Hyperebene

Eine Hyperebene (blau) im Anschauungsraum geht durch Verschiebung einer Ursprungsebene um einen Vektor (rot) hervor.

Eine Hyperebene ist in der Mathematik eine Verallgemeinerung des Konzepts der Ebene im dreidimensionalen Anschauungsraum auf Vektorräume beliebiger Dimension. Eine Hyperebene wird dann als affiner Unterraum maximaler Dimension des zugrunde liegenden Vektorraums definiert. Jede Hyperebene entsteht durch Verschiebung eines Untervektorraums mit Kodimension eins um einen festen Vektor. Kann dabei der Nullvektor gewählt werden, spricht man auch von einer linearen Hyperebene, da die Hyperebene selbst einen Untervektorraum darstellt. Zur besseren Unterscheidung spricht man im Fall eines beliebigen Verschiebungsvektors auch von einer affinen Hyperebene.

Ist der Vektorraum endlichdimensional, dann ist eine Hyperebene die Lösungsmenge einer linearen Gleichung, deren Zahl der Unbekannten gleich der Raumdimension ist. In der linearen Algebra und der linearen Optimierung spielen Hyperebenen daher eine wichtige Rolle bei der Lösungsstruktur linearer Gleichungs- und Ungleichungssysteme. Ist der Vektorraum unendlichdimensional, dann werden Hyperebenen als Urbild eines Skalars unter einem linearen Funktional charakterisiert. In der Funktionalanalysis werden dabei insbesondere abgeschlossene Hyperebenen betrachtet, die durch stetige lineare Funktionale beschrieben werden.

In der affinen und der projektiven Geometrie werden auch affine und projektive Hyperebenen als affine beziehungsweise projektive Teilräume mit Kodimension eins untersucht. Einen noch weiter verallgemeinerten Hyperebenenbegriff findet man in der Matroidtheorie.

Euklidische Geometrie

Definition

Eine Hyperebene im $n$-dimensionalen euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{n}$ ist eine Teilmenge $H\subset \mathbb {R} ^{n}$ der Form

$H=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x=p+s_{1}u_{1}+\ldots +s_{n-1}u_{n-1}~{\text{mit}}~s_{1},\ldots ,s_{n-1}\in \mathbb {R} \}$,

wobei $p\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Stützvektor der Hyperebene ist und $u_{1},\ldots ,u_{n-1}\in \mathbb {R} ^{n}$ linear unabhängige Richtungsvektoren der Hyperebene sind.

Beispiele

• Im eindimensionalen euklidischen Raum stellt jeder Punkt eine Hyperebene dar.
• Im zweidimensionalen euklidischen Raum stellt jede Gerade eine Hyperebene dar.
• Im dreidimensionalen euklidischen Raum stellt jede Ebene eine Hyperebene dar.

Weitere Darstellungen

Neben der obigen Parameterform gibt es noch weitere Darstellungsformen für Hyperebenen. In Normalenform lautet die Darstellung einer Hyperebene

$H=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \langle v,x-p\rangle =0\}$,

wobei $v\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ ein Normalenvektor der Hyperebene ist, $p\in \mathbb {R} ^{n}$ wieder ein Stützvektor der Hyperebene ist und $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ das Standardskalarprodukt zweier Vektoren darstellt. In hessescher Normalform hat eine Hyperebene die entsprechende Darstellung

$H=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \langle v_{0},x\rangle =d\}$,

wobei $v_{0}\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ ein normierter und orientierter Normalenvektor der Hyperebene ist und $d\in \mathbb {R} _{0}^{+}$ den Abstand der Hyperebene vom Koordinatenursprung beschreibt. Die hessesche Normalform erlaubt eine effiziente Berechnung des Abstands eines beliebigen Punkts des Raums zu der Hyperebene. In Koordinatenform lautet die Darstellung einer Hyperebene

$H=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}=b\}$,

wobei $a_{1},\ldots ,a_{n},b\in \mathbb {R}$ sind und mindestens einer der Koeffizienten $a_{1},\ldots ,a_{n}$ ungleich null ist. Die Koordinatenform ergibt sich aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren, wobei $a_{1}=v_{1},\ldots ,a_{n}=v_{n}$ und $b=\langle v,p\rangle$ gesetzt werden.

Eigenschaften

• Die Richtungsvektoren $u_{1},\ldots ,u_{n-1}$ einer Hyperebene spannen ein affines Koordinatensystem auf, wobei $(s_{1},\ldots ,s_{n-1})$ die affinen Koordinaten eines Punkts der Hyperebene sind.
• Eine Hyperebene im $n$-dimensionalen euklidischen Raum ist die Lösungsmenge einer linearen Gleichung mit $n$ Unbekannten. Jede Zeile eines linearen Gleichungssystem mit $n$ Unbekannten beschreibt daher eine solche Hyperebene. Die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems ist der Schnitt aller dieser Hyperebenen.
• Im $n$-dimensionalen euklidischen Raum ist eine Hyperebene ein affiner Unterraum der Dimension $n-1$. Enthält die Hyperebene den Nullpunkt, so stellt sie einen Untervektorraum des euklidischen Raums dar.
• Jede Hyperebene teilt den euklidischen Raum in zwei Halbräume auf.

Lineare Algebra

In der linearen Algebra wird das Konzept der Hyperebene auf Vektorräume über beliebigen Körpern und beliebiger Dimension verallgemeinert.

Definition

Ist $V$ ein Vektorraum über dem Körper $K$, dann ist eine Hyperebene eine Teilmenge $H\subset V$ der Form

$H=p+U=\{p+u\mid u\in U\}$,

wobei $p\in V$ ein beliebiger Vektor und $U$ ein Untervektorraum von $V$ mit Kodimension $1$ ist. Eine Hyperebene wird als lineare Hyperebene bezeichnet, wenn sie den Nullvektor enthält, das heißt wenn in der Definition $p=0$ gewählt werden kann.

Beispiele

In den folgenden Beispielen sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$, beispielsweise die reellen oder komplexen Zahlen.

• Im Matrizenraum $K^{m\times n}$ stellen die Matrizen, bei denen die Summe aller Einträge konstant ist, eine Hyperebene dar. Ist diese Konstante $0$, handelt es sich dabei um eine lineare Hyperebene.
• Im Polynomraum $K[X]$ stellen die Polynome der Form $c+a_{1}X+\ldots +a_{n}X^{n}$, wobei $c\in K$ fest vorgegeben ist, eine Hyperebene dar. Im Fall $c=0$ handelt es sich dabei um eine lineare Hyperebene.

Weitere Darstellungen

Nachdem jeder Untervektorraum der Kodimension $1$ auch als Kern eines linearen Funktionals $f\colon V\rightarrow K$, das nicht das Nullfunktional ist, charakterisiert werden kann, hat eine Hyperebene die Darstellung

$H=p+\operatorname {ker} f$.

Durch Setzen von $d=f(p)$ ergibt sich daraus dann die äquivalente Darstellung

$H=\{v\in V\mid f(v)=d\}$.

Umgekehrt stellt das Urbild $f^{-1}(d)$ für jedes lineare Funktional $f$, das ungleich dem Nullfunktional ist, und für jeden Skalar $d$ eine Hyperebene dar. Äquivalent dazu kann eine Hyperebene auch als maximaler affiner Unterraum von $V$ charakterisiert werden.

Diese Aussagen bleiben auch dann noch äquivalent, wenn $K$ ein Schiefkörper und $V$ ein Linksvektorraum über $K$ ist.

Funktionalanalysis

In der Funktionalanalysis betrachtet man unendlichdimensionale Vektorräume über $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$, auf denen eine Topologie erklärt ist, die ihn zu einem topologischen Vektorraum macht. Hier interessiert man sich besonders für Hyperebenen, die durch stetige lineare Funktionale definiert sind. Da ein lineares Funktional genau dann stetig ist, wenn sein Kern abgeschlossen ist, definieren die stetigen, linearen Funktionale genau die abgeschlossenen Hyperebenen. Für normierte Räume, allgemeiner lokalkonvexe Räume, kann man zeigen, dass es sehr viele solcher stetigen linearen Funktionale gibt und damit auch abgeschlossene Hyperebenen. Diese Reichhaltigkeit schlägt sich im Trennungssatz nieder, nach dem zwei disjunkte konvexe, kompakte Mengen durch eine abgeschlossene Hyperebene getrennt werden können.

Synthetische Geometrie

Affine Geometrie

Ist A ein desarguesscher, n-dimensionaler affiner Raum über einem Schiefkörper K und $V\cong K^{n}$ der zugehörige K-Linksvektorraum der Translationen (Parallelverschiebungen) von A, dann ist $H\subseteq A$ genau dann eine Hyperebene in A, wenn eine (lineare, $n-1$-dimensionale) Hyperebene $U<V$ existiert, so dass für einen festen Punkt $H_{0}\in H$ gilt: $H=H_{0}+U$.

Projektive Geometrie

Ist P ein desarguesscher, n-dimensionaler projektiver Raum über einem Schiefkörper K und $V\cong K^{n+1}$ der zugehörige koordinatisierende Linksvektorraum, dann ist $H\subseteq A$ genau dann eine Hyperebene in A, wenn eine (lineare, n-dimensionale) Hyperebene $U<V$ existiert, die genau H koordinatisiert.

Affine Räume

Die Raumaufteilungseigenschaft aus der euklidischen Geometrie lässt sich für affine Räume über angeordneten Körpern mit dem Konzept der (starken) Seiteneinteilung verallgemeinern. Für (auch nichtdesarguessche) affine Ebenen existiert in gewissen Fällen eine (schwache) Seiteneinteilung durch Geraden.

Im zweidimensionalen euklidischen Raum sind die Geraden die Hyperebenen. Diese Aussage ist für eine nichtdesarguessche affine oder projektive Ebene die Definition für den Begriff Hyperebene, da sich der Dimensions- und Unterraumbegriff der linearen Algebra für desarguesche Räume nicht ohne Weiteres auf die Koordinatenbereiche dieser Ebenen verallgemeinern lässt.

Endliche Geometrie

In der endlichen Geometrie haben unter den endlichen affinen oder projektiven Geometrien diejenigen besondere Eigenschaften, bei denen man - neben den gewöhnlichen „Punkten“ als Punktmenge - speziell die Hyperebenen des Raumes als Blockmenge wählt. → Siehe dazu Blockplan.

Literatur

Reelle Geometrie und Funktionalanalysis

• Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. Eine anwendungsorientierte Einführung. 5. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-34186-2. 
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Band I und II. Teubner, Wiesbaden 2003, ISBN 3-519-62233-5. 
• Harro Heuser: Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung. 3. Auflage. Teubner, Wiesbaden 1992, ISBN 3-519-22206-X. 

Lineare Algebra und analytische Geometrie

• Hermann Schaal: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Band I und II. 2. durchgesehene Auflage. Vieweg, Braunschweig 1980, ISBN 3-528-13057-1. 
• Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra: unter Einschluß der linearen Algebra. 2., überarb. und erw. Auflage. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-12203-0 (Inhaltsverzeichnis [abgerufen am 14. Januar 2012]). 
• Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik für Mathematiker, Informatiker und Physiker, Band II: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, 1990, ISBN 3-411-14101-8. 

Anwendungen in der Geometrie (Seiteneinteilung)

• Wendelin Degen und Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8. 
• Emanuel Sperner: Die Ordnungsfunktionen einer Geometrie. In: Math. Ann. Band 121. Teubner, 1949, S. 107–130.