Kegel (Geometrie)

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
(Weitergeleitet von Konisch)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Gerader Kreiskegel (links) und schiefer Kreiskegel

Ein Kegel oder Konus ist ein geometrischer Körper, der entsteht, wenn man alle Punkte eines in einer Ebene liegenden, begrenzten und zusammenhängenden Flächenstücks geradlinig mit einem Punkt (Spitze bzw. Apex) außerhalb der Ebene verbindet. Ist das Flächenstück eine Kreisscheibe, wird der Körper Kreiskegel genannt. Das Flächenstück nennt man Grundfläche, deren Begrenzungslinie die Leitkurve und den Punkt die Spitze oder den Scheitel des Kegels. Ein Kegel hat also eine Spitze (den Scheitelpunkt), eine Kante (die Leitkurve) und zwei Flächen (die Mantel- und die Grundfläche).

Unter der Höhe des Kegels versteht man einerseits das Lot von der Spitze auf die Grundfläche (die Höhe steht also immer senkrecht zur Grundfläche), andererseits aber auch die Länge dieses Lotes (also den Abstand der Spitze von der Grundfläche).

Die Verbindungsstrecken der Spitze mit der Leitkurve heißen Mantellinien, ihre Vereinigung bildet den Kegelmantel oder die Mantelfläche.

Gerader und schiefer Kegel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn in der Geometrie von einem Kegel gesprochen wird, ist häufig der Spezialfall des geraden Kreiskegels gemeint. Unter einem Kreiskegel versteht man einen Körper, der durch einen Kreis (Grundkreis oder Basiskreis) und einen Punkt außerhalb der Ebene des Kreises (Spitze des Kegels) festgelegt ist.

Circular cone-de.svg

Die Ebene, in welcher der Basiskreis liegt, heißt Basis(kreis)ebene. Unter dem Radius des Kegels versteht man normalerweise den Radius des Basiskreises. Die Gerade durch den Mittelpunkt des Grundkreises und die Spitze nennt man die Achse des Kegels. Die Höhe des Kegels ist der Abstand der Spitze von der Basisebene; dieser Abstand muss senkrecht zur Basisebene gemessen werden.

Steht die Achse senkrecht zur Basisebene, so liegt ein gerader Kreiskegel oder Drehkegel vor. Andernfalls spricht man von einem schiefen Kreiskegel oder elliptischen Kegel. Jeder elliptische Kegel hat zwei Richtungen, in denen sein Schnitt mit einer Ebene ein Kreis ist; diese Tatsache macht sich die stereografische Projektion als Kreistreue zunutze.

Die Bezeichnung „Drehkegel“ deutet darauf hin, dass es sich um einen Rotationskörper handelt. Er entsteht durch Rotation eines rechtwinkligen Dreiecks um eine seiner beiden Katheten. In diesem Fall werden die Mantellinien (also die Verbindungsstrecken der (Rand-) Punkte des Basiskreises mit der Spitze) auch Erzeugende genannt (), da sie den Mantel „erzeugen“. Der Öffnungswinkel beträgt das Doppelte des Winkels zwischen den Mantellinien und der Achse eines Drehkegels. Der Winkel zwischen den Mantellinien und der Achse heißt halber Öffnungswinkel.

Ein Drehkegel mit Öffnungswinkel 60° heißt gleichseitiger Kegel. Diese Bezeichnung erklärt sich wie folgt: Schneidet man einen solchen Kegel mit einer Ebene, die die Achse enthält, so erhält man ein gleichseitiges Dreieck.

Vor allem in der Technik wird für den Drehkegel auch das Wort Konus (von lat. conus) verwendet. Das zugehörige Eigenschaftswort konisch bezeichnet Objekte mit der Form eines Drehkegels oder eines (Dreh-) Kegelstumpfs.

Insbesondere im Zusammenhang mit Kegelschnitten wird das Wort „Kegel“ auch im Sinn des unten erwähnten Doppelkegels gebraucht.

Größen und Formeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gerader Kreiskegel
Größen und Formeln
Radius

eines geraden Kreiskegels

Höhe

eines geraden Kreiskegels

Mantellinie

eines geraden Kreiskegels

Winkel

eines geraden Kreiskegels
ist der halbe Öffnungswinkel,
auch halber Kegelwinkel genannt

Anwendung der trigonometrischen Funktionen



Durchmesser der Grundfläche

eines geraden Kreiskegels

Grundfläche

eines Kreiskegels

Flächeninhalt der Mantelfläche

eines geraden Kreiskegels

Oberfläche

eines geraden Kreiskegels

Volumen

eines beliebigen Kreiskegels

Trägheitsmoment

Die Drehachse verläuft durch die Spitze
und durch die Mitte der Grundfläche.

eines rotierenden, massiven und geraden Kreiskegels:


des rotierenden Mantels eines geraden Kreiskegels:

wobei die Dichte und die Masse ist.

Beweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Volumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bereits im Jahr 1781 beschreibt Johann Friedrich Lorenz in seinem Buch Euklids Elemente Euklids Feststellung: Jeder Kegel ist der dritte Theil eines Cylinders, welcher mit ihm einerley Grundfläche, ABCD, und gleiche Höhe hat.[1] In der Elementargeometrie wird die Volumenformel oft mit dem Prinzip von Cavalieri begründet. Man vergleicht den gegebenen Kreiskegel mit einer Pyramide von gleicher Grundfläche und Höhe. Für Parallelebenen zur Grundfläche in beliebigem Abstand folgt aus den Gesetzen der Ähnlichkeit bzw. der zentrischen Streckung, dass die entsprechenden Schnittflächen gleichen Flächeninhalt besitzen. Daher müssen die beiden Körper im Volumen übereinstimmen. Die für Pyramiden der Grundfläche und Höhe gültige Volumenformel

kann daher auf den Kegel übertragen werden. Zusammen mit der Formel für die Kreisfläche erhält man

.

Es ist auch möglich, den Kegel durch eine Pyramide mit regelmäßigem n-Eck als Grundfläche (für ) anzunähern.

Ein anderer Beweis (hier speziell für den geraden Kreiskegel dargestellt) setzt die Integralrechnung als Hilfsmittel ein. Es wird ein kartesisches Koordinatensystem verwendet, wobei die Kegelspitze im Ursprung (0|0) und der Mittelpunkt des Grundkreises im Punkt (|0) liegen. Man kann sich nun den Kegel zusammengesetzt denken aus unendlich vielen zylindrischen Scheiben infinitesimaler (unendlich kleiner) Höhe (Dicke) . Da der Abstand einer solchen Zylinderscheibe von der Kegelspitze durch die Koordinate gegeben ist, gilt nach dem Strahlensatz:

Radius eines infinitesimalen Zylinders:
Volumen eines infinitesimalen Zylinders:

Das gesamte Volumen des Drehkegels entspricht der Gesamtheit all dieser unendlich kleinen Zylinder. Zur Berechnung bildet man das bestimmte Integral mit den Integrationsgrenzen 0 und :

Damit kommt man zur bekannten Formel

.

Mantelfläche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gerader Kreiskegel mit abgewickelter Mantelfläche

Die Mantelfläche eines geraden Kreiskegels ist gekrümmt, aber zu einem Kreissektor abwickelbar. Der Radius dieses Sektors stimmt mit der Länge einer Mantellinie des Kegels () überein. Den Mittelpunktswinkel des Kreissektors kann man durch eine Verhältnisgleichung ermitteln. Er verhält sich zum 360°-Winkel wie die Kreisbogenlänge (Umfang des Basiskreises) zum gesamten Umfang eines Kreises mit Radius :

Der gesuchte Flächeninhalt der Mantelfläche ergibt sich nun aus der Formel für den Flächeninhalt eines Kreissektors:

Die Abwicklung der Mantelfläche eines geraden Kreiskegels wird in der Darstellenden Geometrie näherungsweise mit Zirkel und Lineal durchgeführt: s. Abwicklung (Darstellende Geometrie).

Mittelpunktswinkel α[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Mittelpunktswinkel kann ausgehend von der Formel

berechnet werden:

ebenso

mit = Grundflächendurchmesser, = Mantellinie = Zeichenradius.

Doppelkegel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Doppelkegel mit gegeneinander gerichteten Spitzen, einer Sanduhr ähnlich

Ein Doppelkegel entsteht als Rotationsfläche einer Geraden um eine sie nicht rechtwinkelig schneidende Achse. Es entstehen zwei Drehkegel mit dem gleichen Öffnungswinkel und einer gemeinsamen Achse, die sich in der Spitze berühren. Schneidet man einen solchen unendlichen Doppelkegel mit einer Ebene, entstehen die so genannten Kegelschnitte: Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel.

Analytische Beschreibung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein senkrechter Kreiskegel (Doppelkegel) mit der Spitze im Ursprung und der z-Achse als Symmetrieachse lässt sich durch eine Gleichung

beschreiben. Die Zahl ist der Radius der Höhenkreise der Höhen . Ist , so vereinfacht sich die Gleichung zu

und man nennt in diesem Fall den Kegel Einheitskegel (analog zum Einheitskreis).

So, wie eine beliebige Ellipse das affine Bild des Einheitskreises ist, ist ein beliebiger Kegel (als Quadrik) das affine Bild des Einheitskegels. Die einfachsten affinen Abbildungen sind Skalierungen der Koordinaten. Skaliert man die x- und y-Achse, so ergeben sich Kegel mit Gleichungen

Vektoren für die Parameterdarstellung eines allgemeinen Kegels (Quadrik)

Die Höhenschnitte solcher Kegel sind Ellipsen. Der Schnitt mit der Höhenebene ist die Ellipse . Der Kegel ist gleich der Vereinigung aller Geraden (Erzeugenden) durch die Spitze und die Ellipsenpunkte. Beschreibt man die Ellipse durch die Parameterdarstellung und stellt die Erzeugenden in Parameterform dar, erhält man die folgende Parameterdarstellung des Kegels :

Die Gleichung eines im Raum beliebig gelagerten Kegels ist schwierig anzugeben. Die Parameterdarstellung eines beliebigen Kegels dagegen relativ einfach:

Dabei ist die Spitze des Kegels und sind drei linear unabhängige Vektoren. zeigt in Richtung der Kegelachse (s. Bild).[2] Für jeden konstanten Parameter ergibt sich eine Ellipse, mit der man sich (zusammen mit der Spitze) den Kegel erzeugt denken kann.

Sind die drei Vektoren paarweise orthogonal und ist , so wird durch die Parameterdarstellung ein senkrechter Kreiskegel beschrieben.

Kegelkoordinaten (Koordinaten-Transformation)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Parameterdarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Parameterdarstellung des Kegels kann man wie folgt beschreiben. Mit der Abbildung lassen sich die Kegelkoordinaten in kartesische Koordinaten umrechnen. Mit der Abbildung lassen sich die kartesischen Koordinaten in Kegelkoordinaten umrechnen.

Umrechnung eines gegebenen Kegelsegments in Kegelkoordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kegelsegment mit Höhe h und den Radien r1 und r2

Wie folgt seien die Parameter eines Kegelsegments gegeben (siehe nebenstehende Abbildung):

Dann lassen sich die Grenzen in Kegelparametern wie folgt ausdrücken:

Die Parameter bewegen sich also im Bereich:

Flächennormalenvektor[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Flächennormalenvektor ist orthogonal zur Mantelfläche des Kegels. Er wird benötigt um z.B. Flussberechnungen durch die Mantelfläche durchzuführen. Den Flächeninhalt der Mantelfläche lässt sich als Doppelintegral über die Norm des Flächennormalenvektors berechnen.

Einheitsvektoren der Kegelkoordinaten in kartesischen Komponenten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Einheitsvektoren in kartesischen Komponenten erhält man durch Normierung der Tangentenvektoren der Parametrisierung. Der Tangentenvektor ergibt sich durch die erste partielle Ableitung nach der jeweiligen Variablen. Diese drei Einheitsvektoren bilden eine Normalbasis. Es handelt sich hierbei nicht um eine Orthonormalbasis, da nicht alle Einheitsvektoren orthogonal zueinander sind.

Transformationsmatrizen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jacobi-Matrix (Funktionalmatrix)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktionalmatrix und ihre Inverse werden benötigt, um später die partiellen Ableitungen zu transformieren.

Transformationsmatrix S[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Transformationsmatrix wird benötigt um die Einheitsvektoren und Vektorfelder zu transformieren. Die Matrix setzt sich aus den Einheitsvektoren der Parametrisierung als Spaltenvektoren zusammen. Genaueres findet man unter dem Artikel Basiswechsel.

Transformation der partiellen Ableitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die partiellen Ableitungen lassen sich mit der inversen Jacobi-Matrix transformieren.

Als Ergebnis erhält man:

Transformation der Einheitsvektoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Einheitsvektoren lassen sich mit der inversen Transformationsmatrix transformieren.

Als Ergebnis erhält man:

Transformation von Vektorfeldern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vertorfender lassen sich durch Matrixmultiplikation mit der Transformationsmatrix transformieren.

Als Ergebnis erhält man:

Oberflächen- und Volumendifferential[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Volumendifferential lässt sich über die Determinante der Jacobi-Matrix angeben. Dies bietet die Möglichkeit z.B. das Volumen eines Kegels per Dreifachintegral zu berechnen.

Das Oberflächendifferential lässt sich mit der Norm des Flächennormalenvektors angeben. Damit kann man z.B. per Doppelintegral den Flächeninhalt der Mantelfläche bestimmen.

Transformierte Vektor-Differentialoperatoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nabla-Operator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Den Nabla-Operator in Kegelkoordinaten erhält man, indem man die Transformierten Einheitsvektoren und partielle Ableitungen in den kartesischen Nabla-Operator einsetzt.

Gradient[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Den transformierten Gradienten erhält man, indem man den transformieren Nabla-Operator auf ein Skalarfeld in Kegelkoordinaten anwendet.

Divergenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die transformierte Divergenz erhält man, indem man den transformierten Nabla-Operator auf das transformierte Vektorfeld in Kegelkoordinaten anwendet.

Dies ist eine mögliche Lösung der Laplace-Gleichung in Kegelkoordinaten. Genähert mit der Finite-Differenzen-Methode.

Laplace-Operator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Den Laplace-Operator erhält man, indem man nun die hergeleitete Divergenz auf den Gradienten in Kegelkoordinaten anwendet. Sprich die letzten beiden Gleichungen werden ineinander eingesetzt. Dabei erhält man das folgende Ergebnis:

Rotation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konvexe Mengen
Hauptartikel: Kegel (Lineare Algebra)

Man verallgemeinert die Eigenschaft des (unendlichen) Kegels, aus Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt zu bestehen, zu kegelförmigen Mengen, zu denen dann z. B. auch eine unendlich hohe Pyramide gehört. Besonderes Interesse gilt dabei den konvexen Kegeln, die in der linearen Optimierung eine Rolle spielen.

Dabei ist der Begriff des Ordnungskegels wichtig: Definiert man eine Halbordnung mittels , wobei ein konvexer und abgeschlossener Kegel ist, so ist diese reflexiv, antisymmetrisch, transitiv und multiplikativ sowie additiv verträglich. Damit ist eine solche Halbordnung eine Verallgemeinerung der (komponentenweisen) arithmetischen Halbordnung, der der positive Orthant zugrunde liegt. Eine mögliche Definition eines solchen Kegels lautet:

Sei ein reeller Banachraum und eine nichtleere Teilmenge von . heißt Kegel, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

  1. ist abgeschlossen,
  2. ,
  3. ,
  4. .

Wird die vierte Bedingung weggelassen, so erhält man eine mögliche Definition eines Keils.

Allgemeinere Grundflächen

  • Als weitere Verallgemeinerung des Kegels kann man beliebige Grundflächen zulassen. Der Kegel entsteht dann als konvexe Hülle der Grundfläche und eines weiteren Punktes außerhalb der Fläche (der Kegelspitze). In diesem Sinne ist eine Pyramide ein Kegel über einem Vieleck.
  • In der synthetischen Geometrie wird der Begriff Kegel für bestimmte quadratische Mengen in projektiven Geometrien beliebiger Dimension definiert. Siehe dazu Quadratische Menge#Kegel.
Topologie
Hauptartikel: Kegel (Topologie) und Einhängung

In der Topologie versteht man unter dem Kegel über einem topologischen Raum den Raum, den man aus dem Produkt durch Identifikation aller Punkte in (der „Kegelspitze“) erhält.

Den entsprechenden „Doppelkegel“ (durch zusätzliche Identifikation von ) bezeichnet man auch als Einhängung oder Suspension.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Rolf Baumann: Geometrie für die 9./10. Klasse. Zentrische Streckung, Satz des Pythagoras, Kreis- und Körperberechnungen. 4. Auflage. Mentor-Verlag, München 2003, ISBN 3-580-63635-9.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Kegel (Geometrie) – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Johann Friedrich Lorenz: Euklids Elemente, fünfzehn Bücher. Hrsg.: Im Verlag der Buchhandlung des Waysenhauses. Halle 1781, S. 308 ff. (Euklids Elemente, Zwölftes Buch, Der 10. Satz. Jeder Kegel ist der dritte Theil eines Cylinders … [abgerufen am 15. November 2016]).
  2. E. Hartmann: Computerunterstützte Darstellende und konstruktive Geometrie. Uni Darmstadt (PDF; 3,4 MB), S. 105.