„Hyperelastizität“ – Versionsunterschied
[gesichtete Version] | [gesichtete Version] |
HeicoH (Diskussion | Beiträge) K Änderungen von Alva2004 (Diskussion) rückgängig gemacht (HG) |
Thermodynamik, Gase und Kleinigkeiten |
||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
'''Hyperelastizität''' oder Green’sche Elastizität ist ein [[Materialmodell]], in dem die [[Spannungstensor|Spannungen]] im Material sich aus einer skalaren Funktion durch Ableitung nach den [[Verzerrungstensor|Dehnungen]] ergeben. Hyperelastizität ist ein Spezialfall der [[Cauchy-Elastizität]]. Hyperelastizität hat die Eigenschaften: |
'''Hyperelastizität''' oder Green’sche Elastizität ist ein [[Materialmodell]], in dem die [[Spannungstensor|Spannungen]] im Material sich aus einer skalaren Funktion durch Ableitung nach den [[Verzerrungstensor|Dehnungen]] ergeben. Hyperelastizität ist ein Spezialfall der [[Cauchy-Elastizität]]. Hyperelastizität hat die Eigenschaften: |
||
# ''Elastizität'': Ist der Ausgangszustand |
# ''Elastizität'': Ist der Ausgangszustand kräftefrei, so wird dieser nach jedweder Verformung wieder eingenommen, wenn die Belastungen entfernt werden. Bei gegebener Verformung haben die Reaktionskräfte unabhängig von der Vorgeschichte immer denselben Wert. |
||
# ''Wegunabhängigkeit |
# ''[[Kurvenintegral#Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]'': Die Arbeit, die entlang eines Verformungsweges verrichtet wird, ist nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges, nicht aber von seinem Verlauf abhängig. |
||
# [[Konservatives System| |
# ''[[Konservatives System|Konservativität]]'': Entlang eines geschlossenen Verformungsweges wird keine Arbeit verrichtet oder Energie verbraucht. Aufgewendete Arbeiten werden vom Körper bis zur Rückkehr zum Ausgangspunkt vollständig zurückgegeben. Die Arbeit ist somit reversibel. |
||
Während die erste Eigenschaft von der Cauchy-Elastizität geerbt ist, sind die letzten beiden Merkmale spezifisch für die Hyperelastizität. |
Während die erste Eigenschaft von der Cauchy-Elastizität geerbt ist, sind die letzten beiden Merkmale spezifisch für die Hyperelastizität. |
||
Für viele Materialien beschreibt die [[Hookesches Gesetz|lineare Elastizität]] das beobachtete Materialverhalten nicht genau. Lineare Elastizität liefert zudem bei großen Verformungen physikalisch unsinnige Materialantworten. Das bekannteste Beispiel mit nichtlinear elastischem Verhalten ist [[Gummi]], das großen Verformungen standhält und dessen Reaktionen in guter Näherung mit Hyperelastizität beschrieben werden können. Auch biologische Gewebe werden |
Für viele Materialien beschreibt die [[Hookesches Gesetz|lineare Elastizität]] das beobachtete Materialverhalten nicht genau. Lineare Elastizität liefert zudem bei großen Verformungen physikalisch unsinnige Materialantworten. Das bekannteste Beispiel mit nichtlinear elastischem Verhalten ist [[Gummi]], das großen Verformungen standhält und dessen Reaktionen in guter Näherung mit Hyperelastizität beschrieben werden können. Auch biologische Gewebe werden mit Hyperelastizität modelliert<ref name="holzapfel">Z. B. in Holzapfel (2000)</ref>. Alle [[Reales Gas|realen reibungsfreien Gase]] sind gleichsam cauchy-elastisch ''und'' hyperelastisch, worauf in der [[Cauchy-Elastizität]] eingegangen wird. Der vorliegende Artikel befasst sich mit Feststoffmodellen. |
||
Ronald Rivlin und Melvin Mooney entwickelten die ersten |
[[Ronald Rivlin]] und Melvin Mooney entwickelten die ersten Feststoffmodelle der Hyperelastizität, das Neo-Hooke- und Mooney-Rivlin-Modell. Andere oft benutzte Materialmodelle sind das Ogden- und Arruda-Boyce-Modell. |
||
== Definition == |
== Definition == |
||
Zeile 15: | Zeile 15: | ||
=== Makroskopisches Verhalten === |
=== Makroskopisches Verhalten === |
||
[[Datei:Hyperstab.png|mini|80px|Ein Stab |
[[Datei:Hyperstab.png|mini|80px|Ein Stab(schwarz) wird von einer Kraft <math>F</math> um den Betrag <math>u</math> gedehnt(rot)]] |
||
Wird ein homogener Stab aus hyperelastischem Material wie im Bild axial um einen Betrag <math> |
Wird ein homogener Stab aus hyperelastischem Material wie im Bild axial um einen Betrag <math>u</math> gedehnt, dann wird dazu eine Kraft <math>F</math> benötigt, die sich aus der Formänderungsenergie <math>W</math> durch die Ableitung |
||
:<math> |
:<math>F =\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}u}</math> |
||
berechnet. Im linearen Fall ist beispielsweise |
berechnet. Im linearen Fall ist mit der [[Federkonstante]] D beispielsweise |
||
:<math> |
:<math>W =\frac{D}{2}u^{2}\rightarrow F = Du\,.</math> |
||
Der Parameter <math> D </math> ist die [[Federkonstante]]. |
|||
=== Dreidimensionales Kontinuum === |
=== Dreidimensionales Kontinuum === |
||
Die Übersetzung des Verhaltens des hyperelastischen Zugstabes in ein dreidimensionales Kontinuum erfolgt indem |
Die Übersetzung des Verhaltens des hyperelastischen Zugstabes in ein dreidimensionales Kontinuum erfolgt indem |
||
* die Kraft <math> |
* die Kraft <math>F</math> durch den ersten Piola-Kirchhoff-[[Spannungstensor]] <math>\mathbf{P}</math>, |
||
* die Verschiebung <math> |
* die Verschiebung <math>u</math> durch den [[Deformationsgradient]] <math>\mathbf{F}</math> und |
||
* die Formänderungsenergie <math> |
* die Formänderungsenergie <math>W</math> durch die spezifische Formänderungsenergie in der [[Lagrangesche Betrachtungsweise|lagrangeschen Formulierung]] <math>w_0</math> |
||
ausgetauscht wird. Dann berechnen sich die Spannungen <math>\mathbf{ |
ausgetauscht wird. Dann berechnen sich die Spannungen <math>\mathbf{P}</math> aus der Ableitung<ref name="Frechet">Die [[Fréchet-Ableitung]] einer Funktion <math> f </math> nach <math> x </math> |
||
ist der |
ist der beschränkte lineare Operator <math>\mathcal{A} </math> der - sofern er existiert - in alle Richtungen <math>h</math> dem [[Gâteaux-Differential]] entspricht, also |
||
:<math> |
:<math>\mathcal{A}(h) |
||
=\left. |
=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}f(x+sh)\right|_{s=0} |
||
= |
=\lim_{s\rightarrow 0}\frac{f(x+s h) - f(x)}{s} |
||
\frac{f(\mathbf{T}+s \mathbf{H})-f(\mathbf{T})}{s} |
|||
\quad\forall\; |
\quad\forall\; |
||
h</math> |
|||
gilt. Darin ist <math> s\in\mathbb{R}\,, f,x\,\textsf{und}\, h </math> skalar-, vektor- oder tensorwertig aber <math> x</math> und <math> h </math> gleichartig. Dann wird auch |
|||
:<math>\mathcal{A} =\frac{\partial f}{\partial x} </math> |
|||
gilt. Der Skalar <math> s </math> ist eine [[reelle Zahl]]. Dann wird auch |
|||
:<math> \frac{\partial f}{\partial \mathbf{T}} = \mathbf{A} </math> |
|||
geschrieben. |
geschrieben. |
||
</ref> von <math> |
</ref> von <math>w_0</math> nach <math>\mathbf{F}</math> gemäß |
||
:<math>\mathbf{ |
:<math>\mathbf{P}=\rho_0\frac{\mathrm{d}w_0}{\mathrm{d}\mathbf{F}}</math> |
||
=\rho_{0}\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathbf{F}} </math> |
|||
Die Dichte <math>\ |
Die Dichte <math>\rho_0</math> des Körpers in der undeformierten Ausgangslage (genauer bei <math>\operatorname{det}(\mathbf{F})=1</math>) ist ein zeitlich konstanter Materialparameter. Der erste Piola-Kirchhoff-Spannungstensor <math>\mathbf{P}</math> hängt über |
||
:<math>\mathbf{ |
:<math>\mathbf{P} |
||
=\operatorname{det}(\mathbf{F})\boldsymbol{\sigma} |
=\operatorname{det}(\mathbf{F})\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{F}^{\top -1}</math> |
||
mit dem Cauchy’schen Spannungstensor <math>\boldsymbol{\sigma} |
mit dem [[Symmetrische Matrix|symmetrischen]] Cauchy’schen Spannungstensor <math>\boldsymbol{\sigma}</math> zusammen, der die wahren Spannungen im Material darstellt. Der Operator <math>\operatorname{det}</math> gibt die [[Determinante]], "<math>\cdot</math>" das [[Matrizenmultiplikation|Tensorprodukt]] und <math>\mathbf{F}^{\top -1}</math> ist der [[Transponierte Matrix|transponiert]] [[Inverse Matrix|inverse]] Deformationsgradient. |
||
Häufig<ref name="holzapfel" /> wird statt der spezifischen Formänderungsenergie die auf das ''Volumen'' bezogene Formänderungsenergie <math>\ |
Häufig<ref name="holzapfel" /> wird statt der spezifischen Formänderungsenergie die auf das ''Volumen'' bezogene Formänderungsenergie <math>\hat{w}=\rho_0 w</math> benutzt. Weil <math>\rho_0</math> ein konstanter Faktor ist, können die Formeln, die sich aus der auf die Masse oder das Volumen bezogenen Formänderungsenergie ergeben, leicht ineinander umgerechnet werden. Die Darstellung hier folgt Haupt<ref>Haupt (2000), S. 326ff</ref>. |
||
=\rho_{0}w </math> benutzt. Weil <math>\rho_{0} </math> ein konstanter Faktor ist, können die Formeln, die sich aus der auf die Masse oder das Volumen bezogenen Formänderungsenergie ergeben, leicht ineinander umgerechnet werden. Die Darstellung hier folgt Haupt<ref>Haupt 2000, S. 326ff</ref>. |
|||
Damit das Materialmodell das [[ |
Damit das Materialmodell das [[Cauchy-Elastizität#Materielle Objektivität von elastischen Festkörpern|Prinzip der materiellen Objektivität]] erfüllt, hängt <math>w_0</math> nicht von <math>\mathbf{F}</math> direkt sondern vom [[Strecktensor|rechten Cauchy-Green-Tensor]] <math>\mathbf{C}=\mathbf{F}^\top\cdot\mathbf{F}</math> ab. Mit dem [[Verzerrungstensor|Green-Lagrange’schen Verzerrungstensor]] |
||
:<math> |
:<math>\mathbf{E} |
||
=\frac{1}{2}(\mathbf{C}-\textbf{I}) |
=\frac{1}{2}(\mathbf{C}-\textbf{I})</math> |
||
worin <math> |
worin <math>\mathbf{I}</math> der [[Einheitstensor]] ist, und dem zweiten Piola-Kirchhoff Spannungstensor |
||
:<math>\tilde{\mathbf{T}}: |
:<math>\tilde{\mathbf{T}}: |
||
=\mathbf{F}^{-1} |
=\mathbf{F}^{-1}\cdot\mathbf{P} |
||
=\operatorname{det}(\mathbf{F}) |
=\operatorname{det}(\mathbf{F})\mathbf{F}^{-1}\cdot\boldsymbol{\sigma}\cdot |
||
\mathbf{F}^{-1} |
\mathbf{F}^{\top -1}</math> |
||
\mathbf{F}^{\mathrm{T}-1} </math> |
|||
kann alternativ |
kann alternativ |
||
:<math>\tilde{\mathbf{T}} |
:<math>\tilde{\mathbf{T}} |
||
=\ |
=\rho_0\frac{\mathrm{d}w_0}{\mathrm{d}\mathbf{E}} |
||
=2\ |
=2\rho_0\frac{\mathrm{d}w_0}{\mathrm{d}\mathbf{C}}</math> |
||
formuliert werden. Mit der Dichte |
formuliert werden. Mit der Dichte |
||
:<math>\rho : |
:<math>\rho : |
||
=\frac{\ |
=\frac{\rho_0}{\operatorname{det}(\mathbf{F})}</math> |
||
im deformierten Körper ergibt sich daraus für den Cauchy’schen Spannungstensor: |
im deformierten Körper ergibt sich daraus für den Cauchy’schen Spannungstensor: |
||
:<math>\boldsymbol{\sigma} |
:<math>\boldsymbol{\sigma} |
||
=\rho |
=\rho\mathbf{F}\cdot |
||
\frac{\mathrm{d} |
\frac{\mathrm{d}w_0}{\mathrm{d}\mathbf{E}} |
||
\cdot\mathbf{F}^\top |
|||
=2\rho |
=2\rho\mathbf{F} |
||
\cdot\frac{\mathrm{d}w_0}{\mathrm{d}\mathbf{C}} |
|||
\cdot\mathbf{F}^\top |
|||
=\rho\frac{\mathrm{d} |
=\rho\frac{\mathrm{d}w_0}{\mathrm{d}\mathbf{F}}\cdot\mathbf{F}^\top |
||
</math> |
\,.</math> |
||
== Eigenschaften hyperelastischer Materialien == |
== Eigenschaften hyperelastischer Materialien == |
||
=== Verformungsarbeit === |
=== Verformungsarbeit === |
||
Im oben angegebenen Zugstab leistet die [[Kraft]] <math>F |
Im oben angegebenen Zugstab leistet die [[Kraft]] <math>F</math> entlang eines Weges von <math>u_0</math> bis <math>u_1</math> die [[Arbeit (Physik)|Arbeit]] |
||
:<math>A |
|||
=\int_{u_0}^{u_1}F\mathrm{d}u |
|||
:<math> A |
|||
=\int_{ |
=\int_{u_0}^{u_1}\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}u}\mathrm{d}u |
||
={[W]}_{u_0}^{u_1} |
|||
=\int_{u_{0}}^{u_{1}}\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}u}\mathrm{d}u |
|||
=W(u_1)-W(u_0)\,, |
|||
={[W]}_{u_{0}}^{u_{1}} |
|||
</math> |
|||
d. h., die verrichtete Arbeit ist nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängig. Insbesondere verschwindet bei <math>u_1 =u_0</math> die verrichtete Arbeit: |
|||
:<math>A =W(u_0)-W(u_0) =0\,.</math> |
|||
d. h., die verrichtete Arbeit ist nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängig. Insbesondere verschwindet bei <math> u_{1} |
|||
Analog ist im Kontinuum die Spannungsarbeit das [[Kurvenintegral]] über einer mit der Zeit t parametrisierten Kurve |
|||
=u_{0} </math> die verrichtete Arbeit: |
|||
:<math>a |
|||
:<math> A =W(u_{0})-W(u_{0}) =0 </math>. |
|||
=\int_{t_0}^{t_1}\mathbf{P}:\dot{\mathbf{F}}\,\mathrm{d}t |
|||
Analog ist im Kontinuum die Spannungsarbeit |
|||
=\rho_0 \int_{t_0}^{t_1}\frac{\mathrm{d}w_0}{\mathrm{d}\mathbf{F}}: |
|||
:<math> a |
|||
\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t |
|||
=\int_{ |
=\rho_0 \int_{t_0}^{t_1}\frac{\mathrm{d}w_0}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t |
||
\ |
=\rho_0 [w_0(\mathbf{F})]_{t_0}^{t_1} |
||
=\ |
=\rho_0 [w_0(\mathbf{F}(t_1))-w_0(\mathbf{F}(t_0))] |
||
</math> |
|||
=\rho_{0}(w(\mathbf{F}_{1})-w(\mathbf{F}_{0})) </math> |
|||
was die Wegunabhängigkeit und Konservativität (im Sonderfall <math>\mathbf{F}(t_1) =\mathbf{F}(t_0)</math>) nachweist. Das Rechenzeichen ":" bedeutet das [[Frobenius-Skalarprodukt]] und liefert hier die Summe der Arbeitsinkremente der Spannungskomponenten an den Komponenten des Deformationsgradienten. |
|||
was die Wegunabhängigkeit und Konservativität (im Sonderfall <math> \mathbf{F}_{1} |
|||
=\mathbf{F}_{0} </math> ) nachweist. Das Rechenzeichen ":" bedeutet das [[Frobenius-Skalarprodukt]] und liefert hier die Summe der Arbeitsinkremente der Spannungskomponenten an den Komponenten des Deformationsgradienten. |
|||
=== Verformungsleistung === |
=== Verformungsleistung === |
||
Die von der Kraft <math>F</math> erbrachte [[Leistung (Physik)|Verformungsleistung]] im Stab lautet: |
Die von der Kraft <math>F</math> erbrachte [[Leistung (Physik)|Verformungsleistung]] im Stab lautet: |
||
:<math> |
:<math>L |
||
=F\dot{u} |
=F\dot{u} |
||
=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} |
=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} |
||
=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} |
=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} |
||
=\dot{W} |
=\dot{W}</math> |
||
und ist die pro Zeiteinheit erbrachte Formänderungsarbeit. Im Kontinuum gilt in gleicher Weise |
und ist die pro Zeiteinheit erbrachte Formänderungsarbeit. Im Kontinuum gilt in gleicher Weise |
||
:<math> |
:<math>l_{i}: |
||
=\frac{1}{\rho_0}\mathbf{ |
=\frac{1}{\rho_0}\mathbf{P}:\dot{\mathbf{F}} |
||
=\frac{\mathrm{d} |
=\frac{\mathrm{d}w_0}{\mathrm{d}\mathbf{F}}: |
||
\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t} |
\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t} |
||
=\frac{\mathrm{d} |
=\frac{\mathrm{d}w_0}{\mathrm{d}t} |
||
=\dot{w} |
=\dot{w}_0\,,</math> |
||
d. h., die spezifische Spannungsleistung <math> |
d. h., die spezifische Spannungsleistung <math>l_{i}</math> ist bei Hyperelastizität die [[Substantielle Ableitung|materielle Zeitableitung]] der spezifischen Formänderungsenergie. |
||
Die Umkehrung gilt auch: Gibt es eine skalare Funktion <math> |
Die Umkehrung gilt auch: Gibt es eine skalare Funktion <math>w_0</math>, so dass die spezifische Spannungsleistung die materielle Zeitableitung dieser Funktion ist, dann ist das Material hyperelastisch. |
||
Für die spezifische Spannungsleistung gibt es die alternativen Formulierungen |
Für die spezifische Spannungsleistung gibt es die alternativen Formulierungen |
||
:<math> |
:<math>l_{i} |
||
=\dot{w} |
=\dot{w}_0 |
||
=\frac{\mathrm{d} |
=\frac{\mathrm{d}w_0}{\mathrm{d}\mathbf{E}}:\dot{\mathbf{E}} |
||
=\frac{\mathrm{d} |
=\frac{\mathrm{d}w_0}{\mathrm{d}\mathbf{F}}:\dot{\mathbf{F}}</math> |
||
oder |
oder |
||
:<math> |
:<math>l_{i} |
||
=\frac{1}{\ |
=\frac{1}{\rho_0}\tilde{\mathbf{T}}:\dot{\mathbf{E}} |
||
=\frac{1}{\ |
=\frac{1}{\rho_0}\mathbf{P}:\dot{\mathbf{F}} |
||
=\frac{1}\rho\boldsymbol{\sigma}: |
=\frac{1}\rho\boldsymbol{\sigma}:\mathbf{d}</math> |
||
mit dem räumlichen Verzerrungsgeschwindigkeitstensor |
mit dem räumlichen Verzerrungsgeschwindigkeitstensor |
||
:<math> |
:<math>\mathbf{d} |
||
:=\frac{1}{2}(\dot{\mathbf{F}} |
:=\frac{1}{2}(\dot{\mathbf{F}}\cdot\mathbf{F}^{-1} |
||
+\mathbf{F}^{\ |
+\mathbf{F}^{\top -1}\cdot\dot{\mathbf{F}}^\top) |
||
=\mathbf{F}^{\ |
=\mathbf{F}^{\top -1}\cdot |
||
\frac{1}{2}(\mathbf{F}^\ |
\frac{1}{2}(\mathbf{F}^\top\cdot\dot{\mathbf{F}} |
||
+\dot{\mathbf{F}}^\ |
+\dot{\mathbf{F}}^\top\cdot\mathbf{F})\cdot\mathbf{F}^{-1} |
||
=\mathbf{F}^{\ |
=\mathbf{F}^{\top -1}\cdot\dot{\mathbf{E}}\cdot\mathbf{F}^{-1} |
||
</math> |
\,,</math> |
||
der der [[Symmetrische Matrix|symmetrische]] Anteil des [[Geschwindigkeitsgradient]]en <math>\mathbf{l}</math> ist: |
|||
:<math>\mathbf{l}:=\dot{\mathbf{F}}\cdot\mathbf{F}^{-1} |
|||
\quad\rightarrow\quad |
|||
\mathbf{d} =\frac{1}{2}(\mathbf{l + l}^\top)\,. |
|||
</math> |
|||
=== Sätze über Hyperelastizität === |
=== Sätze über Hyperelastizität === |
||
Zeile 174: | Zeile 173: | ||
# Das Material ist hyperelastisch. |
# Das Material ist hyperelastisch. |
||
# Die spezifische Spannungsleistung <math> |
# Die spezifische Spannungsleistung <math>l_{i}</math> ist die materielle Zeitableitung <math>\dot{w}_0</math> der spezifischen Formänderungsenergie<br /> <math>l_{i}=\dot{w}_0\,.</math> |
||
# Die Arbeit der Spannungen entlang eines beliebigen Weges im Dehnungsraum ist nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges nicht aber von seinem Verlauf abhängig<br /> <math>\int_{\mathbf{E} |
# Die Arbeit der Spannungen entlang eines beliebigen Weges im Dehnungsraum ist nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges nicht aber von seinem Verlauf abhängig<br /> <math>\int_{\mathbf{E}_0}^{\mathbf{E}_1}\tilde{\mathbf{T}}:\mathrm{d}\mathbf{E} |
||
=\ |
=\rho_0(w_0(\mathbf{E}_1)-w_0(\mathbf{E}_0))\,.</math> |
||
# Die Arbeit der Spannungen entlang eines beliebigen geschlossenen Weges im Dehnungsraum verschwindet<br /> <math> |
# Die Arbeit der Spannungen entlang eines beliebigen geschlossenen Weges im Dehnungsraum verschwindet<br /> <math>\oint\tilde{\mathbf{T}}:\mathrm{d}\mathbf{E} |
||
=0 |
=0\,.</math> |
||
# Die spezifische Spannungsarbeit an beliebigen differentiellen Dehnungsinkrementen <math>\delta |
# Die spezifische Spannungsarbeit an beliebigen differentiellen Dehnungsinkrementen <math>\delta\mathbf{E}</math> ist gleich dem totalen Differential der spezifischen Formänderungsenergie<br /> <math>\frac{1}{\rho_0}\tilde{\mathbf{T}}:\delta\mathbf{E} |
||
=\delta |
=\delta w_0(\mathbf{E})\,.</math> |
||
Bei der linearen Hyperelastizität sind die Spannungen als erste Ableitung der Formänderungsenergie linear in den Dehnungen und der [[Elastizitätstensor]] ist als zweite Ableitung konstant. Weil bei zwei Ableitungen hintereinander die Reihenfolge der Ableitungen vertauschbar ist, ist der Elastizitätstensor symmetrisch und kann ein linear-hyperelastischer Festkörper mit maximal 21 Parametern beschrieben werden. |
|||
Jedes elastische [[Fluid]] ist auch hyperelastisch. |
|||
Jedes [[Cauchy-Elastizität#Hyperelastizität von Fluiden|elastische]] [[Fluid]] ist auch hyperelastisch. |
|||
=== Thermodynamische Konsistenz === |
|||
{{Hauptartikel|Clausius-Duhem-Ungleichung}} |
|||
Die Hyperelastizität ist im Einklang mit der Thermodynamik, wie eine Auswertung der Clausius-Duhem-Ungleichung zeigt, die den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik in der Festkörpermechanik repräsentiert. Bei [[Isotherme Zustandsänderung|isothermer Zustandsänderung]] lautet die Clausius-Duhem-Ungleichung in der [[Lagrangesche Betrachtungsweise|lagrangeschen Fassung]] |
|||
:<math>\frac{1}{\rho_0}\tilde{\mathbf{T}}\cdot\dot{\mathbf{E}} -\dot{\psi}_0\ge 0\,,</math> |
|||
worin <math>\psi_0</math> die [[helmholtzsche freie Energie]] darstellt. In der Hyperelastizität ist die Spannung die Ableitung<ref name="Frechet" /> der Formänderungsenergie nach den Dehnungen und weil die Formänderungsenergie nur eine Funktion der Dehnungen ist folgt: |
|||
:<math>\frac{1}{\rho_0}\tilde{\mathbf{T}}:\dot{\mathbf{E}} -\dot{\psi}_0 |
|||
=\frac{\mathrm{d}w_0}{\mathrm{d}\mathbf{E}}:\dot{\mathbf{E}} -\dot{\psi}_0 |
|||
=\dot{w}_0 -\dot{\psi}_0 =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(w_0 -\psi_0) |
|||
\ge 0\,. |
|||
</math> |
|||
Identifikation der Formänderungsenergie mit der helmholtzschen freie Energie lässt die Hyperelastizität also im Einklang mit der Thermodynamik sein. |
|||
=== Inkompressibilität === |
=== Inkompressibilität === |
||
Viele [[Gummielastizität|gummielastische]] Körper zeigen eine ausgeprägte [[Inkompressibilität]] und daher lohnt es sich diesen Fall näher zu betrachten. Inkompressibilität |
Viele [[Gummielastizität|gummielastische]] Körper zeigen eine ausgeprägte [[Inkompressibilität]] und daher lohnt es sich diesen Fall näher zu betrachten. Inkompressibilität lässt sich mathematisch durch |
||
:<math> |
:<math>J: |
||
=\operatorname{det}(\mathbf{F}) |
=\operatorname{det}(\mathbf{F}) |
||
=\sqrt{\operatorname{det}(\mathbf{C})}\equiv 1 |
=\sqrt{\operatorname{det}(\mathbf{C})}\equiv 1</math> |
||
ausdrücken, weshalb die Dichte dann zeitlich konstant ist: |
ausdrücken, weshalb die Dichte dann zeitlich konstant ist: |
||
:<math>\rho =\ |
:<math>\rho =\rho_0\,.</math> |
||
Um die Inkompressibilität eines hyperelastischen Materials sicherzustellen, wird die spezifische Formänderungsenergie <math> |
Um die Inkompressibilität eines hyperelastischen Materials sicherzustellen, wird die spezifische Formänderungsenergie <math>w_0</math> erweitert: |
||
:<math>\bar{w} = |
:<math>\bar{w}_0 = w_0 -\frac{p}{\rho_0}(J-1)</math> |
||
Der Druck <math> |
Der Druck <math>p</math> ist eine zusätzliche, nicht konstitutive Variable, die als [[Lagrangescher Multiplikator|Lagrange’scher Multiplikator]] zur Sicherstellung der Nebenbedingung <math>J\equiv 1</math> eingeführt wird. Der Druck resultiert nun ausschließlich aus den Naturgesetzen und den Lagerungen des Körpers. Die Spannungen lauten hier |
||
:<math>\begin{array}{rcl} |
:<math>\begin{array}{rcl} |
||
\tilde{\mathbf{T}} |
\tilde{\mathbf{T}} |
||
&=& 2\ |
&=& 2\rho_0\dfrac{\mathrm{d}\bar{w}_0}{\mathrm{d}\mathbf{C}} |
||
=-p\mathbf{C}^{-1}+2\ |
=-p\mathbf{C}^{-1}+2\rho_0\dfrac{\mathrm{d}w_0}{\mathrm{d}\mathbf{C}} |
||
\\[2ex] |
\\[2ex] |
||
\mathbf{ |
\mathbf{P} |
||
&=& |
&=&\rho_0\dfrac{\mathrm{d}\bar{w}_0}{\mathrm{d}\mathbf{F}} |
||
=-p\mathbf{F}^{\ |
=-p\mathbf{F}^{\top -1}+\rho_0\dfrac{\mathrm{d}w_0}{\mathrm{d}\mathbf{F}} |
||
\\[2ex] |
\\[2ex] |
||
\rightarrow\boldsymbol{\sigma} |
\rightarrow\boldsymbol{\sigma} |
||
&=& |
&=& |
||
-p |
-p\mathbf{I} |
||
+2\ |
+2\rho_0\mathbf{F}\cdot\dfrac{\mathrm{d}w_0}{\mathrm{d}\mathbf{C}} |
||
\cdot\mathbf{F}^\top |
|||
=-p\mathbf{I} |
=-p\mathbf{I} |
||
+\ |
+\rho_0\dfrac{\mathrm{d}w_0}{\mathrm{d}\mathbf{F}} |
||
\cdot\mathbf{F}^\top |
|||
\end{array} |
\end{array}\,.</math> |
||
== Isotrope Hyperelastitzität == |
== Isotrope Hyperelastitzität == |
||
Wenn das Materialverhalten nicht richtungsabhängig ist, dann ist das Material [[Isotropie|isotrop]]. Zumeist wird dann die |
Wenn das Materialverhalten nicht richtungsabhängig ist, dann ist das Material [[Isotropie|isotrop]]. Zumeist wird dann die Formänderungsenergie <math>w(\mathbf{b})</math> als [[isotrope Funktion]] des linken Cauchy-Green-Tensors |
||
:<math>\mathbf{b}:=\mathbf{F}\cdot\mathbf{F}^\top |
|||
\quad\rightarrow\quad |
|||
\dot{\mathbf{b}} |
|||
=\dot{\mathbf{F}}\cdot\mathbf{F}^{-1}\cdot\mathbf{F\cdot F}^\top |
|||
+\mathbf{F\cdot F^\top\cdot F}^{\top-1}\cdot\dot{\mathbf{F}}^\top |
|||
=\mathbf{l\cdot b} +\mathbf{b\cdot l}^\top\,. |
|||
</math> |
|||
angenommen und die Potenzialbeziehung |
|||
:<math>\begin{array}{rcl} |
:<math>\begin{array}{rcl} |
||
l_{i} |
l_{i} |
||
&=&\dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathbf{b}}:\dot{\mathbf{b}} |
&=&\dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathbf{b}}:\dot{\mathbf{b}} |
||
=\dfrac{ |
=\dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathbf{b}}:(\mathbf{l\cdot b} +\mathbf{b\cdot l}^\top) |
||
=\left(\dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathbf{b}}\cdot\mathbf{b}\right):\mathbf{l} |
|||
+\left(\mathbf{b}\cdot\dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathbf{b}}\right):\mathbf{l}^\top |
|||
\\ |
|||
&=& 2\left(\mathbf{b}\cdot\dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathbf{b}}\right): |
|||
\frac{1}{2}(\mathbf{l+l}^\top) |
|||
=:\dfrac{1}\rho\boldsymbol{\sigma}:\mathbf{d} |
|||
\\ |
\\ |
||
\rightarrow |
\rightarrow |
||
\boldsymbol{\sigma} |
\boldsymbol{\sigma} |
||
&=& |
&=& |
||
2\rho |
2\rho\mathbf{b}\cdot\dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
=\dfrac{ |
= 2\rho\dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathbf{b}}\cdot\mathbf{b} |
||
\dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
|||
=\dfrac{2\rho_{0}}{J}\dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
|||
\cdot \mathbf{b} |
|||
\end{array} |
\end{array} |
||
</math> |
</math> |
||
herangezogen, worin ausgenutzt wurde, dass <math>\mathbf{b}</math> und <math>\mathrm{d}w/\mathrm{d}\mathbf{b}</math> [[Kommutativgesetz|kommutieren]], weil die Ableitung eine [[isotrope Tensorfunktion]] des symmetrischen linken Cauchy-Green Tensors ist. |
|||
herangezogen, worin <math> J = \operatorname{det}\left(\mathbf{F}\right) </math> und |
|||
:<math> \mathbf{b}:=\mathbf{F} \cdot \mathbf{F}^\mathrm{T} |
|||
=:\mathbf{v \cdot v} </math> |
|||
Bei Inkompressibilität ist <math>\operatorname{det}(\mathbf{F}) |
|||
der linke Cauchy-Green Tensor und <math> \mathbf{v} </math> der [[Strecktensor|linke Strecktensor]] ist. Bei Inkompressibilität ist <math> J |
|||
=\operatorname{det}\left(\mathbf{F}\right) |
|||
=\sqrt{\operatorname{det}(\mathbf{b})} |
=\sqrt{\operatorname{det}(\mathbf{b})} |
||
=1 |
=1</math> |
||
und daher |
|||
:<math>\boldsymbol{\sigma} |
:<math>\boldsymbol{\sigma} |
||
=2\ |
=2\rho_0\mathbf{b}\cdot\frac{\mathrm{d}\bar{w}}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
=-p\mathbf{I}+2\ |
=-p\mathbf{I}+2\rho_0\mathbf{b} |
||
\cdot\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
|||
</math> |
\,.</math> |
||
Die Formänderungsenergie hängt bei Isotropie nur von den Invarianten der symmetrischen und [[positiv definit]]en Tensoren <math> |
Die Formänderungsenergie hängt bei Isotropie nur von den Invarianten der symmetrischen und [[positiv definit]]en Tensoren <math>\mathbf{b}</math> oder des Linken [[Strecktensor]]s <math>\mathbf{v}:=+\sqrt{\mathbf{b}}</math><ref>Die Wurzel <math>+\sqrt{\mathbf{b}}</math> wird mit der Hauptachsentransformation, Ziehung der positiven Wurzel der Diagonalelemente und Rücktransformation berechnet.</ref> ab, die also positive [[Eigenwertproblem|Eigenwerte]] haben. Die Formänderungsenergie wird üblicher Weise mit den Eigenwerten <math>\lambda_1 ,\lambda_{2},\lambda_{3}</math> von <math>\mathbf{v}</math> oder den [[Hauptinvariante]]n |
||
:<math>\begin{array}{lcl} |
:<math>\begin{array}{lcl} |
||
\mathrm{I} |
\mathrm{I}_1(\mathbf{b}) |
||
&:=&\mathrm{Sp}(\mathbf{b}) |
&:=&\mathrm{Sp}(\mathbf{b}) |
||
\\ |
\\ |
||
\mathrm{I}_{2}(\mathbf{b}) |
\mathrm{I}_{2}(\mathbf{b}) |
||
&:=&\frac{1}{2}[\mathrm{Sp}{(\mathbf{b})}^{2} |
&:=&\frac{1}{2}[\mathrm{Sp}{(\mathbf{b})}^{2} |
||
-\mathrm{Sp} |
-\mathrm{Sp}(\mathbf{b\cdot b})] |
||
\\ |
\\ |
||
\mathrm{I}_{3}(\mathbf{b}) |
\mathrm{I}_{3}(\mathbf{b}) |
||
&=&\operatorname{det}(\mathbf{b}) |
&=&\operatorname{det}(\mathbf{b}) |
||
\end{array} |
\end{array}</math> |
||
ausgedrückt. <math>\mathrm{Sp}</math> bezeichnet den [[Spur (Mathematik)|Spur |
ausgedrückt. Der Operator <math>\mathrm{Sp}</math> bezeichnet den [[Spur (Mathematik)|Spur]]. Es liegen drei Formulierungen vor: |
||
:<math>\begin{array}{llcl} |
:<math>\begin{array}{llcl} |
||
1. & |
1. &\boldsymbol{\sigma} |
||
&=&2\rho |
&=&2\rho\mathbf{b}\cdot |
||
\dfrac{\mathrm{d}w |
\dfrac{\mathrm{d}w(\mathrm{I}_1(\mathbf{b}), |
||
\mathrm{I}_{2}(\mathbf{b}), |
\mathrm{I}_{2}(\mathbf{b}),\mathrm{I}_{3}(\mathbf{b}))}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
\\[2ex] |
\\[2ex] |
||
2. & |
2. &\boldsymbol{\sigma} |
||
&=& 2\rho |
&=& 2\rho\mathbf{b}\cdot |
||
\dfrac{\mathrm{d}w(\bar{\mathrm{I}} |
\dfrac{\mathrm{d}w(\bar{\mathrm{I}}_1(\mathbf{b}), |
||
\bar{\mathrm{I}}_{2}(\mathbf{b}),J)}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
\bar{\mathrm{I}}_{2}(\mathbf{b}),J)}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
\quad |
\quad\text{und} |
||
\\[2ex] |
\\[2ex] |
||
3. & |
3. &\boldsymbol{\sigma} |
||
&=& 2\rho |
&=& 2\rho\mathbf{b}\cdot |
||
\dfrac{\mathrm{d}w(\ |
\dfrac{\mathrm{d}w(\lambda_1 ,\lambda_{2},\lambda_{3})}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
\end{array} |
\end{array} |
||
</math> |
\,.</math> |
||
Die quergestrichenen Invarianten stehen für |
Die quergestrichenen Invarianten stehen für |
||
:<math> |
:<math>\bar{\mathrm{I}}_{1,2}(\mathbf{b}) |
||
:=\mathrm{I}_{1,2}(\bar{\mathbf{b}}) |
:=\mathrm{I}_{1,2}(\bar{\mathbf{b}}) |
||
:=\mathrm{I}_{1,2} |
:=\mathrm{I}_{1,2}(J^{\frac{-2}{3}}\mathbf{b}) |
||
\quad\textsf{mit}\quad |
|||
</math>. |
|||
\operatorname{det}(\bar{\mathbf{b}}) |
|||
=\operatorname{det}(J^{\frac{-2}{3}}\mathbf{b}) |
|||
= J^{-2} J^2 = 1 |
|||
\,.</math> |
|||
Die folgenden Kapitel führen diese Varianten detailliert aus. Bei Inkompressibilität sind die ersten beiden Formulierungen äquivalent. Weil dann eine Abhängigkeit von der dritten Hauptinvariante oder <math>J</math> entfällt, wird der inkompressiblen isotropen Hyperelastizität ein eigener Abschnitt gewidmet. Der Aufwand für die Aufteilung in unimodularen und volumetrischen Anteil, den die zweite Formulierung charakterisiert, lohnt sich nur bei Kompressibilität. Die dritte Formulierung mit den Eigenwerten kann bei Kompressibilität und Inkompressibilität gleichermaßen angewendet werden. |
Die folgenden Kapitel führen diese Varianten detailliert aus. Bei Inkompressibilität sind die ersten beiden Formulierungen äquivalent. Weil dann eine Abhängigkeit von der dritten Hauptinvariante oder <math>J</math> entfällt, wird der inkompressiblen isotropen Hyperelastizität ein eigener Abschnitt gewidmet. Der Aufwand für die Aufteilung in unimodularen und volumetrischen Anteil, den die zweite Formulierung charakterisiert, lohnt sich nur bei Kompressibilität. Die dritte Formulierung mit den Eigenwerten kann bei Kompressibilität und Inkompressibilität gleichermaßen angewendet werden. |
||
Zeile 303: | Zeile 328: | ||
{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" |
{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" |
||
|- |
|- |
||
! Ableitungen der Invarianten |
! Ableitungen<ref name="Frechet" /> der Invarianten |
||
|- |
|- |
||
| Mit den für symmetrische Tensoren gültigen Ableitungen <br /> |
| Mit den für symmetrische Tensoren gültigen Ableitungen <br /> |
||
:<math>\frac{\mathrm{d}\mathrm{I} |
:<math>\frac{\mathrm{d}\mathrm{I}_1(\mathbf{b})}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
=\mathbf{I} |
=\mathbf{I}</math> <br /> |
||
:<math>\frac{\mathrm{d}\mathrm{I}_{2}(\mathbf{b})}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
:<math>\frac{\mathrm{d}\mathrm{I}_{2}(\mathbf{b})}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
=\mathrm{I} |
=\mathrm{I}_1(\mathbf{b})\textbf{I}-\mathbf{b}</math> <br /> |
||
:<math>\frac{\mathrm{d}\mathrm{I}_{3}(\mathbf{b})}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
:<math>\frac{\mathrm{d}\mathrm{I}_{3}(\mathbf{b})}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
=\operatorname{det}(\mathbf{b})\mathbf{b}^{-1} |
=\operatorname{det}(\mathbf{b})\mathbf{b}^{-1}</math> <br /> |
||
berechnet sich die Ableitung der Formänderungsenergie:<br /> |
berechnet sich die Ableitung der Formänderungsenergie:<br /> |
||
<math>\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
<math>\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
=\left(\frac{\partial w}{\partial |
=\left(\frac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_1} |
||
+\mathrm{I} |
+\mathrm{I}_1\frac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_{2}} |
||
+\mathrm{I}_{2}\frac{\partial w}{\partial |
+\mathrm{I}_{2}\frac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_{3}}\right)\textbf{I} |
||
- |
- |
||
\left(\frac{\partial w}{\partial |
\left(\frac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_{2}} |
||
+\mathrm{I} |
+\mathrm{I}_1\frac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_{3}}\right)\mathbf{b} |
||
+\frac{\partial w}{\partial |
+\frac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_{3}}\mathbf{b\cdot b}</math> <br /> |
||
Mit dem [[Satz von Cayley-Hamilton]]:<br /> |
Mit dem [[Satz von Cayley-Hamilton]]:<br /> |
||
<math>\begin{array}{lcl} |
<math>\begin{array}{lcl} |
||
\mathbf{b}^{3} |
\mathbf{b}^{3} |
||
&=& |
&=& |
||
\mathrm{I} |
\mathrm{I}_1\mathbf{b}^{2} |
||
-\mathrm{I}_{2}\mathbf{b} |
-\mathrm{I}_{2}\mathbf{b} |
||
+\mathrm{I}_{3}\mathbf{I} |
+\mathrm{I}_{3}\mathbf{I} |
||
Zeile 331: | Zeile 356: | ||
\mathbf{b}^{2} |
\mathbf{b}^{2} |
||
&=& |
&=& |
||
\mathrm{I} |
\mathrm{I}_1\mathbf{b} |
||
-\mathrm{I}_{2}\mathbf{I} |
-\mathrm{I}_{2}\mathbf{I} |
||
+\mathrm{I}_{3}\mathbf{b}^{-1} |
+\mathrm{I}_{3}\mathbf{b}^{-1} |
||
Zeile 338: | Zeile 363: | ||
ergibt sich <br /> |
ergibt sich <br /> |
||
<math>\begin{array}{lcl} |
<math>\begin{array}{lcl} |
||
\mathbf{b}\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
\mathbf{b}\cdot\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
&=&\left(\frac{\partial w}{\partial |
&=&\left(\frac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_1} |
||
+\mathrm{I} |
+\mathrm{I}_1\frac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_{2}} |
||
+\mathrm{I}_{2}\frac{\partial w}{\partial |
+\mathrm{I}_{2}\frac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_{3}}\right)\mathbf{b} |
||
- |
- |
||
\left(\frac{\partial w}{\partial |
\left(\frac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_{2}} |
||
+\mathrm{I} |
+\mathrm{I}_1\frac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_{3}}\right) |
||
\mathbf{b |
\mathbf{b\cdot b} |
||
+\frac{\partial w}{\partial |
+\frac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_{3}}\left(\mathrm{I}_1\mathbf{b}^{2} |
||
-\mathrm{I}_{2}\mathbf{b}+\mathrm{I}_{3}\textbf{I}\right) |
-\mathrm{I}_{2}\mathbf{b}+\mathrm{I}_{3}\textbf{I}\right) |
||
\\ |
\\ |
||
&=& |
&=& |
||
\mathrm{I}_{3}\frac{\partial w}{\partial |
\mathrm{I}_{3}\frac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_{3}}\textbf{I} |
||
+\left(\frac{\partial w}{\partial |
+\left(\frac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_1} |
||
+\mathrm{I} |
+\mathrm{I}_1\frac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_{2}}\right)\mathbf{b} |
||
-\frac{\partial w}{\partial |
-\frac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_{2}}\mathbf{b\cdot b} |
||
\\ |
\\ |
||
&=& |
&=& |
||
\left(\mathrm{I}_{2}\frac{{\partial}w}{{\partial}\mathrm{I}_{2}} |
\left(\mathrm{I}_{2}\frac{{\partial}w}{{\partial}\mathrm{I}_{2}} |
||
+\frac{{\partial}w}{{\partial}\mathrm{I}_{3}}\mathrm{I}_{3}\right)\mathbf{I} |
+\frac{{\partial}w}{{\partial}\mathrm{I}_{3}}\mathrm{I}_{3}\right)\mathbf{I} |
||
+\frac{{\partial}w}{{\partial}\mathrm{I} |
+\frac{{\partial}w}{{\partial}\mathrm{I}_1}\mathbf{b} |
||
-\mathrm{I}_{3}\frac{{\partial}w}{{\partial}\mathrm{I}_{2}}\mathbf{b}^{-1} |
-\mathrm{I}_{3}\frac{{\partial}w}{{\partial}\mathrm{I}_{2}}\mathbf{b}^{-1} |
||
\end{array} |
\end{array}\,.</math> |
||
|} |
|} |
||
Zeile 368: | Zeile 393: | ||
\boldsymbol{\sigma} |
\boldsymbol{\sigma} |
||
&=& |
&=& |
||
2 |
2\rho\mathbf{b}\cdot\dfrac{\mathrm{d}w(\mathrm{I}_1 , |
||
\mathrm{I}_{2},\mathrm{I}_{3} |
\mathrm{I}_{2},\mathrm{I}_{3})}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
= |
= |
||
2 |
2\dfrac{\rho_0}{J}\mathbf{b}\cdot\dfrac{\mathrm{d}w(\mathrm{I}_1 , |
||
\mathrm{I}_{2},\mathrm{I}_{3} |
\mathrm{I}_{2},\mathrm{I}_{3})}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
\\[2ex] |
\\[2ex] |
||
&=& |
&=& |
||
2 |
2\rho\mathrm{I}_{3}\dfrac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_{3}}\textbf{I} |
||
+2 |
+2\rho\left(\dfrac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_1} |
||
+\mathrm{I} |
+\mathrm{I}_1\dfrac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_{2}}\right)\mathbf{b} |
||
-2 |
-2\rho\dfrac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_{2}}\mathbf{b\cdot b} |
||
\\[2ex] |
\\[2ex] |
||
&=& |
&=& |
||
2 |
2\rho |
||
\left(\mathrm{I}_{2}\dfrac{\partial w}{\partial |
\left(\mathrm{I}_{2}\dfrac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_{2}} |
||
+\dfrac{\partial w}{\partial |
+\dfrac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_{3}}\mathrm{I}_{3}\right)\mathbf{I} |
||
+2 |
+2\rho\dfrac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_1}\mathbf{b} |
||
-2 |
-2\rho\mathrm{I}_{3}\dfrac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_{2}}\mathbf{b}^{-1} |
||
\end{array} |
\end{array} |
||
</math> |
\,.</math> |
||
==== Aufteilung in unimodularen und volumetrischen Anteil ==== |
==== Aufteilung in unimodularen und volumetrischen Anteil ==== |
||
Zeile 395: | Zeile 420: | ||
=J^{\frac{-2}{3}}\mathbf{b} |
=J^{\frac{-2}{3}}\mathbf{b} |
||
\rightarrow |
\rightarrow |
||
\operatorname{det} |
\operatorname{det}(\bar{\mathbf{b}}) |
||
=1 |
=1</math> |
||
benutzt werden was den Vorteil hat, dass der volumetrische |
benutzt werden was den Vorteil hat, dass der volumetrische [[Kugeltensor|Kugelanteil]] und der unimodulare, gestaltändernde Anteil getrennt modelliert werden können. Es werden dann die Invarianten |
||
:<math>\begin{array}{lcl} |
:<math>\begin{array}{lcl} |
||
\bar{\mathrm{I}} |
\bar{\mathrm{I}}_1(\mathbf{b}) |
||
&:=&\mathrm{Sp}(\bar{\mathbf{b}}) |
&:=&\mathrm{Sp}(\bar{\mathbf{b}}) |
||
=J^{\frac{-2}{3}}\mathrm{Sp}(\mathbf{b}) |
=J^{\frac{-2}{3}}\mathrm{Sp}(\mathbf{b}) |
||
\\[1ex] |
\\[1ex] |
||
\bar{\mathrm{I}}_{2}(\mathbf{b}) |
\bar{\mathrm{I}}_{2}(\mathbf{b}) |
||
&:=&\frac{1}{2}[\mathrm{Sp}{ |
&:=&\frac{1}{2}[\mathrm{Sp}{(\bar{\mathbf{b}})}^{2} |
||
-\mathrm{Sp}(\bar{\mathbf{b}} |
-\mathrm{Sp}(\bar{\mathbf{b}}\cdot\bar{\mathbf{b}})] |
||
=J^{\frac{-4}{3}}\mathrm{I}_{2}(\mathbf{b}) |
=J^{\frac{-4}{3}}\mathrm{I}_{2}(\mathbf{b}) |
||
\\[1ex] |
\\[1ex] |
||
J |
J |
||
&=& |
&=&\sqrt{\mathrm{I}_{3}(\mathbf{b})} |
||
=\sqrt{\operatorname{det}(\mathbf{b})} |
=\sqrt{\operatorname{det}(\mathbf{b})} |
||
\end{array} |
\end{array}</math> |
||
eingesetzt. Die folgende Tabelle gibt für symmetrische Tensoren gültige Ableitungen dieser Invarianten und der Formänderungsenergie. |
eingesetzt. Die folgende Tabelle gibt für symmetrische Tensoren gültige Ableitungen dieser Invarianten und der Formänderungsenergie. |
||
Zeile 419: | Zeile 444: | ||
{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" |
{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" |
||
|- |
|- |
||
! Ableitungen der Hauptinvarianten bei Kompressibilität |
! Ableitungen<ref name="Frechet" /> der Hauptinvarianten bei Kompressibilität |
||
|- |
|- |
||
| Die Ableitungen der Invarianten lauten: <br /> |
| Die Ableitungen der Invarianten lauten: <br /> |
||
<math>\frac{\mathrm{d}J}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
<math>\frac{\mathrm{d}J}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
=\frac{\mathrm{d}\sqrt{\operatorname{det}(\mathbf{b})}}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
=\frac{\mathrm{d}\sqrt{\operatorname{det}(\mathbf{b})}}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
=\frac{J}{2}\mathbf{b}^{-1} |
=\frac{J}{2}\mathbf{b}^{-1}</math> <br /> |
||
<math>\frac{\mathrm{d}\bar{\mathrm{I}} |
<math>\frac{\mathrm{d}\bar{\mathrm{I}}_1(\mathbf{b})}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathbf{b}}\left(J^{\frac{-2}{3}}\mathrm{I} |
=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
\left(J^{\frac{-2}{3}}\mathrm{I}_1(\mathbf{b})\right) |
|||
=J^{\frac{-2}{3}}\textbf{I}-\frac{\bar{\mathrm{I}} |
=J^{\frac{-2}{3}}\textbf{I}-\frac{\bar{\mathrm{I}}_1}{3}\mathbf{b}^{-1}</math> <br /> |
||
<math>\frac{\mathrm{d}\bar{\mathrm{I}}_{2}(\mathbf{b})}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
<math>\frac{\mathrm{d}\bar{\mathrm{I}}_{2}(\mathbf{b})}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathbf{b}}\left(J^{\frac{-4}{3}}\mathrm{I}_{2}(\mathbf{b})\right) |
=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
\left(J^{\frac{-4}{3}}\mathrm{I}_{2}(\mathbf{b})\right) |
|||
=J^{\frac{-2}{3}}\bar{\mathrm{I}} |
=J^{\frac{-2}{3}}\bar{\mathrm{I}}_1\textbf{I}-J^{\frac{-4}{3}}\mathbf{b} |
||
-\frac{2}{3}\bar{\mathrm{I}}_{2}\mathbf{b}^{-1} |
-\frac{2}{3}\bar{\mathrm{I}}_{2}\mathbf{b}^{-1}</math> <br /> |
||
Daraus folgt: <br /> |
Daraus folgt: <br /> |
||
<math>\begin{array}{lcl} |
<math>\begin{array}{lcl} |
||
\mathbf{b} |
\mathbf{b}\cdot\frac{ |
||
\mathrm{d}w(\bar{\mathrm{I}} |
\mathrm{d}w(\bar{\mathrm{I}}_1 ,\bar{\mathrm{I}}_{2},J)}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
)}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
|||
&=& |
&=& |
||
\mathbf{b} |
\mathbf{b}\cdot\left[\frac{\partial w}{\partial\bar{\mathrm{I}}_1} |
||
\left(J^{\frac{-2}{3}}\textbf{I}-\frac{\bar{\mathrm{I}} |
\left(J^{\frac{-2}{3}}\textbf{I}-\frac{\bar{\mathrm{I}}_1}{3}\mathbf{b}^{-1} |
||
\right) |
\right) |
||
+ |
+ |
||
\frac{\partial w}{\partial |
\frac{\partial w}{\partial\bar{\mathrm{I}}_{2}}\left(J^{\frac{-2}{3}} |
||
\bar{\mathrm{I}} |
\bar{\mathrm{I}}_1\textbf{I} |
||
-J^{\frac{-4}{3}}\mathbf{b} |
-J^{\frac{-4}{3}}\mathbf{b} |
||
-\frac{2}{3}\bar{\mathrm{I}}_{2}\mathbf{b}^{-1}\right) |
-\frac{2}{3}\bar{\mathrm{I}}_{2}\mathbf{b}^{-1}\right) |
||
Zeile 449: | Zeile 475: | ||
\\ |
\\ |
||
&=&\left(\frac{J}{2}\frac{\partial w}{\partial J} |
&=&\left(\frac{J}{2}\frac{\partial w}{\partial J} |
||
-\frac{\bar{\mathrm{I}} |
-\frac{\bar{\mathrm{I}}_1}{3}\frac{\partial w}{\partial\bar{\mathrm{I}}_1} |
||
-\frac{2}{3}\bar{\mathrm{I}}_{2}\frac{\partial w}{\partial |
-\frac{2}{3}\bar{\mathrm{I}}_{2}\frac{\partial w}{\partial\bar{\mathrm{I}}_{2}}\right)\textbf{I} |
||
+J^{\frac{-2}{3}}\left(\frac{\partial w}{\partial |
+J^{\frac{-2}{3}}\left(\frac{\partial w}{\partial\bar{\mathrm{I}}_1} |
||
+\bar{\mathrm{I}} |
+\bar{\mathrm{I}}_1\frac{\partial w}{\partial\bar{\mathrm{I}}_{2}}\right) |
||
\mathbf{b} |
|||
-J^{\frac{-4}{3}}\frac{\partial w}{\partial |
-J^{\frac{-4}{3}}\frac{\partial w}{\partial\bar{\mathrm{I}}_{2}}\mathbf{b\cdot b} |
||
\\ |
\\ |
||
&=& |
&=&\left(\frac{J}{2}\frac{\partial w}{\partial J} |
||
-\frac{\bar{\mathrm{I}} |
-\frac{\bar{\mathrm{I}}_1}{3}\frac{\partial w}{\partial\bar{\mathrm{I}}_1} |
||
+\frac{1}{3}\bar{\mathrm{I}}_{2}\frac{\partial w}{\partial |
+\frac{1}{3}\bar{\mathrm{I}}_{2}\frac{\partial w}{\partial\bar{\mathrm{I}}_{2}} |
||
\right)\mathbf{I} |
\right)\mathbf{I} |
||
+J^{\frac{-2}{3}}\frac{\partial w}{\partial |
+J^{\frac{-2}{3}}\frac{\partial w}{\partial\bar{\mathrm{I}}_1}\mathbf{b} |
||
-J^{\frac{2}{3}}\frac{\partial w}{\partial |
-J^{\frac{2}{3}}\frac{\partial w}{\partial\bar{\mathrm{I}}_{2}}\mathbf{b}^{-1} |
||
\end{array} |
\end{array}</math> <br /> |
||
denn nach dem [[Satz von Cayley-Hamilton]] ist<br /> |
denn nach dem [[Satz von Cayley-Hamilton]] ist<br /> |
||
:<math> |
:<math> |
||
\mathbf{b}^{2} |
\mathbf{b}^{2} |
||
= |
= |
||
\mathrm{I} |
\mathrm{I}_1\mathbf{b} |
||
-\mathrm{I}_{2}\mathbf{I} |
-\mathrm{I}_{2}\mathbf{I} |
||
+ |
+\mathrm{I}_{3}\mathbf{b}^{-1}\,.</math> |
||
|} |
|} |
||
Zeile 476: | Zeile 503: | ||
\boldsymbol{\sigma} |
\boldsymbol{\sigma} |
||
&=& |
&=& |
||
2\rho |
2\rho\mathbf{b}\cdot\dfrac{\mathrm{d}w(\bar{\mathrm{I}}_1 , |
||
\bar{\mathrm{I}}_{2},J |
\bar{\mathrm{I}}_{2},J)}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
= |
= |
||
2\dfrac{\rho_0}{J} |
2\dfrac{\rho_0}{J}\mathbf{b}\cdot\dfrac{ |
||
\mathrm{d}w |
\mathrm{d}w(\bar{\mathrm{I}}_1 , |
||
\bar{\mathrm{I}}_{2},J |
\bar{\mathrm{I}}_{2},J)}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
\\[2ex] |
\\[2ex] |
||
&=&\rho\left(J\dfrac{\partial w}{\partial J} |
&=&\rho\left(J\dfrac{\partial w}{\partial J} |
||
-\dfrac{2\bar{\mathrm{I}} |
-\dfrac{2\bar{\mathrm{I}}_1}{3}\dfrac{\partial w}{\partial\bar{\mathrm{I}}_1} |
||
-\dfrac{4\bar{\mathrm{I}}_{2}}{3}\dfrac{\partial w}{\partial |
-\dfrac{4\bar{\mathrm{I}}_{2}}{3}\dfrac{\partial w}{\partial\bar{\mathrm{I}}_{2}}\right)\textbf{I} |
||
+2\rho\left(\dfrac{\partial w}{\partial |
+2\rho\left(\dfrac{\partial w}{\partial\bar{\mathrm{I}}_1} |
||
+\bar{\mathrm{I}} |
+\bar{\mathrm{I}}_1\dfrac{\partial w}{\partial\bar{\mathrm{I}}_{2}}\right) |
||
\bar{\mathbf{b}} |
|||
-2\rho\dfrac{\partial w}{\partial |
-2\rho\dfrac{\partial w}{\partial\bar{\mathrm{I}}_{2}} |
||
\bar{\mathbf{b}} |
\bar{\mathbf{b}}\cdot\bar{\mathbf{b}} |
||
\\[2ex] |
\\[2ex] |
||
&=& |
&=&\rho\left(J\dfrac{\partial w}{\partial J} |
||
-\dfrac{2 |
-\dfrac{2\bar{\mathrm{I}}_1}{3}\dfrac{\partial w}{\partial\bar{\mathrm{I}}_1} |
||
+\dfrac{2 |
+\dfrac{2\bar{\mathrm{I}}_{2}}{3}\dfrac{\partial w}{\partial\bar{\mathrm{I}}_{2}} |
||
\right)\mathbf{I} |
\right)\mathbf{I} |
||
+2\rho |
+2\rho\dfrac{\partial w}{\partial\bar{\mathrm{I}}_1}\bar{\mathbf{b}} |
||
-2\rho |
-2\rho\dfrac{\partial w}{\partial\bar{\mathrm{I}}_{2}}\bar{\mathbf{b}}^{-1} |
||
\end{array} |
\end{array}\,.</math> |
||
=== Isotrope inkompressible Hyperelastitzität === |
=== Isotrope inkompressible Hyperelastitzität === |
||
Bei Inkompressibilität entfällt eine Abhängigkeit von <math> |
Bei Inkompressibilität entfällt eine Abhängigkeit von <math>J</math> weil <math>J</math> konstant gleich eins ist. Daher werden nur die Hauptinvarianten |
||
:<math>\begin{array}{lcl} |
:<math>\begin{array}{lcl} |
||
\mathrm{I} |
\mathrm{I}_1(\mathbf{b}) |
||
&=&\mathrm{Sp}(\mathbf{b}) |
&=&\mathrm{Sp}(\mathbf{b}) |
||
\\ |
\\ |
||
\mathrm{I}_{2}(\mathbf{b}) |
\mathrm{I}_{2}(\mathbf{b}) |
||
&=&\frac{1}{2}[\mathrm{Sp}{(\mathbf{b})}^{2} |
&=&\frac{1}{2}[\mathrm{Sp}{(\mathbf{b})}^{2} |
||
-\mathrm{Sp}(\mathbf{b |
-\mathrm{Sp}(\mathbf{b\cdot b})] |
||
\end{array} |
\end{array}</math> |
||
eingesetzt. Die folgende Tabelle gibt für symmetrische Tensoren gültige Ableitungen dieser Invarianten und der Formänderungsenergie. |
eingesetzt. Die folgende Tabelle gibt für symmetrische Tensoren gültige Ableitungen dieser Invarianten und der Formänderungsenergie. |
||
Zeile 515: | Zeile 543: | ||
{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" |
{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" |
||
|- |
|- |
||
! Ableitungen der Hauptinvarianten bei Inkompressibilität |
! Ableitungen<ref name="Frechet" /> der Hauptinvarianten bei Inkompressibilität |
||
|- |
|- |
||
| Die Ableitungen der beiden Hauptinvarianten lauten für symmetrische Tensoren: <br /> |
| Die Ableitungen der beiden Hauptinvarianten lauten für symmetrische Tensoren: <br /> |
||
<math>\frac{\mathrm{d}\mathrm{I} |
<math>\frac{\mathrm{d}\mathrm{I}_1(\mathbf{b})}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
=\frac{\mathrm{d}\mathrm{Sp}(\mathbf{b})}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
=\frac{\mathrm{d}\mathrm{Sp}(\mathbf{b})}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
=\mathbf{I} |
=\mathbf{I}</math> <br /> |
||
<math>\frac{\mathrm{d}\mathrm{I}_{2}(\mathbf{b})}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
<math>\frac{\mathrm{d}\mathrm{I}_{2}(\mathbf{b})}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
=\mathrm{I} |
=\mathrm{I}_1(\mathbf{b})\textbf{I}-\mathbf{b}</math> <br /> |
||
Es folgt: <br /> |
Es folgt: <br /> |
||
<math> |
<math>\mathbf{b}\cdot\frac{ |
||
\mathrm{d}w(\mathrm{I} |
\mathrm{d}w(\mathrm{I}_1 ,\mathrm{I}_{2})}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
=\mathbf{b} |
=\mathbf{b}\cdot\left(\frac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_1}\textbf{I} |
||
+\frac{\partial w}{\partial |
+\frac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_{2}} |
||
(\mathrm{I}_1\textbf{I}-\mathbf{b})\right) |
|||
=\left(\frac{\partial w}{\partial |
=\left(\frac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_1} |
||
+\mathrm{I} |
+\mathrm{I}_1\frac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_{2}}\right)\mathbf{b} |
||
-\frac{\partial w}{\partial |
-\frac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_{2}}\mathbf{b\cdot b}</math> <br /> |
||
Mit dem Satz von Cayley-Hamilton im Fall der Inkompressibilität <br /> |
Mit dem Satz von Cayley-Hamilton im Fall der Inkompressibilität <br /> |
||
<math> |
<math>\mathbf{b\cdot b} |
||
=\mathrm{I} |
=\mathrm{I}_1\mathbf{b} |
||
-\mathrm{I}_{2}\textbf{I}+\mathbf{b}^{-1} |
-\mathrm{I}_{2}\textbf{I}+\mathbf{b}^{-1}</math> <br /> |
||
ergibt sich<br /> |
ergibt sich<br /> |
||
<math> |
<math>\mathbf{b}\cdot\frac{\mathrm{d}w(\mathrm{I}_1 , |
||
\mathrm{I}_{2} |
\mathrm{I}_{2})}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
=\frac{\partial w}{\partial |
=\frac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_1}\mathbf{b} |
||
+\mathrm{I}_{2}\frac{\partial w}{\partial |
+\mathrm{I}_{2}\frac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_{2}}\textbf{I}-\frac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_{2}}\mathbf{b}^{-1}</math> |
||
|} |
|} |
||
Zeile 547: | Zeile 575: | ||
:<math>\boldsymbol{\sigma} |
:<math>\boldsymbol{\sigma} |
||
=-p\mathbf{I} |
=-p\mathbf{I} |
||
+2\ |
+2\rho_0\mathbf{b} |
||
\frac{\mathrm{d}w |
\frac{\mathrm{d}w(\mathrm{I}_1 ,\mathrm{I}_{2})}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
=-p\mathbf{I} |
=-p\mathbf{I} |
||
+2\ |
+2\rho_0\left(\frac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_1} |
||
+\mathrm{I} |
+\mathrm{I}_1\frac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_{2}}\right)\mathbf{b} |
||
-2\ |
-2\rho_0\frac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_{2}}\mathbf{b\cdot b}</math> |
||
oder |
oder |
||
Zeile 558: | Zeile 586: | ||
:<math>\boldsymbol{\sigma} |
:<math>\boldsymbol{\sigma} |
||
=-p\mathbf{I} |
=-p\mathbf{I} |
||
+2\ |
+2\rho_0\frac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_1}\mathbf{b} |
||
-2\ |
-2\rho_0\frac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_{2}}\mathbf{b}^{-1}</math> |
||
wobei der Term <math>2\rho_0\mathrm{I}_{2}\frac{\partial w}{\partial\mathrm{I}_{2}}\mathbf{I}</math> dem unbestimmten [[Kugeltensor|Kugelanteil]] <math>-p\mathbf{I}</math> zugeschlagen wurde. |
|||
=== Benutzung der Eigenwerte von v === |
=== Benutzung der Eigenwerte von v === |
||
Auch die [[Eigenwertproblem|Eigenwerte]] <math> |
Auch die [[Eigenwertproblem|Eigenwerte]] <math>\lambda_{1,2,3}</math> des linken Strecktensors <math>\mathbf{v}</math> können als Invarianten benutzt werden und zwar sowohl bei Kompressibilität als auch bei Inkompressibilität. Die folgende Tabelle gibt für symmetrische Tensoren gültige Ableitungen der Eigenwerte und der Formänderungsenergie. |
||
{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" |
{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" |
||
|- |
|- |
||
! Ableitungen der Eigenwerte von '''v''' |
! Ableitungen<ref name="Frechet" /> der Eigenwerte von '''v''' |
||
|- |
|- |
||
| Die Eigenwerte von <math> |
| Die Eigenwerte von <math>\mathbf{b}</math> sind die Quadrate der Eigenwerte <math>\lambda_{i}</math> von <math>\mathbf{v}</math> aber beide Tensoren haben dieselben Eigenvektoren. Diese sind paarweise senkrecht aufeinander oder orthogonalisierbar weil <math>\mathbf{b}</math> und <math>\mathbf{v}</math> symmetrisch sind. Aus dem [[Charakteristisches Polynom|charakteristischen Polynom]] von <math>\mathbf{b}</math> berechnet sich mit der [[Kettenregel]] und [[Implizite Differentiation|impliziter Differentiation]] <br /> |
||
:<math>\frac{\mathrm{d}\lambda_{i}}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
:<math>\frac{\mathrm{d}\lambda_{i}}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
=\frac{ |
=\frac{(\mathrm{I}_1 |
||
-\lambda_i^{2} |
-\lambda_i^{2})\mathbf{b} |
||
-\mathbf{b |
-\mathbf{b\cdot b} |
||
- |
-(\lambda_i^{4}-\mathrm{I}_1\lambda_i^{2}+\mathrm{I}_{2})\textbf{I}}{2\lambda_{i}(2\mathrm{I}_1\lambda_i^{2}-\mathrm{I}_{2}-3\lambda_i^{4})}</math> <br /> |
||
Für die Eigenvektoren <math> |
Für die Eigenvektoren <math>\vec{v}_{1,2,3}</math> von <math>\mathbf{b}</math> und <math>\mathbf{v}</math> lässt sich <br /> |
||
:<math> |
:<math>2\lambda_{i}\vec{v}_{k}\cdot |
||
\frac{\partial |
\frac{\partial\lambda_{i}}{\partial\mathbf{b}}\cdot\vec{v}_{k} |
||
=\frac{ |
=\frac{(\mathrm{I}_1 -\lambda_i^{2})\lambda_k^{2}-\lambda_k^{4}-\lambda_i^{4} |
||
+\mathrm{I} |
+\mathrm{I}_1\lambda_i^{2} |
||
-\mathrm{I}_{2}}{2\mathrm{I} |
-\mathrm{I}_{2}}{2\mathrm{I}_1\lambda_i^{2} |
||
-\mathrm{I}_{2}-3\lambda_i^{4}} |
-\mathrm{I}_{2}-3\lambda_i^{4}} |
||
={\delta}_{ik}: |
={\delta}_{ik}: |
||
=\left |
=\left\lbrace\begin{array}{lll} |
||
1&\mathrm{falls} & i = k |
1&\mathrm{falls} & i = k |
||
\\ |
\\ |
||
0&\mathrm{sonst} & |
0&\mathrm{sonst} & |
||
\end{array}\right. |
\end{array}\right.</math> <br /> |
||
nachweisen. Unter Ausnutzung von <math>\vec{v}_{i}\cdot\vec{v}_{k} |
nachweisen. Unter Ausnutzung von <math>\vec{v}_{i}\cdot\vec{v}_{k} |
||
=\delta_{ik} |
=\delta_{ik}</math>, ergibt sich ferner<br /> |
||
<math>\vec{v}_{j}\cdot\frac{\mathrm{d}\lambda_{i}}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
|||
\cdot\vec{v}_{k} |
|||
=0 |
|||
=0 </math> falls <math> j\ne k </math> <br /> |
|||
\quad\textsf{falls}\quad |
|||
j\ne k</math> <br /> |
|||
woraus <br /> |
woraus <br /> |
||
<math>\frac{\mathrm{d}\lambda_{i}}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
<math>\frac{\mathrm{d}\lambda_{i}}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
=\frac{1}{2\lambda_{i}}\vec{v}_{i}\otimes\vec{v}_{i} |
=\frac{1}{2\lambda_{i}}\vec{v}_{i}\otimes\vec{v}_{i}</math> <br /> |
||
folgt. Das Rechenzeichen <math>\otimes</math> |
folgt (keine Summe). Das Rechenzeichen „<math>\otimes</math>“ markiert das [[Dyadisches Produkt|dyadische Produkt]]. Mit der spektralen Zerlegung <br /> |
||
<math> |
<math>\mathbf{b} |
||
=\sum_{i=1}^{3}\lambda_i^{2}\vec{v}_{i}\otimes\vec{v}_{i} |
=\sum_{i=1}^{3}\lambda_i^{2}\vec{v}_{i}\otimes\vec{v}_{i}</math> <br /> |
||
resultiert: <br /> |
resultiert: <br /> |
||
<math> |
<math>2\mathbf{b}\cdot\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
=2\mathbf{b} |
=2\mathbf{b}\cdot\left(\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial w}{\partial\lambda_{i}} |
||
\frac{\mathrm{d}\lambda_{i}}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
\frac{\mathrm{d}\lambda_{i}}{\mathrm{d}\mathbf{b}}\right) |
||
=\sum_{i=1}^{3}\lambda_{i}\frac{\partial w}{\partial |
=\sum_{i=1}^{3}\lambda_{i}\frac{\partial w}{\partial\lambda_{i}} |
||
\vec{v}_{i}\otimes\vec{v}_{i} |
\vec{v}_{i}\otimes\vec{v}_{i}</math> |
||
|} |
|} |
||
Zeile 610: | Zeile 641: | ||
:<math>\boldsymbol{\sigma} |
:<math>\boldsymbol{\sigma} |
||
=2\rho |
=2\rho\mathbf{b}\cdot\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathbf{b}} |
||
=\ |
=\rho\sum_{i=1}^{3}\lambda_{i} |
||
\frac{\partial w}{\partial |
\frac{\partial w}{\partial\lambda_{i}} |
||
\vec{v}_{i}\otimes\vec{v}_{i} |
\vec{v}_{i}\otimes\vec{v}_{i} |
||
=\rho_0\sum_{i=1}^{3}\frac{\lambda_{i}}{J} |
|||
\frac{\partial w}{\partial\lambda_{i}} |
|||
\vec{v}_{i}\otimes\vec{v}_{i} |
|||
\,.</math> |
|||
Das Rechenzeichen <math> |
Das Rechenzeichen „<math>\otimes</math>“ markiert das [[Dyadisches Produkt|dyadische Produkt]] und <math>\vec{v}_{1,2,3}</math> sind die auf eins normierten Eigenvektoren von <math>\mathbf{b}</math>. Im Fall der Inkompressibilität kann zusätzlich |
||
:<math>\lambda_1 |
:<math>\lambda_1\lambda_2\lambda_3 =\operatorname{det}(\mathbf{F}) = 1 |
||
\quad\rightarrow\quad |
\quad\rightarrow\quad |
||
\lambda_3 = |
\lambda_3 =\frac{1}{\lambda_1\lambda_2} |
||
</math> |
</math> |
||
eingesetzt werden. |
eingesetzt werden. |
||
Zeile 629: | Zeile 664: | ||
:<math>\begin{array}{rcl} |
:<math>\begin{array}{rcl} |
||
\ |
\rho_0 w_0(\mathbf{E}) |
||
&=& |
&=& |
||
G |
G\left[\mathbf{E}:\mathbf{E} |
||
+\frac{\nu}{1-2\nu}\mathrm{Sp}{(\mathbf{E})}^{2}\right] |
+\frac{\nu}{1-2\nu}\mathrm{Sp}{(\mathbf{E})}^{2}\right] |
||
\\ |
\\ |
||
Zeile 637: | Zeile 672: | ||
\tilde{\mathbf{T}} |
\tilde{\mathbf{T}} |
||
&=& |
&=& |
||
\ |
\rho_0\dfrac{\mathrm{d}w_0}{\mathrm{d}\mathbf{E}} |
||
=2G\left[\mathbf{E}+\frac{\nu}{1-2\nu}\mathrm{Sp}(\mathbf{E})\textbf{I}\right] |
=2G\left[\mathbf{E}+\frac{\nu}{1-2\nu}\mathrm{Sp}(\mathbf{E})\textbf{I}\right] |
||
\end{array} |
\end{array} |
||
</math> |
\,.</math> |
||
Der Materialparameter <math> |
Der Materialparameter <math>G</math> ist der [[Schubmodul]] und <math>\nu</math> die [[Querkontraktionszahl]]. Aus der zweiten Ableitung<ref name="Frechet" /> nach den Verzerrungen <math>\mathbf{E}</math> berechnet sich der konstante und symmetrische [[Elastizitätstensor]] vierter Stufe |
||
:<math> |
:<math>\begin{array}{rcl} |
||
\mathbb{C} |
|||
\stackrel{4}{\mathbf{C}} |
|||
&:=& |
&:=& |
||
\dfrac{\mathrm{d}\tilde{\mathbf{T}}}{\mathrm{d}\mathbf{E}} |
\dfrac{\mathrm{d}\tilde{\mathbf{T}}}{\mathrm{d}\mathbf{E}} |
||
= |
= |
||
2 G |
2 G\mathbb{I} |
||
+ |
+\lambda\mathbf{I}\otimes\mathbf{I} |
||
= |
|||
\mathbb{C}^\top |
|||
\\ |
\\ |
||
\rightarrow |
\rightarrow\tilde{\mathbf{T}} |
||
&=& |
&=& |
||
\ |
\mathbb{C}:\mathbf{E} |
||
\quad\rightarrow\quad |
\quad\rightarrow\quad |
||
w_0 =\frac{1}{2\rho_0}\mathbf{E}:\mathbb{C}:\mathbf{E} |
|||
\end{array} |
\end{array}</math> |
||
mit dem [[Einheitstensor|Einheitstensor vierter Stufe]] <math> |
mit dem [[Einheitstensor|Einheitstensor vierter Stufe]] <math>\mathbb{I}</math> und der [[Lamé-Konstanten]] |
||
:<math>\lambda = |
:<math>\lambda =\frac{2 G\nu}{1-2\nu}\,.</math> |
||
Dieses Modell verallgemeinert das Hooke’sche Gesetz auf große Deformationen liefert aber nur bei moderaten Dehnungen plausible Antworten. Die Dehnung, die dem Zusammendrücken eines Stabes auf null Länge entspricht, ergibt beispielsweise verschwindende Spannungen. Es approximiert aber jedwedes hyperelastische Modell bei kleinen Dehnungen in erster Ordnung. |
Dieses Modell verallgemeinert das Hooke’sche Gesetz auf große Deformationen liefert aber nur bei moderaten Dehnungen physikalisch plausible Antworten. Die Dehnung, die dem Zusammendrücken eines Stabes auf null Länge entspricht, ergibt beispielsweise verschwindende Cauchy-Spannungen. Es approximiert aber jedwedes hyperelastische Modell bei kleinen Dehnungen in erster Ordnung. |
||
==== Mooney-Rivlin-Modell ==== |
==== Mooney-Rivlin-Modell ==== |
||
Zeile 669: | Zeile 706: | ||
Eine Approximation zweiter Ordnung für inkompressible hyperelastische Körper stellt das Mooney-Rivlin-Modell |
Eine Approximation zweiter Ordnung für inkompressible hyperelastische Körper stellt das Mooney-Rivlin-Modell |
||
:<math>\ |
:<math>\rho_0 w |
||
=\frac{G}{2}\left[\left(\frac{1}{2}+\beta\right) |
=\frac{G}{2}\left[\left(\frac{1}{2}+\beta\right)(\mathrm{I}_1 -3) |
||
+\left(\frac{1}{2}-\beta\right) |
+\left(\frac{1}{2}-\beta\right)(\mathrm{I}_{2}-3)\right] |
||
</math> |
</math> |
||
:<math> |
:<math> |
||
\rightarrow |
\rightarrow\mathbf{T} |
||
=-p\mathbf{I} |
=-p\mathbf{I} |
||
+G\left[\left(\beta +\frac{1}{2}\right)\mathbf{b} |
+G\left[\left(\beta +\frac{1}{2}\right)\mathbf{b} |
||
+\left(\beta -\frac{1}{2}\right)\mathbf{b}^{-1}\right] |
+\left(\beta -\frac{1}{2}\right)\mathbf{b}^{-1}\right]</math> |
||
dar. |
dar. Die Invarianten <math>\operatorname{I}_{1,2}</math> gehören zum Strecktensor <math>\mathbf{b}</math>, der Parameter <math>G> 0</math> ist der [[Schubmodul]] und die dimensionslose Kennziffer <math>\beta</math> mit |
||
:<math>\frac{-1}{2} |
:<math>\frac{-1}{2}\le\beta\le\frac{1}{2}</math> |
||
repräsentiert Effekte zweiter Ordnung. Oftmals werden stattdessen die Parameter |
repräsentiert Effekte zweiter Ordnung. Oftmals werden stattdessen die Parameter |
||
:<math> |
:<math>C_{10} |
||
=G\left(\frac{1}{2}+\beta\right),C_{01} |
=G\left(\frac{1}{2}+\beta\right),C_{01} |
||
=G\left(\frac{1}{2}-\beta\right) |
=G\left(\frac{1}{2}-\beta\right)\,,</math> |
||
benutzt, die beide nicht negativ sein dürfen. |
benutzt, die beide nicht negativ sein dürfen. |
||
Zeile 696: | Zeile 733: | ||
:<math>\beta =\frac{1}{2} |
:<math>\beta =\frac{1}{2} |
||
\quad\Leftrightarrow\quad |
\quad\Leftrightarrow\quad |
||
C_{01} = 0 |
C_{01} = 0</math> |
||
des Mooney-Rivlin Materials: |
des Mooney-Rivlin Materials: |
||
:<math>\ |
:<math>\rho_0 w |
||
=\frac{C_{10}}{2} |
=\frac{C_{10}}{2}(\mathrm{I}_1 -3)\rightarrow\boldsymbol{\sigma} |
||
=-p\mathbf{I}+C_{10}\mathbf{b} |
=-p\mathbf{I}+C_{10}\mathbf{b}\,.</math> |
||
In dem ein volumetrischer Term hinzugefügt wird und die Invariante <math> |
In dem ein volumetrischer Term hinzugefügt wird und die Invariante <math>\bar{\mathrm{I}}_1(\mathbf{b})</math> statt <math>\mathrm{I}_1(\mathbf{b})</math> benutzt wird, entsteht eine auch bei großen Dehnungen plausible Verallgemeinerung des Hooke’schen Stoffgesetzes für kompressible Elastomere: |
||
:<math>\ |
:<math>\rho_0 w |
||
=\frac{C_{10}}{2} |
=\frac{C_{10}}{2}(\bar{\mathrm{I}}_1 -3)+\frac{K}{2}\ln {(J)}^{2}\rightarrow\boldsymbol{\sigma} |
||
=K\frac{\ln |
=K\frac{\ln(J)}{J}\textbf{I}+\frac{C_{10}}{J} |
||
\left(\bar{\mathbf{b}}-\frac{\bar{\mathrm{I}}_1}{3}\textbf{I}\right)\,.</math> |
|||
Der Parameter <math> |
Der Parameter <math>K</math> kontrolliert die [[Kompressionsmodul|Kompressibilität]]. Es wurden aber auch noch andere Formulierungen für den volumetrischen Anteil vorgeschlagen<ref>Parisch (2003), S. 164</ref>. |
||
==== Ogden-Modell ==== |
==== Ogden-Modell ==== |
||
Das Ogden-Modell ist ein Modell für inkompressible Hyperelastizität. Dieses Modell ist in den Eigenwerten des linken Strecktensors formuliert: |
Das Ogden-Modell ist ein Modell für inkompressible Hyperelastizität. Dieses Modell ist in den Eigenwerten des linken Strecktensors formuliert: |
||
:<math>\ |
:<math>\rho_0 w |
||
=\sum_{i |
=\sum_{i |
||
=1}^{n}\frac{{\mu}_{i}}{{\alpha}_{i}} |
=1}^{n}\frac{{\mu}_{i}}{{\alpha}_{i}}(\lambda_1 ^{{\alpha}_{i}}+\lambda_{2}^{{\alpha}_{i}}+\lambda_{3}^{{\alpha}_{i}}-3)\,.</math> |
||
Die Zahlen <math>\mu_i</math> und <math>\alpha_i</math> stellen die <math>2n</math> Materialparameter dieses Modells dar. |
Die Zahlen <math>\mu_i</math> und <math>\alpha_i</math> stellen die <math>2n</math> Materialparameter dieses Modells dar. |
||
Das Neo-Hooke-Modell ist der Spezialfall |
Das Neo-Hooke-Modell ist der Spezialfall |
||
<math> |
<math>n=1</math> und <math>{\alpha}_1 =2</math> und mit <math>n=2,{\alpha}_1 =2</math> und <math>{\alpha}_{2}=-2</math> ergibt sich das Mooney-Rivlin-Modell. |
||
==== Näherung mit Taylorpolynomen ==== |
==== Näherung mit Taylorpolynomen ==== |
||
Wenn <math> |
Wenn <math>w(\mathrm{I}_1 ,\mathrm{I}_{2})</math> an der Stelle <math>\mathrm{I}_1 |
||
=3 |
=3</math> und <math>\mathrm{I}_{2} |
||
=3 |
=3</math> durch ein [[Taylorpolynom]] angenähert wird, entsteht: |
||
:<math>\ |
:<math>\rho_0 w |
||
=\sum_{i+j=1}^{n} C_{ij}(\mathrm{I} |
=\sum_{i+j=1}^{n} C_{ij}(\mathrm{I}_1 -3)^{i}(\mathrm{I}_{2}-3)^{j}\,.</math> |
||
Die Zahlen <math> |
Die Zahlen <math>C_{ij}</math> sind Materialparameter. Auch in diesem Modell sind das Neo-Hooke- und Mooney-Rivlin-Modell als Spezialfälle enthalten. |
||
== Anisotrope Hyperelastizität == |
== Anisotrope Hyperelastizität == |
||
Bei einem [[Transversale Isotropie|transversal isotropen Material]], wie z. B. [[Unidirektionale_Schicht|unidirektional verstärkte Kunststoffe]], kann eine Probe beliebig um die Faserrichtung gedreht werden, senkrecht zur Faser aber nur um 180°, ohne dass sich die Formänderungsenergie bei gegebener Dehnung ändert. Diese Drehungen können in einer Menge <math>\mathcal{G}</math> zusammengefasst werden. Wenn zwei Drehungen aus <math>\mathcal{G}</math> hintereinander |
Bei einem [[Transversale Isotropie|transversal isotropen Material]], wie z. B. [[Unidirektionale_Schicht|unidirektional verstärkte Kunststoffe]], kann eine Probe beliebig um die Faserrichtung gedreht werden, senkrecht zur Faser aber nur um 180°, ohne dass sich die Formänderungsenergie bei gegebener Dehnung ändert. Diese Drehungen können in einer Menge <math>\mathcal{G}</math> zusammengefasst werden. Wenn zwei Drehungen aus <math>\mathcal{G}</math> hintereinander ausgeführt werden, wird wieder eine Drehung aus <math>\mathcal{G}</math> erhalten. Mit der 0°-Drehung als neutralem und der Rückdrehung als inversem Element stellt <math>\mathcal{G}</math> eine Gruppe dar: die Symmetriegruppe des Materials. |
||
Allgemein wird die Richtungsabhängigkeit eines Materials durch die Symmetriegruppe |
Allgemein wird die Richtungsabhängigkeit eines Materials durch die Symmetriegruppe des Materials beschrieben. Diese Gruppe beinhaltet alle Drehungen, die im materiellen Punkt stattfinden dürfen, ohne dass sich bei gegebener Dehnung die Formänderungsenergie ändert. Drehungen werden mathematisch mit [[Orthogonaler Tensor|orthogonalen Tensoren]] <math>\mathbf{Q}</math> ( mit <math>\mathbf{Q}\cdot\mathbf{Q}^\top=\mathbf{I}</math>) beschrieben. Entsprechend ist die Symmetriegruppe des Materials die Menge <math>\mathcal{G}</math> von orthogonalen Tensoren <math>\mathbf{Q}</math> die definiert ist über: |
||
:<math> |
:<math>\mathbf{Q}\in\mathcal{G} |
||
\quad\Leftrightarrow |
\quad\Leftrightarrow\quad |
||
w_0(\mathbf{E}) |
|||
= |
=w_0(\mathbf{Q\cdot E\cdot Q}^\top)\,.</math> |
||
Eine spezifische Formänderungsenergie mit dieser Eigenschaft kann mit tensoriellen Strukturvariablen <math> |
Eine spezifische Formänderungsenergie mit dieser Eigenschaft kann mit tensoriellen Strukturvariablen <math>\mathbf{M}_{i}</math> formuliert werden: |
||
:<math> |
:<math>w_0=w_0(\mathbf{E},\mathbf{M}_1 ,\mathbf{M}_{2},\ldots)\,.</math> |
||
Allerdings ist es im Allgemeinen nicht einfach diese Strukturvariablen aufzufinden, die Tensoren zweiter, vierter oder sechster Stufe sein können. |
Allerdings ist es im Allgemeinen nicht einfach diese Strukturvariablen aufzufinden, die Tensoren zweiter, vierter oder sechster Stufe sein können. |
||
Zeile 753: | Zeile 791: | ||
Bei der transversalen Isotropie ist es jedoch einfach, denn es genügt eine Strukturvariable |
Bei der transversalen Isotropie ist es jedoch einfach, denn es genügt eine Strukturvariable |
||
:<math> |
:<math>\mathbf{M} =\vec{m}\otimes\vec{m}</math> |
||
mit einem Vektor <math>\vec{m} |
mit einem Vektor <math>\vec{m}</math>, der senkrecht auf der Isotropie-Ebene des Materials steht oder parallel zur Faserrichtung ist. Ist speziell bezüglich der [[Standardbasis]] |
||
:<math> |
:<math>\mathbf{M}=\vec{e}_1\otimes\vec{e}_1</math> |
||
hängt die Formänderungsenergie dann von den Invarianten |
hängt die Formänderungsenergie dann von den Invarianten |
||
Zeile 765: | Zeile 803: | ||
&=&E_{11}+E_{22}+E_{33} |
&=&E_{11}+E_{22}+E_{33} |
||
\\ |
\\ |
||
\mathrm{Sp}(\mathbf{E |
\mathrm{Sp}(\mathbf{E\cdot E}) |
||
&=&E_{11}^{2}+E_{22}^{2}+E_{33}^{2}+2E_{12}^{2}+2E_{23}^{2}+2E_{13}^{2} |
&=&E_{11}^{2}+E_{22}^{2}+E_{33}^{2}+2E_{12}^{2}+2E_{23}^{2}+2E_{13}^{2} |
||
\\ |
\\ |
||
\mathrm{Sp}(\mathbf{M |
\mathrm{Sp}(\mathbf{M\cdot E})&=&E_{11} |
||
\\ |
\\ |
||
\mathrm{Sp}(\mathbf{M |
\mathrm{Sp}(\mathbf{M\cdot E\cdot E}) |
||
&=& E_{11}^{2}+E_{12}^{2}+E_{13}^{2} |
&=& E_{11}^{2}+E_{12}^{2}+E_{13}^{2} |
||
\\ |
\\ |
||
\operatorname{det}(\mathbf{E}) |
\operatorname{det}(\mathbf{E}) |
||
\end{array} |
\end{array}</math> |
||
ab. Die Komponenten <math> |
ab. Die Komponenten <math>E_{ij}</math> des Green-Lagrange’schen Verzerrungstensors <math>\mathbf{E}</math> beziehen sich auf die Standardbasis. Analog werden andere Arten der Anisotropie durch Angabe der jeweils gültigen Invarianten beschrieben<ref>Haupt (2000), S. 361ff</ref>. |
||
=== Transversal isotrope Hyperelastizität === |
|||
Im Fall der [[Hookesches Gesetz|linearen Elastizität]] kann gezeigt werden, dass ein anisotropes hyperelastisches Material von maximal 21 Materialparametern abhängt. |
|||
=== Transversale Hyperelastizität === |
|||
{{Hauptartikel|Transversale Isotropie}} |
{{Hauptartikel|Transversale Isotropie}} |
||
[[Datei:Transversale Isotropie.png|mini|Bildhafte Erklärung der transversalen Isotropie.<br />Der Werkstoff ist rotationssymmetrisch bezüglich der 1-Achse, die senkrecht auf der isotropen 2-3-Ebene steht.<br />Ein so orientierter Rundstab aus diesem Material kann um seine Längsachse gedreht werden, ohne dass sich seine Eigenschaften ändern.]] |
[[Datei:Transversale Isotropie.png|mini|Bildhafte Erklärung der transversalen Isotropie.<br />Der Werkstoff ist rotationssymmetrisch bezüglich der 1-Achse, die senkrecht auf der isotropen 2-3-Ebene steht.<br />Ein so orientierter Rundstab aus diesem Material kann um seine Längsachse gedreht werden, ohne dass sich seine Eigenschaften ändern.]] |
||
Bei der |
Bei der transversal isotropen Hyperelastizität hat das Material eine Vorzugsrichtung, die 1-Richtung im Bild, in der das Material andere Eigenschaften hat als senkrecht dazu. In der 2-3-Ebene senkrecht zur Vorzugsrichtung verhält sich das Material isotrop. Die Vorzugsrichtung wird mit einem materiellen Linienelement <math>\vec{a}</math> der Länge eins definiert. Die dazu gehörende Strukturvariable ist der symmetrische Tensor |
||
:<math> |
:<math>\mathbf{A}:=\vec{a}\otimes\vec{a}\,.</math> |
||
=\vec{a}\otimes \vec{a} </math>. |
|||
Die spezifische Formänderungsenergie hängt dann von den fünf Invarianten |
Die spezifische Formänderungsenergie hängt dann von den fünf Invarianten |
||
:<math> |
:<math>\begin{array}{lcl} |
||
\mathrm{I} |
\mathrm{I}_1 =\mathrm{Sp}(\mathbf{E}) |
||
&\rightarrow& |
&\rightarrow& |
||
\dfrac{\mathrm{d}\mathrm{I} |
\dfrac{\mathrm{d}\mathrm{I}_1}{\mathrm{d}\mathbf{E}}=\mathbf{I} |
||
\\[2ex] |
\\[2ex] |
||
\mathrm{J}_{2} = |
\mathrm{J}_{2} =\mathrm{I}_1(\mathbf{E\cdot E}) |
||
&\rightarrow& |
&\rightarrow& |
||
\dfrac{\mathrm{d}\mathrm{J}_{2}}{\mathrm{d}\mathbf{E}}=\mathbf{E} |
\dfrac{\mathrm{d}\mathrm{J}_{2}}{\mathrm{d}\mathbf{E}}=\mathbf{E} |
||
Zeile 803: | Zeile 838: | ||
=\mathrm{det}(\mathbf{E}) |
=\mathrm{det}(\mathbf{E}) |
||
&\rightarrow& |
&\rightarrow& |
||
\dfrac{\mathrm{d}\mathrm{I}_{3}}{\mathrm{d}\mathbf{E}} |
|||
=\mathrm{I}_{3}\mathbf{E}^{-1} |
=\mathrm{I}_{3}\mathbf{E}^{-1} |
||
\\[2ex] |
\\[2ex] |
||
\mathrm{I}_{4}=\mathbf{A}: |
\mathrm{I}_{4}=\mathbf{A}:\mathbf{E} |
||
&\rightarrow& |
&\rightarrow& |
||
\dfrac{\mathrm{d}\mathrm{I}_{4}}{\mathrm{d}\mathbf{E}}=\mathbf{A} |
|||
\\[2ex] |
\\[2ex] |
||
\mathrm{I}_{5}=\mathbf{A}: |
\mathrm{I}_{5}=\mathbf{A}:(\mathbf{E\cdot E}) |
||
&\rightarrow& |
&\rightarrow& |
||
\dfrac{\mathrm{d}\mathrm{I}_{5}}{\mathrm{d}\mathbf{E}} |
\dfrac{\mathrm{d}\mathrm{I}_{5}}{\mathrm{d}\mathbf{E}} |
||
=\mathbf{A |
=\mathbf{A\cdot E}+\mathbf{E\cdot A} |
||
\end{array} |
\end{array}</math> |
||
ab. Der zweite Piola-Kirchhoff-Tensor kann dann über die Ableitung |
ab. Der zweite Piola-Kirchhoff-Tensor kann dann über die Ableitung<ref name="Frechet" /> |
||
:<math> |
:<math>\dfrac{1}{\rho_0}\tilde{\mathbf{T}} |
||
=\dfrac{\mathrm{d} |
=\dfrac{\mathrm{d}w_0(\mathrm{I}_1 ,\mathrm{J}_{2},\mathrm{I}_{3}, |
||
\mathrm{I}_{4},\mathrm{I}_{5} |
\mathrm{I}_{4},\mathrm{I}_{5})}{\mathrm{d}\mathbf{E}} |
||
= |
= |
||
\dfrac{{\partial} |
\dfrac{{\partial}w_0}{{\partial}\mathrm{I}_1}\mathbf{I} |
||
+\dfrac{{\partial} |
+\dfrac{{\partial}w_0}{{\partial}\mathrm{J}_{2}}\mathbf{E} |
||
+\mathrm{I}_{3}\dfrac{{\partial} |
+\mathrm{I}_{3}\dfrac{{\partial}w_0}{{\partial}\mathrm{I}_{3}}\mathbf{E}^{-1} |
||
+\dfrac{{\partial} |
+\dfrac{{\partial}w_0}{{\partial}\mathrm{I}_{4}}\mathbf{A} |
||
+\dfrac{{\partial} |
+\dfrac{{\partial}w_0}{{\partial}\mathrm{I}_{5}} |
||
(\mathbf{A |
(\mathbf{A\cdot E}+\mathbf{E\cdot A}) |
||
</math> |
|||
berechnet werden. |
berechnet werden. |
||
Bei der transversal isotropen ''linearen'' Elastizität kommen die Verzerrungen in <math> |
Bei der transversal isotropen ''linearen'' Elastizität kommen die Verzerrungen in <math>w_0</math> quadratisch vor<ref>F. Gruttmann: ''Theorie und Numerik dünnwandiger Faserverbundstrukturen''. Habilitationsschrift am Fachbereich Bauingenieur- und Vermessungswesen der Universität Hannover, Bericht-Nr. F 96/1, Universität Hannover, 1996([http://opac.tib.uni-hannover.de/DB=1/LNG=DU/CMD?ACT=SRCHA&SRT=YOP&TRM=%28%28bkl%20%2850.%3F%20or%2051.%3F%20or%2052.%3F%29%29+AND+all+%28gruttmann%29%29 Online]).</ref>: |
||
:<math> |
:<math>\rho_0 w(\mathbf{E}) |
||
=\dfrac{\lambda}{2} |
=\dfrac{\lambda}{2}\mathrm{I}_1 ^{2} |
||
+2 G_{23}\mathrm{J}_{2} |
+2 G_{23}\mathrm{J}_{2} |
||
+\mu |
+\mu\mathrm{I}_1\mathrm{I}_{4} |
||
+2(G_{12}-G_{23})\mathrm{I}_{5} |
+2(G_{12}-G_{23})\mathrm{I}_{5} |
||
+\dfrac{\eta}{2}\mathrm{I}_{4}^{2} |
+\dfrac{\eta}{2}\mathrm{I}_{4}^{2}</math> |
||
Die Materialparameter in |
Die Materialparameter in |
||
:<math> |
:<math>\begin{array}{lcl} |
||
\lambda&=&\dfrac{(\nu_{12} |
\lambda&=&\dfrac{(\nu_{12}\nu_{21}+\nu_{23}) E_2} |
||
{(1-\nu_{23}-2 |
{(1-\nu_{23}-2\nu_{12}\nu_{21})(1+\nu_{23})} |
||
\\ |
\\ |
||
\mu&=& 2 |
\mu&=& 2\nu_{12}(\lambda+G_{23})-\lambda |
||
\\ |
\\ |
||
\eta&=&\dfrac{(1-\nu_{23}) E_1}{1-\nu_{23}-2 |
\eta&=&\dfrac{(1-\nu_{23}) E_1}{1-\nu_{23}-2\nu_{12}\nu_{21}} |
||
-\lambda-2 |
-\lambda-2\mu+2 G_{23}-4 G_{12} |
||
\end{array} |
\end{array}</math> |
||
und <math> |
und <math>G_{12}</math>, <math>G_{23}</math> werden auf der Seite [[Transversale Isotropie]] erläutert. Die zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungen sind nach der Ableitung<ref name="Frechet" /> der Formänderungsenergie |
||
:<math> |
:<math>\tilde{\mathbf{T}} |
||
=\ |
=\rho_0\dfrac{\mathrm{d}w_0(\mathrm{I}_1 ,\mathrm{J}_{2},\mathrm{I}_{3}, |
||
\mathrm{I}_{4},\mathrm{I}_{5} |
\mathrm{I}_{4},\mathrm{I}_{5})}{\mathrm{d}\mathbf{E}} |
||
=(\lambda |
=(\lambda\mathrm{I}_1 +\mu\mathrm{I}_{4})\mathbf{I} |
||
+2 G_{23}\mathbf{E} |
+2 G_{23}\mathbf{E} |
||
+ |
+(\mu\mathrm{I}_1 +\eta\mathrm{I}_{4})\mathbf{A} |
||
+2 |
+2(G_{12}-G_{23})(\mathbf{A\cdot E}+\mathbf{E\cdot A}) |
||
</math> |
</math> |
||
lineare Funktionen der aktuellen Dehnungen. Nochmalige Ableitung nach den Verzerrungen <math> |
lineare Funktionen der aktuellen Dehnungen. Nochmalige Ableitung<ref name="Frechet" /> nach den Verzerrungen <math>\mathbf{E}</math> berechnet den konstanten und symmetrischen Elastizitätstensor vierter Stufe |
||
:<math> |
:<math>\begin{array}{rcl} |
||
\mathbb{C} |
|||
\stackrel{4}{\mathbf{C}} |
|||
&:=& |
&:=& |
||
\dfrac{\mathrm{d}\tilde{\mathbf{T}}}{\mathrm{d}\mathbf{E}} |
\dfrac{\mathrm{d}\tilde{\mathbf{T}}}{\mathrm{d}\mathbf{E}} |
||
= |
= |
||
2 G_{23}\ |
2 G_{23}\mathbb{I} |
||
+2 |
+2(G_{12}-G_{23})\mathbb{A} |
||
+ |
+\lambda\mathbf{I}\otimes\mathbf{I} |
||
+ |
+\mu(\mathbf{A}\otimes\mathbf{I} +\mathbf{I}\otimes\mathbf{A}) |
||
+ |
+\eta\mathbf{A}\otimes\mathbf{A} |
||
\\ |
\\ |
||
\rightarrow |
\rightarrow\tilde{\mathbf{T}} |
||
&=& |
&=& |
||
\ |
\mathbb{C}:\mathbf{E} |
||
\quad\rightarrow\quad |
\quad\rightarrow\quad |
||
w_0 =\frac{1}{2\rho_0}\mathbf{E}:\mathbb{C}:\mathbf{E} |
|||
\end{array} |
\end{array}</math> |
||
Der Tensor vierter Stufe <math> |
Der Tensor vierter Stufe <math>\mathbb{A}</math> ist definiert als |
||
:<math> |
:<math>\mathbb{A} =\sum_{i,j,k,l=1}^3 |
||
( A_{ik} |
( A_{ik}\delta_{jl} + A_{lj}\delta_{ik}) |
||
( |
(\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l) |
||
\quad\rightarrow\; |
\quad\rightarrow\; |
||
\ |
\mathbb{A}:\mathbf{H} |
||
= |
=\mathbf{A\cdot H} +\mathbf{H\cdot A} |
||
\quad\forall\; |
\quad\forall\;\mathbf{H}</math> |
||
Die Größen <math>A_{ij}</math> sind die Komponenten des Tensors <math>\mathbf{A}</math> bezüglich der [[Standardbasis]] <math>\vec{e}_{1,2,3}</math> und <math>\delta_{ij}</math> ist das [[Kronecker-Delta]]. |
Die Größen <math>A_{ij}</math> sind die Komponenten des Tensors <math>\mathbf{A}</math> bezüglich der [[Standardbasis]] <math>\vec{e}_{1,2,3}</math> und <math>\delta_{ij}</math> ist das [[Kronecker-Delta]]. |
||
Zeile 898: | Zeile 933: | ||
=== Orthotrope Hyperelastizität === |
=== Orthotrope Hyperelastizität === |
||
{{Hauptartikel|Orthotropie}} |
{{Hauptartikel|Orthotropie}} |
||
Bei der orthtropen Hyperelastizität hat das Material keine Zug-Scher-Kopplung aber drei Vorzugsrichtungen, die paarweise senkrechten Orthotropieachsen, in der das Material andere Eigenschaften hat als senkrecht dazu. Die Symmetriegruppe dieses Materials beinhaltet alle 180° Drehungen um eine dieser drei Achsen. Die Strukturvariablen werden mit dem dyadischen Produkt von zwei materiellen Linienelementen <math> |
Bei der orthtropen Hyperelastizität hat das Material keine Zug-Scher-Kopplung aber drei Vorzugsrichtungen, die paarweise senkrechten Orthotropieachsen, in der das Material andere Eigenschaften hat als senkrecht dazu. Die Symmetriegruppe dieses Materials beinhaltet alle 180° Drehungen um eine dieser drei Achsen. Die Strukturvariablen werden mit dem dyadischen Produkt von zwei materiellen Linienelementen <math>\vec{a},\vec{g}</math> der Länge eins definiert: |
||
:<math> |
|||
:<math> \mathbf{A}:=\vec{a}\otimes \vec{a} </math> und <math> \mathbf{G}:=\vec{g}\otimes \vec{g} </math> |
|||
\mathbf{A}:=\vec{a}\otimes\vec{a}\quad\textsf{und}\quad |
|||
\mathbf{G}:=\vec{g}\otimes\vec{g} |
|||
wobei hier <math> \vec{a}\cdot \vec{g}=0 </math> vorausgesetzt wird. Die spezifische Formänderungsenergie hängt dann, neben den aus der transversalen Isotropie bekannten fünf Invarianten, noch von den Invarianten |
|||
</math> |
|||
wobei hier <math>\vec{a}\cdot\vec{g}=0</math> vorausgesetzt wird. Die spezifische Formänderungsenergie hängt dann, neben den aus der transversalen Isotropie bekannten fünf Invarianten, noch von den Invarianten |
|||
:<math> \begin{array}{lclclcl} |
|||
:<math> |
|||
\begin{array}{lclclcl} |
|||
\mathrm{I}_{6} |
\mathrm{I}_{6} |
||
&=& |
&=&\mathbf{G}:\mathbf{E} |
||
&\rightarrow& |
&\rightarrow& |
||
\dfrac{\partial |
\dfrac{\partial\mathrm{I}_{6}}{\partial\mathbf{E}} |
||
&=&\mathbf{G} |
&=&\mathbf{G} |
||
\\[2ex] |
\\[2ex] |
||
\mathrm{I}_{7} |
\mathrm{I}_{7} |
||
&=& |
&=&\mathbf{G}:(\mathbf{E\cdot E}) |
||
&\rightarrow& |
&\rightarrow& |
||
\dfrac{\partial |
\dfrac{\partial\mathrm{I}_{7}}{\partial\mathbf{E}} |
||
&=& |
&=&\mathbf{G\cdot E}+\mathbf{E\cdot G} |
||
\\ |
\\ |
||
\mathrm{I}_{8} |
\mathrm{I}_{8} |
||
&=&\mathbf{A}: |
&=&\mathbf{A}:(\mathbf{E\cdot G}) |
||
\\ |
\\ |
||
\mathrm{I}_{9} |
\mathrm{I}_{9} |
||
&=& |
&=&\mathbf{A}:\mathbf{G}\end{array} |
||
</math> |
|||
ab<ref>Holzapfel (2000), S274</ref>. Die Invarianten <math>\mathrm{I}_{8}</math> und <math>\mathrm{I}_{9}</math> liefern wegen <math>\vec{a}\cdot\vec{g} |
|||
=0</math> keinen Beitrag und brauchen hier nicht berücksichtigt zu werden. Der zweite Piola-Kirchhoff-Tensor kann nun über die Ableitung<ref name="Frechet" /> |
|||
ab<ref>G. A. Holzapfel: ''Nonlinear Solid Mechanics: A Continuum Approach for Engineering''. Wiley 2000, ISBN 978-0-471-82319-3, S. 274</ref>. Die Invarianten <math> \mathrm{I}_{8} </math> und <math> \mathrm{I}_{9} </math> liefern wegen <math> \vec{a}\cdot \vec{g} |
|||
:<math> |
|||
=0 </math> keinen Beitrag und brauchen hier nicht berücksichtigt zu werden. Der zweite Piola-Kirchhoff-Tensor kann nun über die Ableitung |
|||
\begin{array}{lcl} |
|||
\dfrac{1}{\rho_0}\tilde{\mathbf{T}} |
|||
:<math> \begin{array}{lcl} |
|||
\dfrac{1}{\rho_{0}}\tilde{\mathbf{T}} |
|||
&=& |
&=& |
||
\dfrac{\mathrm{d} |
\dfrac{\mathrm{d}w_0(\mathrm{I}_1 ,{\mathrm{J}}_{2},\mathrm{I}_{3}, |
||
\mathrm{I}_{4},\mathrm{I}_{\mathrm{5,}}\mathrm{I}_{6},\mathrm{I}_{7} |
\mathrm{I}_{4},\mathrm{I}_{\mathrm{5,}}\mathrm{I}_{6},\mathrm{I}_{7})} |
||
{\mathrm{d}\mathbf{E}} |
{\mathrm{d}\mathbf{E}} |
||
\\ |
\\ |
||
&=& |
&=& |
||
\dfrac{\partial |
\dfrac{\partial w_0}{\partial\mathrm{I}_1}\mathbf{I} |
||
+\dfrac{\partial |
+\dfrac{\partial w_0}{\partial {\mathrm{J}}_{2}}\mathbf{E} |
||
+\mathrm{I}_{3}\dfrac{\partial |
+\mathrm{I}_{3}\dfrac{\partial w_0}{\partial\mathrm{I}_{3}}\mathbf{E}^{-1} |
||
+\dfrac{\partial |
+\dfrac{\partial w_0}{\partial\mathrm{I}_{4}}\mathbf{A} |
||
+\dfrac{\partial |
+\dfrac{\partial w_0}{\partial\mathrm{I}_{5}}(\mathbf{A\cdot E} |
||
+\mathbf{E |
+\mathbf{E\cdot A}) |
||
+\dfrac{\partial |
+\dfrac{\partial w_0}{\partial\mathrm{I}_{6}}\mathbf{G} |
||
+\dfrac{\partial |
+\dfrac{\partial w_0}{\partial\mathrm{I}_{7}}(\mathbf{G\cdot E} |
||
+\mathbf{E |
+\mathbf{E\cdot G})\end{array} |
||
</math> |
</math> |
||
berechnet werden. |
berechnet werden. |
||
Bei der orthotropen ''linearen'' Elastizität kommen die Verzerrungen in <math> |
Bei der orthotropen ''linearen'' Elastizität kommen die Verzerrungen in <math>w_0</math> quadratisch vor: |
||
:<math> |
:<math>\rho_0 w_0 |
||
=a\mathrm{J}_{2} |
=a\mathrm{J}_{2} |
||
+b\mathrm{I}_{5} |
+b\mathrm{I}_{5} |
||
+c\mathrm{I}_{7} |
+c\mathrm{I}_{7} |
||
+\dfrac{d}{2}\mathrm{I} |
+\dfrac{d}{2}\mathrm{I}_1 ^{2} |
||
+\dfrac{e}{2}\mathrm{I}_{4}^{2} |
+\dfrac{e}{2}\mathrm{I}_{4}^{2} |
||
+\dfrac{f}{2}\mathrm{I}_{6}^{2} |
+\dfrac{f}{2}\mathrm{I}_{6}^{2} |
||
+g\mathrm{I} |
+g\mathrm{I}_1\mathrm{I}_{4} |
||
+h\mathrm{I}_{4}\mathrm{I}_{6} |
+h\mathrm{I}_{4}\mathrm{I}_{6} |
||
+p\mathrm{I} |
+p\mathrm{I}_1\mathrm{I}_{6}</math> |
||
Die Koeffizienten <math> |
Die Koeffizienten <math>a,b,c,d,e,f,g,h</math> und <math>p</math> sind neun Materialparameter des Modells. Die zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungen berechnen sich dann zu: |
||
:<math> |
:<math>\begin{array}{lcl} |
||
\tilde{\mathbf{T}} |
\tilde{\mathbf{T}} |
||
&=& |
&=& |
||
\ |
\rho_0\dfrac{\mathrm{d}w_0}{\mathrm{d}\mathbf{E}} |
||
\\ |
\\ |
||
&=& |
&=& |
||
(d\mathrm{I} |
(d\mathrm{I}_1 +g\mathrm{I}_{4} |
||
+p\mathrm{I}_{6})\mathbf{I} |
+p\mathrm{I}_{6})\mathbf{I} |
||
+a\mathbf{E} |
+a\mathbf{E} |
||
+b(\mathbf{A |
+b(\mathbf{A\cdot E}+\mathbf{E\cdot A}) |
||
+c(\mathbf{G |
+c(\mathbf{G\cdot E}+\mathbf{E\cdot G}) |
||
\\ |
\\ |
||
&& |
&& |
||
+(e\mathrm{I}_{4} + g\mathrm{I} |
+(e\mathrm{I}_{4} + g\mathrm{I}_1 + h\mathrm{I}_{6})\mathbf{A} |
||
+(f\mathrm{I}_{6} + h\mathrm{I}_{4} + p\mathrm{I} |
+(f\mathrm{I}_{6} + h\mathrm{I}_{4} + p\mathrm{I}_1)\mathbf{G} |
||
\end{array} |
\end{array}\,.</math> |
||
Aus der zweiten Ableitung nach den Verzerrungen <math> |
Aus der zweiten Ableitung<ref name="Frechet" /> nach den Verzerrungen <math>\mathbf{E}</math> berechnet sich der konstante und symmetrische Elastizitätstensor vierter Stufe |
||
:<math> |
:<math>\begin{array}{rcl} |
||
\mathbb{C} |
|||
\stackrel{4}{\mathbf{C}} |
|||
:= |
|||
\dfrac{\mathrm{d}\tilde{\mathbf{T}}}{\mathrm{d}\mathbf{E}} |
\dfrac{\mathrm{d}\tilde{\mathbf{T}}}{\mathrm{d}\mathbf{E}} |
||
= |
&=& |
||
a\mathbb{I} |
|||
a\stackrel{4}{\mathbf{I}} |
|||
+b\ |
+b\mathbb{A} |
||
+c\ |
+c\mathbb{G} |
||
+d |
+d\mathbf{I}\otimes\mathbf{I} |
||
+e\mathbf{A}\otimes |
+e\mathbf{A}\otimes\mathbf{A} |
||
+f\mathbf{G}\otimes |
+f\mathbf{G}\otimes\mathbf{G} |
||
\\ |
\\ |
||
&& |
&& |
||
+g |
+g(\mathbf{A}\otimes\mathbf{I}+\mathbf{I}\otimes\mathbf{A}) |
||
+h |
+h(\mathbf{A}\otimes\mathbf{G}+\mathbf{G}\otimes\mathbf{A}) |
||
+p |
+p(\mathbf{G}\otimes\mathbf{I}+\mathbf{I}\otimes\mathbf{G}) |
||
\\ |
\\ |
||
\rightarrow |
\rightarrow\tilde{\mathbf{T}} |
||
&=& |
&=& |
||
\ |
\mathbb{C}:\mathbf{E} |
||
\quad\rightarrow\quad |
\quad\rightarrow\quad |
||
w_0 =\frac{1}{2\rho_0}\mathbf{E}:\mathbb{C}:\mathbf{E} |
|||
\end{array} |
\end{array} |
||
</math> |
|||
Wenn speziell <math>\vec{a}=\vec{e}_{x}</math> und <math>\vec{g}=\vec{e}_{y}</math> vorliegt, ist in [[Voigtsche Notation|Voigt’scher Notation]]: |
|||
:<math> |
|||
Wenn speziell <math> \vec{a}=\vec{e}_{x} </math> und <math> \vec{g}=\vec{e}_{y} </math> vorliegt, ist in [[Voigtsche Notation|Voigt’scher Notation]]: |
|||
\begin{bmatrix}\tilde{\sigma}_{xx}\\ |
|||
:<math> \begin{bmatrix}\tilde{\sigma}_{xx}\\ |
|||
\tilde{\sigma}_{yy}\\ |
\tilde{\sigma}_{yy}\\ |
||
\tilde{\sigma}_{zz}\\ |
\tilde{\sigma}_{zz}\\ |
||
Zeile 1.016: | Zeile 1.053: | ||
d+g+h+p & a+2c+d+f+2p & d+p & 0& 0& 0\\ |
d+g+h+p & a+2c+d+f+2p & d+p & 0& 0& 0\\ |
||
d+g & d+p & a+d & 0& 0& 0\\ |
d+g & d+p & a+d & 0& 0& 0\\ |
||
0& 0& 0& |
0& 0& 0&\frac{a+c}{2}& 0& 0\\ |
||
0& 0& 0& 0& |
0& 0& 0& 0&\frac{a+b}{2}& 0\\ |
||
0& 0& 0& 0& 0& |
0& 0& 0& 0& 0&\frac{a+b+c}{2} |
||
\end{bmatrix}}_{=: C} |
\end{bmatrix}}_{=: C} |
||
\begin{bmatrix} |
\begin{bmatrix} |
||
Zeile 1.026: | Zeile 1.063: | ||
2\varepsilon_{yz}\\ |
2\varepsilon_{yz}\\ |
||
2\varepsilon_{xz}\\ |
2\varepsilon_{xz}\\ |
||
2\varepsilon_{xy}\end{bmatrix} |
2\varepsilon_{xy}\end{bmatrix}</math> |
||
Die Variablen <math> |
Die Variablen <math>\tilde{\sigma}_{ij}</math> sind die Komponenten von <math>\tilde{\mathbf{T}}</math> und <math>\varepsilon_{ij}</math> die Komponenten von <math>\mathbf{E}</math> bezüglich der Standardbasis. Mit den Koeffizienten |
||
:<math>\begin{array}{rcl} |
:<math>\begin{array}{rcl} |
||
a &=& 2 |
a &=& 2( G_{23} + G_{13} - G_{12}) |
||
\\ |
\\ |
||
b &=& 2 |
b &=& 2( G_{12} - G_{23}) |
||
\\ |
\\ |
||
c &=& 2 |
c &=& 2( G_{12} - G_{13}) |
||
\\ |
\\ |
||
d &=& |
d &=&( 1 -\nu_{12}\nu_{21})\dfrac{E_3}{D} - a |
||
\\[1ex] |
\\[1ex] |
||
e &=& |
e &=&( 1 -\nu_{23}\nu_{32})\dfrac{E_1}{D} |
||
- |
-\nu_{12}\nu_{21}\dfrac{E_3}{D} |
||
+ |
+( 1 - 2\nu_{13} - 2\nu_{12}\nu_{23})\dfrac{E_3}{D} - 2( a + b) |
||
\\ |
\\ |
||
f &=& |
f &=&( 1 -\nu_{13}\nu_{31} - 2\nu_{12}\nu_{31})\dfrac{E_2}{D} |
||
+ |
+( 1 - 2\nu_{23} -\nu_{12}\nu_{21})\dfrac{E_3}{D} - 2( a + c) |
||
\\ |
\\ |
||
g &=& [ |
g &=& [(\nu_{23} +\nu_{21})\nu_{12} +\nu_{13} - 1]\dfrac{E_3}{D} |
||
+ a |
+ a |
||
\\ |
\\ |
||
h &=& |
h &=&\nu_{12}\dfrac{E_2}{D} |
||
+ [ |
+ [1 -(\nu_{23} +\nu_{21})\nu_{12} |
||
- |
-( 1 -\nu_{13})\nu_{23} |
||
- |
-( 1 +\nu_{21})\nu_{13} |
||
]\dfrac{E_3}{D} - a |
|||
\\ |
\\ |
||
p &=& [ |
p &=& [(\nu_{13} +\nu_{12})\nu_{21} +\nu_{23} - 1]\dfrac{E_3}{D} + a |
||
\\ |
\\ |
||
D &=& 1 - |
D &=& 1 -\nu_{12}\nu_{21} -\nu_{23}\nu_{32} -\nu_{13}\nu_{31} - 2\nu_{12}\nu_{23}\nu_{31} |
||
\end{array} |
\end{array} |
||
</math> |
</math> |
||
ergibt sich die Nachgiebigkeitsmatrix des [[Orthotropie|orthotropen]] Materials durch Invertierung der Matrix <math> |
ergibt sich die Nachgiebigkeitsmatrix des [[Orthotropie|orthotropen]] Materials durch Invertierung der Matrix <math>C</math> : |
||
:<math> |
:<math>C^{-1} |
||
= |
=\begin{bmatrix} |
||
\dfrac{1}{ |
\dfrac{1}{E_1}&\dfrac{-\nu_{12}}{E_1}&\dfrac{-\nu_{13}}{E_1}& 0& 0& 0 |
||
\\ |
\\ |
||
& |
&\dfrac{1}{E_{2}}&\dfrac{-\nu_{23}}{E_{2}}& 0& 0& 0 |
||
\\ |
\\ |
||
& & |
& &\dfrac{1}{E_{3}}& 0& 0& 0 |
||
\\ |
\\ |
||
& & & |
& & &\dfrac{1}{G_{23}}& 0& 0 |
||
\\ |
\\ |
||
& |
&\mathrm{sym}& & &\dfrac{1}{G_{13}}& 0 |
||
\\ |
\\ |
||
& & & & & |
& & & & &\dfrac{1}{G_{12}} |
||
\end{ |
\end{bmatrix}]</math> |
||
Darin ist mit <math>i,j=1,2,3</math> |
Darin ist mit <math>i,j=1,2,3</math> |
||
Zeile 1.087: | Zeile 1.124: | ||
[[Datei:hyperklotz.png|mini|Ein Klotz (grün) wird mit den Faktoren a, b und c in x-, y- bzw. z-Richtung gestreckt (weiß)]] |
[[Datei:hyperklotz.png|mini|Ein Klotz (grün) wird mit den Faktoren a, b und c in x-, y- bzw. z-Richtung gestreckt (weiß)]] |
||
Ein homogener Klotz aus inkompressiblem hyperelastischem Material wird wie im Bild homogen mit den Faktoren <math> |
Ein homogener Klotz aus inkompressiblem hyperelastischem Material wird wie im Bild homogen mit den Faktoren <math>a,b,c</math> in x-, y- bzw. z-Richtung gestreckt. Bei <math>a,b,c =1</math> verbleibt der Klotz im Ausgangszustand. Dann ergeben sich der Deformationsgradient, der linke Cauchy-Green-Tensor und der linke Strecktensor |
||
:<math> |
:<math>\mathbf{F} |
||
= |
=\begin{pmatrix} |
||
a& 0& 0\\ |
|||
0& b& 0\\ |
0& b& 0\\ |
||
0& 0& c |
0& 0& c |
||
\end{pmatrix} |
|||
\rightarrow |
\rightarrow |
||
\mathbf{b} |
\mathbf{b} |
||
= |
=\begin{pmatrix} |
||
a^{2}& 0& 0\\ |
|||
0& b^{2}& 0\\ |
0& b^{2}& 0\\ |
||
0& 0& c^{2} |
0& 0& c^{2} |
||
\end{pmatrix} |
|||
\rightarrow |
\rightarrow |
||
\mathbf{v} |
\mathbf{v} |
||
= |
=\begin{pmatrix} |
||
a& 0& 0\\ |
|||
0& b& 0\\ |
0& b& 0\\ |
||
0& 0& c |
0& 0& c |
||
\end{pmatrix}</math> |
|||
sowie die Invarianten und Eigenvektoren: |
sowie die Invarianten und Eigenvektoren: |
||
:<math>\begin{array}{lll} |
:<math>\begin{array}{lll} |
||
\mathrm{I} |
\mathrm{I}_1(\mathbf{b})=a^{2}+b^{2}+c^{2}\,, |
||
& |
& |
||
\mathrm{I}_{2}(\mathbf{b})=a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}\,, |
\mathrm{I}_{2}(\mathbf{b})=a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}\,, |
||
Zeile 1.113: | Zeile 1.156: | ||
\mathrm{I}_{3}(\mathbf{b})=a^{2}b^{2}c^{2} |
\mathrm{I}_{3}(\mathbf{b})=a^{2}b^{2}c^{2} |
||
\\[1ex] |
\\[1ex] |
||
\bar{\mathrm{I}} |
\bar{\mathrm{I}}_1(\mathbf{b})=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}} |
||
{\sqrt[3]{{ |
{\sqrt[3]{{(abc)}^{2}}}\,, |
||
& |
& |
||
\bar{\mathrm{I}}_{2}(\mathbf{b}) |
\bar{\mathrm{I}}_{2}(\mathbf{b}) |
||
=\frac{a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}{\sqrt[3]{{ |
=\frac{a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}{\sqrt[3]{{(abc)}^{4}}}\,, |
||
& |
& |
||
J=abc |
J=abc |
||
\\ |
\\ |
||
\ |
\lambda_1 =a\,, |
||
& |
& |
||
\lambda_{2}=b\,, |
\lambda_{2}=b\,, |
||
Zeile 1.127: | Zeile 1.170: | ||
\lambda_{3}=c |
\lambda_{3}=c |
||
\\ |
\\ |
||
\vec{v} |
\vec{v}_1 |
||
= |
=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\,, |
||
0\\ |
|||
0\end{array}\right)\,, |
|||
& |
& |
||
\vec{v}_{2}= |
\vec{v}_{2}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\,, |
||
1\\ |
|||
0\end{array}\right)\,, |
|||
& |
& |
||
\vec{v}_{3}= |
\vec{v}_{3}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} |
||
\end{array}\,.</math> |
|||
0\\ |
|||
1\end{array}\right) |
|||
\end{array} </math>. |
|||
Wegen der angenommenen Inkompressibilität ist <math> |
Wegen der angenommenen Inkompressibilität ist <math>abc=J=1, |
||
\bar{\mathrm{I}} |
\bar{\mathrm{I}}_1 =\mathrm{I}_1 , |
||
\bar{\mathrm{I}}_{2}=\mathrm{I}_{2} |
\bar{\mathrm{I}}_{2}=\mathrm{I}_{2}\,.</math> Für die Bedatung der Materialmodelle werden drei Versuche mit den Streckungen in der Tabelle durchgeführt, siehe auch die Bilder unten. |
||
{| class="wikitable" |
{| class="wikitable" |
||
Zeile 1.153: | Zeile 1.190: | ||
|- |
|- |
||
| Uniaxialer Zug |
| Uniaxialer Zug |
||
| style="text-align:center"| <math> |
| style="text-align:center"| <math>a</math> |
||
| style="text-align:center"| <math>\frac{1}{\sqrt{a}} |
| style="text-align:center"| <math>\frac{1}{\sqrt{a}}</math> |
||
| style="text-align:center"| <math>\frac{1}{\sqrt{a}} |
| style="text-align:center"| <math>\frac{1}{\sqrt{a}}</math> |
||
|- |
|- |
||
| Planarer Zug |
| Planarer Zug |
||
| style="text-align:center"| <math> |
| style="text-align:center"| <math>a</math> |
||
| style="text-align:center"| <math> |
| style="text-align:center"| <math>1</math> |
||
| style="text-align:center"| <math>\frac{1}{a} |
| style="text-align:center"| <math>\frac{1}{a}</math> |
||
|- |
|- |
||
| Biaxialer Zug |
| Biaxialer Zug |
||
| style="text-align:center"| <math> |
| style="text-align:center"| <math>a</math> |
||
| style="text-align:center"| <math> |
| style="text-align:center"| <math>a</math> |
||
| style="text-align:center"| <math>\frac{1}{a^{2}} |
| style="text-align:center"| <math>\frac{1}{a^{2}}</math> |
||
|} |
|} |
||
Das Mooney-Rivlin-Modell liefert dann mit |
Das Mooney-Rivlin-Modell liefert dann mit |
||
:<math> |
|||
\begin{array}{rcl} |
|||
\ |
\rho_0 w |
||
&=& |
&=&\dfrac{C_{10}}{2}(\mathrm{I}_1 -3) |
||
+\dfrac{C_{01}}{2} |
+\dfrac{C_{01}}{2}(\mathrm{I}_{2}-3) |
||
\\[2ex] |
\\[2ex] |
||
\rightarrow |
\rightarrow |
||
\ |
\rho_0\dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathrm{I}_1} |
||
&=&\dfrac{C_{10}}{2} |
&=&\dfrac{C_{10}}{2} |
||
=\dfrac{G}{2}\left(\dfrac{1}{2}+\beta\right) |
=\dfrac{G}{2}\left(\dfrac{1}{2}+\beta\right) |
||
\\[2ex] |
\\[2ex] |
||
\rightarrow |
\rightarrow |
||
\ |
\rho_0\dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathrm{I}_{2}} |
||
&=&\dfrac{C_{01}}{2} |
&=&\dfrac{C_{01}}{2} |
||
=\dfrac{G}{2}\left(\dfrac{1}{2}-\beta\right) |
=\dfrac{G}{2}\left(\dfrac{1}{2}-\beta\right) |
||
\end{array} |
\end{array} |
||
</math> |
|||
die Spannungen |
die Spannungen |
||
:<math> |
|||
\begin{array}{rcl} |
|||
\boldsymbol{\sigma |
\boldsymbol{\sigma} |
||
&=& |
&=& |
||
-p\mathbf{I} |
-p\mathbf{I} |
||
+2\ |
+2\rho_0\dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathrm{I}_1}\mathbf{b} |
||
-2\ |
-2\rho_0\dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\mathrm{I}_{2}}\mathbf{b}^{-1} |
||
\\[3ex] |
\\[3ex] |
||
\rightarrow |
\rightarrow |
||
\begin{pmatrix} |
|||
\sigma_{xx} &\sigma_{xy} &\sigma_{xz}\\ |
|||
1 & 0 & 0 \\ |
|||
\sigma_{xy} &\sigma_{yy} &\sigma_{yz}\\ |
|||
0 & 1 & 0 \\ |
|||
\sigma_{xz} &\sigma_{yz} &\sigma_{zz} |
|||
\end{pmatrix} |
|||
&=&-p\begin{pmatrix} |
|||
1 & 0 & 0\\ |
|||
0 & 1 & 0\\ |
|||
0 & 0 & 1 |
0 & 0 & 1 |
||
\end{ |
\end{pmatrix} |
||
+C_{10} |
+C_{10}\begin{pmatrix} |
||
a^{2} & 0 & 0 |
a^{2} & 0 & 0\\ |
||
0 & b^{2} & 0 |
0 & b^{2} & 0\\ |
||
0 & 0 & c^{2} |
0 & 0 & c^{2} |
||
\end{ |
\end{pmatrix} |
||
-C_{01} |
-C_{01}\begin{pmatrix} |
||
a^{-2} & 0 & 0 |
a^{-2} & 0 & 0\\ |
||
0 & b^{-2} & 0 |
0 & b^{-2} & 0\\ |
||
0 & 0 & c^{-2} |
0 & 0 & c^{-2} |
||
\end{ |
\end{pmatrix}. |
||
\end{array} |
\end{array} |
||
</math> |
|||
Der Druck <math>p</math> errechnet sich aus den bei den Versuchen vorliegenden Randbedingungen. |
|||
Der Druck <math> p </math> errechnet sich aus den bei den Versuchen vorliegenden Randbedingungen. |
|||
=== Uniaxialer Zugversuch === |
=== Uniaxialer Zugversuch === |
||
[[Datei:uzug.png|mini|Ein Klotz (grün) wird uniaxial in x-Richtung gestreckt (weiß)]] |
[[Datei:uzug.png|mini|Ein Klotz (grün) wird uniaxial in x-Richtung gestreckt (weiß)]] |
||
Hier hat man |
Hier hat man |
||
:<math>b=c=\frac{1}{\sqrt{a}}</math> |
|||
und aus der Randbedingung <math>\sigma_{yy}=\sigma_{zz}=0</math> ermittelt man |
|||
:<math>p=C_{10}a^{-1}-C_{01}a</math> |
|||
und aus der Randbedingung <math>\sigma_{yy}=\sigma_{zz}=0 </math> ermittelt man |
|||
:<math> p=C_{10}a^{-1}-C_{01}a </math> |
|||
und erhält so |
und erhält so |
||
:<math>\sigma_{xx} |
:<math>\sigma_{xx} |
||
=C_{10} |
=C_{10}(a^{2}-a^{-1})+C_{01}(a-a^{-2})\,.</math> |
||
=== Planarer Zugversuch === |
=== Planarer Zugversuch === |
||
[[Datei:pzug.png|mini|Ein Klotz (grün) wird planar in x-Richtung gestreckt (weiß)]] |
[[Datei:pzug.png|mini|Ein Klotz (grün) wird planar in x-Richtung gestreckt (weiß)]] |
||
Hier hat man |
Hier hat man |
||
:<math>b=1\quad\textsf{und}\quad c=\frac{1}{a}</math> |
|||
und aus der Randbedingung <math>\sigma_{zz}=0</math> ermittelt man |
|||
:<math>p=C_{10}a^{-2}-C_{01}a^{2}</math> |
|||
und aus der Randbedingung <math>\sigma_{zz}=0 </math> ermittelt man |
|||
:<math> p=C_{10}a^{-2}-C_{01}a^{2} </math> |
|||
und erhält so |
und erhält so |
||
:<math>\begin{array}{rcl} |
|||
\sigma_{xx}&=&(C_{10}+C_{01})(a^{2}-a^{-2})\,, |
|||
\\ |
|||
\sigma_{yy}&=&C_{10}(1-a^{-2})+C_{01}(a^{2}-1)\,. |
|||
\end{array}</math> |
|||
=== Biaxialer Zugversuch === |
=== Biaxialer Zugversuch === |
||
[[Datei:bzug.png|mini|Ein Klotz (grün) wird biaxial in x- und y-Richtung gestreckt (weiß)]] |
[[Datei:bzug.png|mini|Ein Klotz (grün) wird biaxial in x- und y-Richtung gestreckt (weiß)]] |
||
Hier hat man |
Hier hat man |
||
:<math>a=b\quad\textsf{und}\quad c=\frac{1}{a^{2}}</math> |
|||
und aus der Randbedingung <math>\sigma_{zz}=0</math> ermittelt man |
|||
:<math>p=C_{10}a^{-4}-C_{01}a^{4}</math> |
|||
und aus der Randbedingung <math>\sigma_{zz}=0 </math> ermittelt man |
|||
:<math> p=C_{10}a^{-4}-C_{01}a^{4} </math> |
|||
und erhält so |
und erhält so |
||
:<math>\sigma_{xx}=\sigma_{yy} |
:<math>\sigma_{xx}=\sigma_{yy} |
||
=C_{10} |
=C_{10}(a^{2}-a^{-4})+C_{01}(a^{4}-a^{-2})\,.</math> |
||
== Siehe auch == |
== Siehe auch == |
||
* [[Elastizitätstheorie]] |
|||
*[[Kontinuumsmechanik]] |
|||
*[[ |
* [[Kontinuumsmechanik]] |
||
* [[Potential (Physik)]] |
|||
*[[Formelsammlung Tensoralgebra]] |
|||
* [[Hypo-Elastizität]] |
|||
*[[Formelsammlung Tensoranalysis]] |
|||
* [[Formelsammlung Tensoralgebra]] |
|||
* [[Formelsammlung Tensoranalysis]] |
|||
== Literatur == |
|||
* H. Parisch: ''Festkörper Kontinuumsmechanik''. Teubner, 2003, ISBN 3-519-00434-8. |
|||
* G. A. Holzapfel: ''Nonlinear Solid Mechanics: A Continuum Approach for Engineering''. Wiley 2000, ISBN 978-0-471-82319-3. |
|||
* P. Haupt: ''Continuum Mechanics and Theory of Materials.'' Springer Verlag, 2000, ISBN 3-540-66114-X. |
|||
== Einzelnachweise und Fußnoten == |
== Einzelnachweise und Fußnoten == |
||
<references /> |
<references /> |
||
== Literatur == |
|||
* {{Literatur|Autor=H. Parisch|Titel=Festkörper Kontinuumsmechanik|Verlag=Teubner|Jahr=2003|ISBN=3-519-00434-8}} |
|||
* {{Literatur|Autor=G. A. Holzapfel|Titel=Nonlinear Solid Mechanics: A Continuum Approach for Engineering|Verlag=Wiley|Jahr=2000|ISBN=978-0-471-82319-3}} |
|||
* {{Literatur|Autor=P. Haupt|Titel=Continuum Mechanics and Theory of Materials|Verlag=Springer|Jahr=2000|ISBN=3-540-66114-X}} |
|||
{{SORTIERUNG:Hyperelastizitat}} |
{{SORTIERUNG:Hyperelastizitat}} |
Version vom 20. Februar 2015, 18:24 Uhr
Hyperelastizität oder Green’sche Elastizität ist ein Materialmodell, in dem die Spannungen im Material sich aus einer skalaren Funktion durch Ableitung nach den Dehnungen ergeben. Hyperelastizität ist ein Spezialfall der Cauchy-Elastizität. Hyperelastizität hat die Eigenschaften:
- Elastizität: Ist der Ausgangszustand kräftefrei, so wird dieser nach jedweder Verformung wieder eingenommen, wenn die Belastungen entfernt werden. Bei gegebener Verformung haben die Reaktionskräfte unabhängig von der Vorgeschichte immer denselben Wert.
- Wegunabhängigkeit: Die Arbeit, die entlang eines Verformungsweges verrichtet wird, ist nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges, nicht aber von seinem Verlauf abhängig.
- Konservativität: Entlang eines geschlossenen Verformungsweges wird keine Arbeit verrichtet oder Energie verbraucht. Aufgewendete Arbeiten werden vom Körper bis zur Rückkehr zum Ausgangspunkt vollständig zurückgegeben. Die Arbeit ist somit reversibel.
Während die erste Eigenschaft von der Cauchy-Elastizität geerbt ist, sind die letzten beiden Merkmale spezifisch für die Hyperelastizität.
Für viele Materialien beschreibt die lineare Elastizität das beobachtete Materialverhalten nicht genau. Lineare Elastizität liefert zudem bei großen Verformungen physikalisch unsinnige Materialantworten. Das bekannteste Beispiel mit nichtlinear elastischem Verhalten ist Gummi, das großen Verformungen standhält und dessen Reaktionen in guter Näherung mit Hyperelastizität beschrieben werden können. Auch biologische Gewebe werden mit Hyperelastizität modelliert[1]. Alle realen reibungsfreien Gase sind gleichsam cauchy-elastisch und hyperelastisch, worauf in der Cauchy-Elastizität eingegangen wird. Der vorliegende Artikel befasst sich mit Feststoffmodellen.
Ronald Rivlin und Melvin Mooney entwickelten die ersten Feststoffmodelle der Hyperelastizität, das Neo-Hooke- und Mooney-Rivlin-Modell. Andere oft benutzte Materialmodelle sind das Ogden- und Arruda-Boyce-Modell.
Definition
Zunächst wird das makroskopische Verhalten eines homogenen Zugstabes aus hyperelastischem Material zur Erläuterung herangezogen. Durch Übergang vom makroskopischen Körper zu einem Punkt im Kontinuum wird die Definition der Hyperelastizität nachgeholt.
Makroskopisches Verhalten
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/Hyperstab.png/80px-Hyperstab.png)
Wird ein homogener Stab aus hyperelastischem Material wie im Bild axial um einen Betrag gedehnt, dann wird dazu eine Kraft benötigt, die sich aus der Formänderungsenergie durch die Ableitung
berechnet. Im linearen Fall ist mit der Federkonstante D beispielsweise
Dreidimensionales Kontinuum
Die Übersetzung des Verhaltens des hyperelastischen Zugstabes in ein dreidimensionales Kontinuum erfolgt indem
- die Kraft durch den ersten Piola-Kirchhoff-Spannungstensor ,
- die Verschiebung durch den Deformationsgradient und
- die Formänderungsenergie durch die spezifische Formänderungsenergie in der lagrangeschen Formulierung
ausgetauscht wird. Dann berechnen sich die Spannungen aus der Ableitung[2] von nach gemäß
Die Dichte des Körpers in der undeformierten Ausgangslage (genauer bei ) ist ein zeitlich konstanter Materialparameter. Der erste Piola-Kirchhoff-Spannungstensor hängt über
mit dem symmetrischen Cauchy’schen Spannungstensor zusammen, der die wahren Spannungen im Material darstellt. Der Operator gibt die Determinante, "" das Tensorprodukt und ist der transponiert inverse Deformationsgradient.
Häufig[1] wird statt der spezifischen Formänderungsenergie die auf das Volumen bezogene Formänderungsenergie benutzt. Weil ein konstanter Faktor ist, können die Formeln, die sich aus der auf die Masse oder das Volumen bezogenen Formänderungsenergie ergeben, leicht ineinander umgerechnet werden. Die Darstellung hier folgt Haupt[3].
Damit das Materialmodell das Prinzip der materiellen Objektivität erfüllt, hängt nicht von direkt sondern vom rechten Cauchy-Green-Tensor ab. Mit dem Green-Lagrange’schen Verzerrungstensor
worin der Einheitstensor ist, und dem zweiten Piola-Kirchhoff Spannungstensor
kann alternativ
formuliert werden. Mit der Dichte
im deformierten Körper ergibt sich daraus für den Cauchy’schen Spannungstensor:
Eigenschaften hyperelastischer Materialien
Verformungsarbeit
Im oben angegebenen Zugstab leistet die Kraft entlang eines Weges von bis die Arbeit
d. h., die verrichtete Arbeit ist nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängig. Insbesondere verschwindet bei die verrichtete Arbeit:
Analog ist im Kontinuum die Spannungsarbeit das Kurvenintegral über einer mit der Zeit t parametrisierten Kurve
was die Wegunabhängigkeit und Konservativität (im Sonderfall ) nachweist. Das Rechenzeichen ":" bedeutet das Frobenius-Skalarprodukt und liefert hier die Summe der Arbeitsinkremente der Spannungskomponenten an den Komponenten des Deformationsgradienten.
Verformungsleistung
Die von der Kraft erbrachte Verformungsleistung im Stab lautet:
und ist die pro Zeiteinheit erbrachte Formänderungsarbeit. Im Kontinuum gilt in gleicher Weise
d. h., die spezifische Spannungsleistung ist bei Hyperelastizität die materielle Zeitableitung der spezifischen Formänderungsenergie.
Die Umkehrung gilt auch: Gibt es eine skalare Funktion , so dass die spezifische Spannungsleistung die materielle Zeitableitung dieser Funktion ist, dann ist das Material hyperelastisch.
Für die spezifische Spannungsleistung gibt es die alternativen Formulierungen
oder
mit dem räumlichen Verzerrungsgeschwindigkeitstensor
der der symmetrische Anteil des Geschwindigkeitsgradienten ist:
Sätze über Hyperelastizität
Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
- Das Material ist hyperelastisch.
- Die spezifische Spannungsleistung ist die materielle Zeitableitung der spezifischen Formänderungsenergie
- Die Arbeit der Spannungen entlang eines beliebigen Weges im Dehnungsraum ist nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges nicht aber von seinem Verlauf abhängig
- Die Arbeit der Spannungen entlang eines beliebigen geschlossenen Weges im Dehnungsraum verschwindet
- Die spezifische Spannungsarbeit an beliebigen differentiellen Dehnungsinkrementen ist gleich dem totalen Differential der spezifischen Formänderungsenergie
Bei der linearen Hyperelastizität sind die Spannungen als erste Ableitung der Formänderungsenergie linear in den Dehnungen und der Elastizitätstensor ist als zweite Ableitung konstant. Weil bei zwei Ableitungen hintereinander die Reihenfolge der Ableitungen vertauschbar ist, ist der Elastizitätstensor symmetrisch und kann ein linear-hyperelastischer Festkörper mit maximal 21 Parametern beschrieben werden.
Jedes elastische Fluid ist auch hyperelastisch.
Thermodynamische Konsistenz
Die Hyperelastizität ist im Einklang mit der Thermodynamik, wie eine Auswertung der Clausius-Duhem-Ungleichung zeigt, die den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik in der Festkörpermechanik repräsentiert. Bei isothermer Zustandsänderung lautet die Clausius-Duhem-Ungleichung in der lagrangeschen Fassung
worin die helmholtzsche freie Energie darstellt. In der Hyperelastizität ist die Spannung die Ableitung[2] der Formänderungsenergie nach den Dehnungen und weil die Formänderungsenergie nur eine Funktion der Dehnungen ist folgt:
Identifikation der Formänderungsenergie mit der helmholtzschen freie Energie lässt die Hyperelastizität also im Einklang mit der Thermodynamik sein.
Inkompressibilität
Viele gummielastische Körper zeigen eine ausgeprägte Inkompressibilität und daher lohnt es sich diesen Fall näher zu betrachten. Inkompressibilität lässt sich mathematisch durch
ausdrücken, weshalb die Dichte dann zeitlich konstant ist:
Um die Inkompressibilität eines hyperelastischen Materials sicherzustellen, wird die spezifische Formänderungsenergie erweitert:
Der Druck ist eine zusätzliche, nicht konstitutive Variable, die als Lagrange’scher Multiplikator zur Sicherstellung der Nebenbedingung eingeführt wird. Der Druck resultiert nun ausschließlich aus den Naturgesetzen und den Lagerungen des Körpers. Die Spannungen lauten hier
Isotrope Hyperelastitzität
Wenn das Materialverhalten nicht richtungsabhängig ist, dann ist das Material isotrop. Zumeist wird dann die Formänderungsenergie als isotrope Funktion des linken Cauchy-Green-Tensors
angenommen und die Potenzialbeziehung
herangezogen, worin ausgenutzt wurde, dass und kommutieren, weil die Ableitung eine isotrope Tensorfunktion des symmetrischen linken Cauchy-Green Tensors ist.
Bei Inkompressibilität ist und daher
Die Formänderungsenergie hängt bei Isotropie nur von den Invarianten der symmetrischen und positiv definiten Tensoren oder des Linken Strecktensors [4] ab, die also positive Eigenwerte haben. Die Formänderungsenergie wird üblicher Weise mit den Eigenwerten von oder den Hauptinvarianten
ausgedrückt. Der Operator bezeichnet den Spur. Es liegen drei Formulierungen vor:
Die quergestrichenen Invarianten stehen für
Die folgenden Kapitel führen diese Varianten detailliert aus. Bei Inkompressibilität sind die ersten beiden Formulierungen äquivalent. Weil dann eine Abhängigkeit von der dritten Hauptinvariante oder entfällt, wird der inkompressiblen isotropen Hyperelastizität ein eigener Abschnitt gewidmet. Der Aufwand für die Aufteilung in unimodularen und volumetrischen Anteil, den die zweite Formulierung charakterisiert, lohnt sich nur bei Kompressibilität. Die dritte Formulierung mit den Eigenwerten kann bei Kompressibilität und Inkompressibilität gleichermaßen angewendet werden.
Isotrope kompressibile Hyperelastitzität
Benutzung der Hauptinvarianten von b
Bei Kompressibilität hängt die Formänderungsenergie von allen drei Hauptinvarianten ab. Die folgende Tabelle gibt für symmetrische Tensoren gültige Ableitungen dieser Invarianten und der Formänderungsenergie.
Ableitungen[2] der Invarianten |
---|
Mit den für symmetrische Tensoren gültigen Ableitungen berechnet sich die Ableitung der Formänderungsenergie: |
Als Resultat belaufen sich die Cauchy’schen Spannungen auf
Aufteilung in unimodularen und volumetrischen Anteil
Bei Kompressibilität können die Invarianten von
benutzt werden was den Vorteil hat, dass der volumetrische Kugelanteil und der unimodulare, gestaltändernde Anteil getrennt modelliert werden können. Es werden dann die Invarianten
eingesetzt. Die folgende Tabelle gibt für symmetrische Tensoren gültige Ableitungen dieser Invarianten und der Formänderungsenergie.
Ableitungen[2] der Hauptinvarianten bei Kompressibilität |
---|
Die Ableitungen der Invarianten lauten: |
Als Resultat ergeben sich die Cauchy’schen Spannungen
Isotrope inkompressible Hyperelastitzität
Bei Inkompressibilität entfällt eine Abhängigkeit von weil konstant gleich eins ist. Daher werden nur die Hauptinvarianten
eingesetzt. Die folgende Tabelle gibt für symmetrische Tensoren gültige Ableitungen dieser Invarianten und der Formänderungsenergie.
Ableitungen[2] der Hauptinvarianten bei Inkompressibilität |
---|
Die Ableitungen der beiden Hauptinvarianten lauten für symmetrische Tensoren: |
Daraus resultiert die Darstellung
oder
wobei der Term dem unbestimmten Kugelanteil zugeschlagen wurde.
Benutzung der Eigenwerte von v
Auch die Eigenwerte des linken Strecktensors können als Invarianten benutzt werden und zwar sowohl bei Kompressibilität als auch bei Inkompressibilität. Die folgende Tabelle gibt für symmetrische Tensoren gültige Ableitungen der Eigenwerte und der Formänderungsenergie.
Ableitungen[2] der Eigenwerte von v |
---|
Die Eigenwerte von sind die Quadrate der Eigenwerte von aber beide Tensoren haben dieselben Eigenvektoren. Diese sind paarweise senkrecht aufeinander oder orthogonalisierbar weil und symmetrisch sind. Aus dem charakteristischen Polynom von berechnet sich mit der Kettenregel und impliziter Differentiation Für die Eigenvektoren von und lässt sich nachweisen. Unter Ausnutzung von , ergibt sich ferner |
Bei Verwendung der Eigenwerte ist also
Das Rechenzeichen „“ markiert das dyadische Produkt und sind die auf eins normierten Eigenvektoren von . Im Fall der Inkompressibilität kann zusätzlich
eingesetzt werden.
Spezielle Formänderungsenergiefunktionen
Im Folgenden werden einige gebräuchliche Formänderungsenergiefunktionen vorgestellt.
Lineare Hyperelastizität
Die spezifische Formänderungsenergie, die auf das Hooke’sche Gesetz führt, lautet
Der Materialparameter ist der Schubmodul und die Querkontraktionszahl. Aus der zweiten Ableitung[2] nach den Verzerrungen berechnet sich der konstante und symmetrische Elastizitätstensor vierter Stufe
mit dem Einheitstensor vierter Stufe und der Lamé-Konstanten
Dieses Modell verallgemeinert das Hooke’sche Gesetz auf große Deformationen liefert aber nur bei moderaten Dehnungen physikalisch plausible Antworten. Die Dehnung, die dem Zusammendrücken eines Stabes auf null Länge entspricht, ergibt beispielsweise verschwindende Cauchy-Spannungen. Es approximiert aber jedwedes hyperelastische Modell bei kleinen Dehnungen in erster Ordnung.
Mooney-Rivlin-Modell
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e4/Mooneyrivlin.png/220px-Mooneyrivlin.png)
Eine Approximation zweiter Ordnung für inkompressible hyperelastische Körper stellt das Mooney-Rivlin-Modell
dar. Die Invarianten gehören zum Strecktensor , der Parameter ist der Schubmodul und die dimensionslose Kennziffer mit
repräsentiert Effekte zweiter Ordnung. Oftmals werden stattdessen die Parameter
benutzt, die beide nicht negativ sein dürfen.
Neo-Hooke-Modell
Das Neo-Hooke-Modell ist der Sonderfall
des Mooney-Rivlin Materials:
In dem ein volumetrischer Term hinzugefügt wird und die Invariante statt benutzt wird, entsteht eine auch bei großen Dehnungen plausible Verallgemeinerung des Hooke’schen Stoffgesetzes für kompressible Elastomere:
Der Parameter kontrolliert die Kompressibilität. Es wurden aber auch noch andere Formulierungen für den volumetrischen Anteil vorgeschlagen[5].
Ogden-Modell
Das Ogden-Modell ist ein Modell für inkompressible Hyperelastizität. Dieses Modell ist in den Eigenwerten des linken Strecktensors formuliert:
Die Zahlen und stellen die Materialparameter dieses Modells dar.
Das Neo-Hooke-Modell ist der Spezialfall und und mit und ergibt sich das Mooney-Rivlin-Modell.
Näherung mit Taylorpolynomen
Wenn an der Stelle und durch ein Taylorpolynom angenähert wird, entsteht:
Die Zahlen sind Materialparameter. Auch in diesem Modell sind das Neo-Hooke- und Mooney-Rivlin-Modell als Spezialfälle enthalten.
Anisotrope Hyperelastizität
Bei einem transversal isotropen Material, wie z. B. unidirektional verstärkte Kunststoffe, kann eine Probe beliebig um die Faserrichtung gedreht werden, senkrecht zur Faser aber nur um 180°, ohne dass sich die Formänderungsenergie bei gegebener Dehnung ändert. Diese Drehungen können in einer Menge zusammengefasst werden. Wenn zwei Drehungen aus hintereinander ausgeführt werden, wird wieder eine Drehung aus erhalten. Mit der 0°-Drehung als neutralem und der Rückdrehung als inversem Element stellt eine Gruppe dar: die Symmetriegruppe des Materials.
Allgemein wird die Richtungsabhängigkeit eines Materials durch die Symmetriegruppe des Materials beschrieben. Diese Gruppe beinhaltet alle Drehungen, die im materiellen Punkt stattfinden dürfen, ohne dass sich bei gegebener Dehnung die Formänderungsenergie ändert. Drehungen werden mathematisch mit orthogonalen Tensoren ( mit ) beschrieben. Entsprechend ist die Symmetriegruppe des Materials die Menge von orthogonalen Tensoren die definiert ist über:
Eine spezifische Formänderungsenergie mit dieser Eigenschaft kann mit tensoriellen Strukturvariablen formuliert werden:
Allerdings ist es im Allgemeinen nicht einfach diese Strukturvariablen aufzufinden, die Tensoren zweiter, vierter oder sechster Stufe sein können.
Bei der transversalen Isotropie ist es jedoch einfach, denn es genügt eine Strukturvariable
mit einem Vektor , der senkrecht auf der Isotropie-Ebene des Materials steht oder parallel zur Faserrichtung ist. Ist speziell bezüglich der Standardbasis
hängt die Formänderungsenergie dann von den Invarianten
ab. Die Komponenten des Green-Lagrange’schen Verzerrungstensors beziehen sich auf die Standardbasis. Analog werden andere Arten der Anisotropie durch Angabe der jeweils gültigen Invarianten beschrieben[6].
Transversal isotrope Hyperelastizität
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Transversale_Isotropie.png/220px-Transversale_Isotropie.png)
Der Werkstoff ist rotationssymmetrisch bezüglich der 1-Achse, die senkrecht auf der isotropen 2-3-Ebene steht.
Ein so orientierter Rundstab aus diesem Material kann um seine Längsachse gedreht werden, ohne dass sich seine Eigenschaften ändern.
Bei der transversal isotropen Hyperelastizität hat das Material eine Vorzugsrichtung, die 1-Richtung im Bild, in der das Material andere Eigenschaften hat als senkrecht dazu. In der 2-3-Ebene senkrecht zur Vorzugsrichtung verhält sich das Material isotrop. Die Vorzugsrichtung wird mit einem materiellen Linienelement der Länge eins definiert. Die dazu gehörende Strukturvariable ist der symmetrische Tensor
Die spezifische Formänderungsenergie hängt dann von den fünf Invarianten
ab. Der zweite Piola-Kirchhoff-Tensor kann dann über die Ableitung[2]
berechnet werden.
Bei der transversal isotropen linearen Elastizität kommen die Verzerrungen in quadratisch vor[7]:
Die Materialparameter in
und , werden auf der Seite Transversale Isotropie erläutert. Die zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungen sind nach der Ableitung[2] der Formänderungsenergie
lineare Funktionen der aktuellen Dehnungen. Nochmalige Ableitung[2] nach den Verzerrungen berechnet den konstanten und symmetrischen Elastizitätstensor vierter Stufe
Der Tensor vierter Stufe ist definiert als
Die Größen sind die Komponenten des Tensors bezüglich der Standardbasis und ist das Kronecker-Delta.
Orthotrope Hyperelastizität
Bei der orthtropen Hyperelastizität hat das Material keine Zug-Scher-Kopplung aber drei Vorzugsrichtungen, die paarweise senkrechten Orthotropieachsen, in der das Material andere Eigenschaften hat als senkrecht dazu. Die Symmetriegruppe dieses Materials beinhaltet alle 180° Drehungen um eine dieser drei Achsen. Die Strukturvariablen werden mit dem dyadischen Produkt von zwei materiellen Linienelementen der Länge eins definiert:
wobei hier vorausgesetzt wird. Die spezifische Formänderungsenergie hängt dann, neben den aus der transversalen Isotropie bekannten fünf Invarianten, noch von den Invarianten
ab[8]. Die Invarianten und liefern wegen keinen Beitrag und brauchen hier nicht berücksichtigt zu werden. Der zweite Piola-Kirchhoff-Tensor kann nun über die Ableitung[2]
berechnet werden.
Bei der orthotropen linearen Elastizität kommen die Verzerrungen in quadratisch vor:
Die Koeffizienten und sind neun Materialparameter des Modells. Die zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungen berechnen sich dann zu:
Aus der zweiten Ableitung[2] nach den Verzerrungen berechnet sich der konstante und symmetrische Elastizitätstensor vierter Stufe
Wenn speziell und vorliegt, ist in Voigt’scher Notation:
Die Variablen sind die Komponenten von und die Komponenten von bezüglich der Standardbasis. Mit den Koeffizienten
ergibt sich die Nachgiebigkeitsmatrix des orthotropen Materials durch Invertierung der Matrix :
Darin ist mit
- der Elastizitätsmodul in Richtung i
- der Schubmodul in der i-j-Ebene
- die Querkontraktionszahl in Richtung j (Wirkung) bei Belastung in i-Richtung (Ursache)
Die Dimensionen der Module sind Kraft pro Fläche während die Querkontraktionszahlen dimensionslos sind.
Beispiel
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Hyperklotz.png/220px-Hyperklotz.png)
Ein homogener Klotz aus inkompressiblem hyperelastischem Material wird wie im Bild homogen mit den Faktoren in x-, y- bzw. z-Richtung gestreckt. Bei verbleibt der Klotz im Ausgangszustand. Dann ergeben sich der Deformationsgradient, der linke Cauchy-Green-Tensor und der linke Strecktensor
sowie die Invarianten und Eigenvektoren:
Wegen der angenommenen Inkompressibilität ist Für die Bedatung der Materialmodelle werden drei Versuche mit den Streckungen in der Tabelle durchgeführt, siehe auch die Bilder unten.
Versuch | a | b | c |
---|---|---|---|
Uniaxialer Zug | |||
Planarer Zug | |||
Biaxialer Zug |
Das Mooney-Rivlin-Modell liefert dann mit
die Spannungen
Der Druck errechnet sich aus den bei den Versuchen vorliegenden Randbedingungen.
Uniaxialer Zugversuch
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/44/Uzug.png/220px-Uzug.png)
Hier hat man
und aus der Randbedingung ermittelt man
und erhält so
Planarer Zugversuch
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Pzug.png/220px-Pzug.png)
Hier hat man
und aus der Randbedingung ermittelt man
und erhält so
Biaxialer Zugversuch
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a7/Bzug.png/220px-Bzug.png)
Hier hat man
und aus der Randbedingung ermittelt man
und erhält so
Siehe auch
- Elastizitätstheorie
- Kontinuumsmechanik
- Potential (Physik)
- Hypo-Elastizität
- Formelsammlung Tensoralgebra
- Formelsammlung Tensoranalysis
Einzelnachweise und Fußnoten
- ↑ a b Z. B. in Holzapfel (2000)
- ↑ a b c d e f g h i j k l Die Fréchet-Ableitung einer Funktion nach
ist der beschränkte lineare Operator der - sofern er existiert - in alle Richtungen dem Gâteaux-Differential entspricht, also
- ↑ Haupt (2000), S. 326ff
- ↑ Die Wurzel wird mit der Hauptachsentransformation, Ziehung der positiven Wurzel der Diagonalelemente und Rücktransformation berechnet.
- ↑ Parisch (2003), S. 164
- ↑ Haupt (2000), S. 361ff
- ↑ F. Gruttmann: Theorie und Numerik dünnwandiger Faserverbundstrukturen. Habilitationsschrift am Fachbereich Bauingenieur- und Vermessungswesen der Universität Hannover, Bericht-Nr. F 96/1, Universität Hannover, 1996(Online).
- ↑ Holzapfel (2000), S274
Literatur
- H. Parisch: Festkörper Kontinuumsmechanik. Teubner, 2003, ISBN 3-519-00434-8.
- G. A. Holzapfel: Nonlinear Solid Mechanics: A Continuum Approach for Engineering. Wiley, 2000, ISBN 978-0-471-82319-3.
- P. Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer, 2000, ISBN 3-540-66114-X.