nebelbildung im Unterdruckbereich der Tragflächen eines Flugzeuges
  • Die Kompression der Luft in einer Luftpumpe ist näherungsweise eine adiabate Zustandsänderung. Wenn aber der Pumpvorgang (Kompression) häufig genug durchgeführt wird, ist eine deutliche Temperaturerhöhung an der Pumpe fühlbar, was zeigt, dass dieser Vorgang nur näherungsweise adiabat ist. Die Arbeit, die an der Pumpe verrichtet wird, erhöht direkt die innere Energie und damit die Temperatur des Luftgemisches (umgangssprachlich abweichend vom thermodynamischen Begriff der Wärme: Kompressionswärme oder Verdichtungswärme genannt). Bei längerem Abwarten wird spürbar, dass Wärmeenergie an die Pumpe abgegeben bzw. von ihr aufgenommen wird. Erst nach Vollendung des Prozesses merkt man eine Erwärmung der Fahrradpumpe und damit einen Fluss der Wärmeenergie. Ein pneumatisches Feuerzeug nutzt dieses Verfahren. Auch die extrem schnelle primäre Erhitzung der Luft beim Wiedereintritt von Raumflugkörpern ist auf Grund der extrem hohen Verdichtungsgeschwindigkeiten ein näherungsweise adiabatischer Prozess. Allerdings verteilt sich die Wärme im Anschluss danach sehr schnell durch Leitungs-, Strömungs- und Strahlungsprozesse.
  • Umgekehrt zur Kompression verursacht ein adiabatischer Druckabfall eine Abkühlung der Luft. Dies geschieht zum Beispiel innerhalb eines aufsteigenden Luftstromes (bei thermischem Auftrieb oder beim Überströmen eines Gebirges) oder auch auf der Oberseite von Flugzeugtragflächen. Beim Abkühlen verringert sich die Sättigungskonzentration für Wasserdampf. Unterschreitet diese den tatsächlichen Wassergehalt, kondensiert der darüber liegende Wasseranteil zu kleinen Wassertröpfchen (Bildung von Wolken oder Nebel).

Arbeit bei einer reversiblen adiabatischen (isentropen) Zustandsänderung eines idealen Gases[Bearbeiten]

Im Falle eines idealen Gases gilt für die innere Energie:


U = N {f \over 2} k_\text{B} T

Wegen  f = {2 \over \kappa - 1} folgt:


\ U = {N \over \kappa - 1} k_\text{B} T = {{N \over N_\text{A}} \over \kappa - 1} N_\text{A} k_\text{B} T = {n R \over \kappa - 1} T
.

Hierbei bezeichnen

N die Anzahl der Gasteilchen,
N_\mathrm A die Avogadro-Konstante,
n die Stoffmenge (in Mol),
f die Anzahl der nicht eingefrorenen Freiheitsgrade,
k_\text{B} die Boltzmann-Konstante,
R die allgemeine Gaskonstante.
T die absolute Temperatur und
\kappa den Isentropenexponenten.

Damit gilt wegen  W = \Delta U für die bei einer reversiblen adiabatischen (isentropen) Zustandsänderung geleistete Arbeit (Volumenarbeit):


W = {n R \over \kappa - 1} \Delta T = {- n R \over \kappa - 1} \left(T_1 - T_2\right)
   = {- p_1 V_1 \over \kappa - 1} \left(1 - {T_2 \over T_1}\right)

 = {- p_1 V_1 \over \kappa - 1} \left[ 1 - \left({V_1 \over V_2}\right)^{\kappa - 1} \right]
 = - n C_{\mathrm{m},V} \left(T_1 - T_2\right)
.

Hierbei bezeichnen T_{1}, V_{1} die Anfangstemperaturen bzw. -volumina und T_{2}, V_{2} die Endtemperaturen bzw. -volumina und C_{\mathrm{m},V} die molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen.

Daraus ergibt sich auch, dass die Arbeit des Prozesses mit höherer Temperaturdifferenz T_1 - T_2 größer wird. Dies hat unter anderem den Temperaturgradienten der unteren Erdatmosphäre zur Folge.

Aus der Zustandsgleichung eines idealen Gases folgen diese Zusammenhänge:


p_1 V_1^{\kappa} = p_2 V_2^{\kappa}

{T_1 \over T_2} = \left({V_2 \over V_1} \right)^{\kappa - 1}

{T_1 \over T_2} = \left({p_1 \over p_2} \right)^{ \kappa -1 \over \kappa}

Diese Gleichungen lassen sich so umformen, dass gilt:


p V^{\kappa} = \mathrm{const}_1\,

T V^{\kappa - 1} = \mathrm{const}_2\,

 T^{\kappa} p^{1 - \kappa} = \mathrm{const}_3\,

Sie werden auch Poissonsche Gleichungen genannt. Die Gleichungen können in dieser Form allerdings nur für dimensionslose Größen verwendet werden, z. B., wenn sie auf die Größen im Normzustand bezogen sind.

Da auch die Masse des Gasvolumens konstant bleibt, ist auch die Umformung auf die Änderung der Dichte einfach berechenbar:


{\rho}_1 = {\rho}_2 \left( \frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}}

Isentropengleichung[Bearbeiten]

Vergleich von Adiabate und Isotherme für ein ideales Gas

Die allgemeine Isentropengleichung für dimensionslose Größen (s. o.) lautet:

p\cdot V^\kappa = \text{const}.\,,

wobei \kappa = \tfrac{C_p}{C_V} = \tfrac{f+2}{f} gilt. Dabei ist \tfrac{C_p}{C_V} das Verhältnis der isobaren und der isochoren Wärmekapazität und f bezeichnet die Zahl der Freiheitsgrade des Gases. Für ein ideales einatomiges Gas ergibt sich mit f = 3 und aus C_p = \tfrac{5}{2} Nk und C_V = \tfrac{3}{2} Nk für den Isentropenindex \kappa = \tfrac{5}{3}.

Im p-v-Diagramm (Beachte: spezifisches Volumen v, nicht Volumen V) wird eine Kurve, die die Bedingung  p\,V^\kappa=\mathrm{const.} erfüllt, Adiabate genannt.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Schreibweise wie in Abschnitt 4.4 von Bošnjaković/Knoche „Technische Thermodynamik Teil 1“, 8. Auflage, Steinkopff-Verlag Darmstadt 1998.
  2. Schreibweise wie in Abschnitt 3.3.4, Cornel Stan „Thermodynamik des Kraftfahrzeugs“, 2. Auflage, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-27629-3.
  3. Siehe Abschnitt 2.1 "Wärmeübergang" in Bošnjaković/Knoche „Technische Thermodynamik Teil 1“, 8. Auflage, Steinkopff-Verlag Darmstadt 1998
  4. A. Sommerfeld: Vorlesungen über Theoretische Physik, Bd. V: Thermodynamik und Statistik. Nachdruck Harri Deutsch, Thun 1988, S. 31.

Weblinks[Bearbeiten]