Benutzer:Bleckneuhaus/Sandkasten

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Einleitung

Die Wellenfunktion oder Psi-Funktion (Formelzeichen $\Psi$ oder $\psi$) gibt in der Wellenmechanik nach Erwin Schrödinger den quantenmechanischen Zustand eines Elementarteilchens oder allgemein eines Quantensystems an. Ein Funktionswert von $\psi$ selbst ist keine direkt messbare Größe, die Wellenfunktion enthält nach der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik aber das physikalisch mögliche Maximum an Information zur theoretischen Vorhersage oder wissenschaftlichen Erklärung aller möglichen Messergebnisse am System. Zum Beispiel ist es physikalisch unmöglich, für ein Teilchen einen bestimmten Ort anzugeben, sondern für einen beliebigen Ort ${\vec {r}}$ nur die Wahrscheinlichkeit, es dort anzutreffen. Die Wellenfunktion eines Teilchens $\psi ({\vec {r}},t)$ macht hierzu die Vorhersage, dass diese Wahrscheinlichkeitsverteilung durch das Betragsquadrat $|\psi ({\vec {r}},t)|^{2}$ gegeben ist. Auf ähnliche Weise erhält man aus der Wellenfunktion Vorhersagen für alle anderen messbaren Größen.

Die räumliche Form und die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion werden dadurch bestimmt, dass sie eine Lösung einer quantenmechanischen Bewegungsgleichung ist, beispielsweise der Schrödinger-, Pauli-, Klein-Gordon- oder Dirac-Gleichung.

Da die Wellenfunktion ist zunächst als ein mathematisches Hilfsmittel zur Berechnung von möglichen Messergebnissen anzusehen. Ob sie darüber hinaus auch als ein Gegenstand der realen Welt existiert, wird seit ihrer Einführung im Jahr 1926 immer noch kontrovers diskutiert (siehe Interpretationen der Quantenmechanik).

Geschichte und Bedeutung

Als Erwin Schrödinger die Wellenfunktion 1926 einführte, baute er auf dem Konzept der Materiewelle auf, das 1924 von Louis de Broglie neben Ort und Impuls als zusätzliches Element zur Beschreibung der Bewegungen von Elementarteilchen vorgeschlagen worden war. De Broglie hatte dabei entdeckt, dass die nach den Bohr-Sommerfeldschen Quantenbedingungen „erlaubten“ stationären Elektronenbahnen im Atom gerade zu stehenden Materiewellen passten, wenn er deren Wellenlänge so bestimmte, wie es für freie, geradeaus fliegende Elektronen mit gleichem Impuls gelten sollte. Da sich in einem Kraftfeld der Impuls längs derTeilchenbahn verändert, musste für eine genauere Behandlung eine entsprechende Wellengleichung gefunden werden, deren Lösungsfunktion $\psi ({\vec {r}},t)$ die räumliche Form der Materiewelle und deren zeitliche Entwicklung angibt. Geleitet durch die analogen Verhältnisse beim Zusammenhang zwischen Strahlenoptik und Wellenoptik gelang es Schrödinger, eine solche Formel aufzustellen, die Schrödinger-Gleichung. Er testete sie an Beispielen, darunter das Wasserstoff-Atom, der harmonischer Oszillator und die Rotation eines zweiatomigen Moleküls, und stellte fest, dass stationäre Lösungen in Gestalt räumlich konzentrierter stehender Wellen nach seiner Gleichung nur für diejenigen Energiewerte möglich sind, die auch in Experimenten beobachtet wurden. Völlig offen blieb dabei, um welche Art von Welle es sich bei $\psi$ handelt und warum sie sich, obwohl ein punktförmiges Teilchen beschrieben wird, im Raum über ein gewisses Gebiet erstreckt. Zur Interpretation schrieb er: Wenn man Paradoxien liebt, kann man sagen, das System [Teilchen] befindet sich gleichsam in allen [nach der klassischen Punktmechanik] kinematisch denkbaren Lagen gleichzeitig, aber nicht in allen „gleich stark“, sondern mit einem Faktor $|\psi ({\vec {r}},t)|^{2}$ gewichtet. Diese räumliche Verteilung des Gewichts identifizierte er mit einer realen elektrischen Ladungsverteilung des Elektrons und drückte die Hoffnung aus, auf diesem Weg zu anschaulicheren Atommodellen, womöglich zu einer klassischen Kontinuumstheorie zurückzukehren. Dass sein Ansatz mit der 1925 von Werner Heisenberg vorgeschlagenen sehr abstrakten Matrizenmechanik mathematisch äquivalent war, hatte er bereits nachgewiesen, sah in seiner Wellenmechanik aber die begrifflich bessere Theoerie und nannte sie deshalb sogar „physikalische Mechanik“. Allerdings ist die Wellenfunktion nur dann als Welle im dreidimensionalen Raum anschaulich vorstellbar, wenn es sich um ein einziges Teilchen handelt, denn schon bei zwei Teilchen heißt die Funktion $\psi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},t)$, was erst in einem sechsdimensionalen Raum vorstellbar ist. Zusätzlich wird jede anschauliche Vorstellung von der Wellenfunktion dadurch erschwert, dass sie eine komplexwertige Funktion sein muss, um der Schrödingergleichung zu genügen. Dabei zeichnen sich die Wellenfunktionen in Form von stationären stehenden Wellen dadurch aus, dass sie sich in zwei Faktoren $\psi ({\vec {r}},t)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\cdot \phi ({\vec {r}})$ aufspalten lassen, wobei die nur vom Ort abhängige Funktion $\phi ({\vec {r}})$ reell gewählt werden kann und die Komplexwertigkeit allein vom zeitabhängigen Faktor herrührt. Darin gibt $\omega =E/\hbar$ ähnlich wie beim harmonischen Oszillator einfach die Energie $E$ des Systems in diesem Zustand an.

Für ein Teilchen, das frei fliegt, hat die Wellenfunktion die von den de Broglie-Wellen und anderen fortschreitenden ebenen Wellen her bekannte mathematische Form $\psi ({\vec {r}},t)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}$. Diese kann ebenfalls als Produkt einer zeitabhängigen und einer ortsabhängigen Funktion geschrieben werden und erstreckt sich mit konstantem Betrag räumlich und zeitlich bis ins Unendliche. Bei Anwesenheit eines Kraftfelds aber verlangt die Schrödingergleichung eine Modifikation der ebenen Welle, so dass diese mit einer am Potential erzeugten Streuwelle überlagert wird und die Wellenfunktion damit einen Streuzustand darstellt. Max Born entwickelte das entsprechende mathematische Verfahren (Bornsche Näherung) und sein Mitarbeiter Gregor Wentzel konnte schon 1926 nachweisen, dass der Rutherford-Versuch, das historisch erste der für die Quantenphysik typischen Streuexperimente, damit richtig erklärt wird. Dazu musste der Schrödingersche Gewichtsfaktor $|\psi ({\vec {r}},t)|^{2}$ dahingehend gedeutet werden, dass er die Wahrscheinlichkeit angibt, das Teilchen zur Zeit $t$ am Ort ${\vec {r}}$ anzutreffen. Dies wurde zur Grundlage der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik.

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Literatur

• Erwin Schrödinger: Die Wellenmechanik. Battenberg, Stuttgart 1963, DNB 454485557. (Dokumente der Naturwissenschaft. Abteilung Physik; Bd. 3) (Schrödingers Arbeiten zur Wellenmechanik) – Die Arbeiten zur Wellenmechanik sind auch nachgedruckt in Günther Ludwig (Hrsg.): Wellenmechanik. Akademie-Verlag, Berlin 1970, DNB 458581941.
• Erwin Schrödinger: Der Grundgedanke der Wellenmechanik. In: Was ist ein Naturgesetz? Beiträge zum naturwissenschaftlichen Weltbild. 5. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 1997, ISBN 3-486-56293-2, S. 86–101 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
• Friedrich Hund: Geschichte der Quantentheorie. 2. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim 1975, ISBN 3-411-01476-8.
• Jagdish Mehra, Helmut Rechenberg: The historical development of Quantum Theory. 6 Bände, Springer Verlag, New York 1982–2002.
  • Bd. 1 (in 2 Teilen): The quantum theory of Einstein, Bohr, Planck and Sommerfeld 1900 –1925 – its foundation and the rise of its difficulties, 1982
  • Bd. 2: The discovery of quantum mechanics 1925, 1982
  • Bd. 3: The formulation of matrix mechanics and its modifications 1925–1926, 1982
  • Bd. 4: Fundamental equations of quantum mechanics – reception of the new quantum mechanics, 1982
  • Bd. 5: Erwin Schrödinger and the rise of wave mechanics, 1987 (Teil 1: Schrödinger in Wien and Zürich 1887-1925, Teil 2: The creation of wave mechanics. Early response and applications 1925–1926)
  • Bd. 6: The completion of quantum mechanics 1926–1941, Teil 1: The probability interpretation and the statistical transformation theory, the physical interpretation, and the empirical and mathematical foundations of quantum mechanics, 1926–1932, 2000, Teil 2: The conceptual completion and the extensions of quantum mechanics, 1932 - 1941. Epilogue: Aspects of the further development of quantum theory, 1942–1999, 2001

Einzelnachweise

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(ab hier: alter Text)

Grundlage der Beschreibung ist hierbei die Wellenmechanik von Erwin Schrödinger. Ihr Betragsquadrat bestimmt die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Ort beziehungsweise den Impuls des Teilchens. Nach der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik enthält die Wellenfunktion eine Beschreibung aller Informationen einer Entität oder eines ganzen Systems.

Eine Wellenfunktion ist die Funktion, die die quantenmechanische Bewegungsgleichung, also die Schrödinger-, Klein-Gordon- oder Dirac-Gleichung, im Ortsraum oder im Impulsraum löst. Lösungen dieser Wellengleichungen können sowohl gebundene Teilchen (wie Elektronen in den Schalen eines Atoms) oder freie Teilchen (z. B. ein α- oder β-Teilchen als Wellenpaket) beschreiben. Die Wellenfunktion ist in der Regel eine komplexwertige Funktion.

Wird ein System mit inneren Freiheitsgraden, zum Beispiel dem Spin, durch eine Wellenfunktion beschrieben, ist die Wellenfunktion vektorwertig. Die nichtrelativistische Wellenfunktion zur Beschreibung eines Elektrons hat daher zwei Komponenten; eine für den Zustand „Spin up“ und eine für „Spin down“.

Bei Teilchensystemen (z. B. mit mehreren ununterscheidbaren Teilchen) bezeichnet man eine solche Lösung als Vielteilchen-Wellenfunktion.

Quantenteilchen als Welle

Da die Bewegungsgleichungen im komplexen Raum definiert sind, benötigen sie zur allgemeinen Lösung eine Funktion, deren Funktionswerte ebenfalls im komplexen Raum liegen. Daher ist die Wellenfunktion nicht reell, sondern komplexwertig. Dies spiegelt sich u. a. darin wider, dass $\psi ({\vec {r}},t)$ nicht unbedingt eine reale physikalische Bedeutung zukommt. Sie ist in der Regel nicht messbar, sondern dient nur der mathematischen Beschreibung des quantenmechanischen Zustands eines physikalischen Systems. Aus ihr lässt sich jedoch das zu erwartende Ergebnis einer Messung durch komplexe Konjugation berechnen.

Zum Vergleich: Auch die elektrische Feldstärke ${\vec {E}}({\vec {r}},t)$ einer Radiowelle ist die Lösung einer (klassischen) elektrodynamischen Wellengleichung. Die elektrische Feldstärke ist jedoch z. B. durch eine Antenne und einen Radioempfänger messbar.

Teilchen mit inneren Eigenschaften (wie zum Beispiel dem Spin eines gebundenen Elektrons oder dem Drehimpuls eines Photons) werden durch Wellenfunktionen mit mehreren Komponenten beschrieben. Je nach dem Transformationsverhalten der Wellenfunktionen bei Lorentztransformationen unterscheidet man in der relativistischen Quantenfeldtheorie skalare, tensorielle und spinorielle Wellenfunktionen bzw. Felder.

Definition

Entwicklungskoeffizienten des Zustandsvektors

Formal betrachtet sind die Wellenfunktionen die Entwicklungskoeffizienten des quantenmechanischen Zustandsvektors im Orts- beziehungsweise Impulsraum. Es ist in Dirac-Notation

${\begin{aligned}\psi ({\vec {x}},t)&=\langle x|\psi (t)\rangle \\{\tilde {\psi }}({\vec {p}},t)&=\langle p|\psi (t)\rangle \end{aligned}}$

mit

• dem Zustandsvektor $|\psi \rangle$
• den Ortseigenkozuständen $\langle x|$
• den Impulseigenkozuständen $\langle p|$

sodass gilt:

$|\psi \rangle =\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}\,|x\rangle \langle x|\psi \rangle =\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}\,|x\rangle \psi ({\vec {x}})$

$|\psi \rangle =\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}\,|p\rangle \langle p|\psi \rangle =\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}\,|p\rangle {\tilde {\psi }}({\vec {p}})$

Die Orts- und Impulseigenzustände sind die Eigenzustände des Ortsoperators ${\hat {x}}$ beziehungsweise Impulsoperators ${\hat {p}}$, für die ${\hat {x}}|x\rangle =x|x\rangle$ und ${\hat {p}}|p\rangle =p|p\rangle$ gilt. Aus der Definition wird offensichtlich, dass die Wellenfunktion im Orts- sowie im Impulsraum einer Normierungsbedingung folgen, da der Zustandsvektor bereits normiert ist:

$1=\langle \psi |\psi \rangle =\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}\,\psi ^{\dagger }({\vec {x}})\psi ({\vec {x}})=\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}\,{\tilde {\psi }}^{\dagger }({\vec {p}}){\tilde {\psi }}({\vec {p}})$

Lösung der Bewegungsgleichung

Von praktischerer Bedeutung sind die Wellenfunktionen als Lösung der Bewegungsgleichungen im Orts- oder Impulsraum. Dabei macht man sich zunutze, dass der Ortsoperator in der Ortsbasis ein Multiplikationsoperator und der Impulsoperator in der Ortsbasis ein Differentialoperator ist. In der Impulsbasis sind die Rollen vertauscht, dort ist der Ortsoperator ein Differentialoperator und der Impulsoperator ein Multiplikationsoperator.

Alle Bewegungsgleichungen der Quantenmechanik sind Wellengleichungen. Die Schrödinger-Gleichung lautet in der basisunabhängigen Dirac-Notation

$\mathrm {i} \hbar \partial _{t}|\psi \rangle ={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}|\psi \rangle +V({\hat {x}})|\psi \rangle$

und im Ortsraum

$\mathrm {i} \hbar \partial _{t}\psi ({\vec {x}},t)={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi ({\vec {x}},t)+V({\vec {x}})\psi ({\vec {x}},t)$

mit

• der reduzierten Planck-Konstanten $\hbar$,
• dem Laplace-Operator $\Delta$,
• der Masse des Teilchens $m$ und
• einem ortsabhängigen Potential $V(x)$;

alle (im Rahmen dieses Artikels behandelten) Eigenschaften der Wellenfunktion, die die nichtrelativistische Schrödinger-Gleichung löst, lassen sich auf den relativistischen Fall der Klein-Gordon- oder der Dirac-Gleichung verallgemeinern.

Obgleich die Schrödinger-Gleichung im Gegensatz zu ihren relativistischen Äquivalenten keine Wellengleichung im mathematisch strengen Sinn darstellt, ist eine Lösung der Schrödinger-Gleichung im Ortsraum bei verschwindendem Potential eine ebene Welle, dargestellt durch die Funktion

$\psi ({\vec {x}},t)=\exp(\mathrm {i} (\omega t-{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}))$.

Ihre Dispersionsrelation lautet:

$\omega ({\vec {k}})={\frac {\hbar {\vec {k}}^{2}}{2m}}$

mit

• der Kreisfrequenz $\omega$ und
• dem Wellenvektor ${\vec {k}}$

gegeben ist.

Da die Bewegungsgleichungen linear sind, ist jede Superposition von Lösungen wieder eine Lösung.

Wellenfunktion im Impulsraum

Die Wellenfunktion im Impulsraum ${\tilde {\psi }}({\vec {p}})$ ist mit der Wellenfunktion im Ortsraum $\psi ({\vec {x}})$ über eine Fourier-Transformation verknüpft. Es gilt

${\tilde {\psi }}({\vec {p}},t)=\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}\,\psi ({\vec {x}},t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\vec {p}}\cdot {\vec {x}}}$

nebst der Ersetzung ${\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}$. Aufgrund des Satzes von Plancherel ist die Fouriertransformation mit der Normierung verträglich, sodass die Wellenfunktion im Impulsraum ebenso normiert ist wie die Wellenfunktion im Ortsraum.

Beispiel: Freies Teilchen

Die Wellenfunktion $\psi ({\vec {x}},t)$ eines freien Teilchens kann als Fourierreihe über ebene Wellen dargestellt werden:

$\psi ({\vec {x}},t)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}{\vec {k}}}{(2\pi )^{3}}}A({\vec {k}})\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\omega t-{\vec {k}}\cdot {\vec {x}})}$

mit

• dem Ortsvektor ${\vec {x}}$
• dem Wellenvektor ${\vec {k}}$, der Richtung und Wellenlänge der Welle festlegt
• den vom Wellenvektor abhängigen komplexwertigen Amplituden $A({\vec {k}})$
• der Kreisfrequenz $\omega ({\vec {k}})$, die die Schwingungsperiode der Welle beschreibt und mit dem Wellenvektor über eine Dispersionsrelation verknüpft ist.

Die Amplituden müssen so gewählt werden, dass die Normierung der Wellenfunktion gewährleistet ist. Das Betragsquadrat der Wellenfunktion ist durch

${\begin{aligned}|\psi ({\vec {x}},t)|^{2}&=\psi ^{\dagger }({\vec {x}},t)\,\psi ({\vec {x}},t)\\&=\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}{\vec {k}}}{(2\pi )^{3}}}\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}{\vec {k}}'}{(2\pi )^{3}}}A^{\dagger }({\vec {k}})A({\vec {k}}')\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ({\vec {k}}-{\vec {k}}')\cdot {\vec {x}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} (\omega -\omega ')t}\end{aligned}}$

gegeben. Eine Integration über das gesamte Volumen ergibt mit der Darstellung der Dirac-Distribution $\textstyle \int \mathrm {d} ^{3}x\,\mathrm {e} ^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}=\delta ^{(3)}({\vec {k}})$:

$\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}\,|\psi ({\vec {x}},t)|^{2}=\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}{\vec {k}}}{(2\pi )^{3}}}A^{\dagger }({\vec {k}})A({\vec {k}})=1$.

Praktisch kann dies beispielsweise durch eine gaußförmige Einhüllende

$A({\vec {k}})=\left[{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {{\vec {k}}^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right]^{1/2}$

realisiert werden. Durch die Wahl dieser Einhüllenden wird ein Teilchen mit minimaler Orts-Impuls-Unschärfe und einem Erwartungswert des Impulses bei ${\vec {p}}_{0}=0$ beschrieben. $\sigma$ ist dabei die Breite des Wellenpakets, die gewissermaßen angibt, wie sich die Unschärfe auf den Orts- und Impulserwartungswert verteilt.

Messungen in der Wellenmechanik

Eine Aussage im quantenmechanischen Messprozess lautet, bei einer Messung erleidet die Wellenfunktion instantan einen Kollaps zu derjenigen Eigenfunktion des zur Messung zugehörigen Operators, die zu dem durch die Messung festgestellten Eigenwert gehört. Dieser Eigenwert ist das Ergebnis der Messung. Die Wahrscheinlichkeit, auf einen dieser Eigenwerte zu kollabieren, ist in der Matrizenmechanik durch

$P=\|\langle \phi |\psi \rangle \|^{2}$

gegeben, wobei $|\phi \rangle$ der zum Eigenwert $\phi$ gehörige Eigenzustand eines Operators $\Phi$ sei. In der Wellenmechanik entspricht dies der Formulierung

$P=\left\|\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}\,\langle \phi |x\rangle \langle x|\psi \rangle \right\|^{2}=\left\|\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}\,\phi ^{\dagger }(x)\psi (x)\right\|^{2}$.

Das Skalarprodukt des Hilbertraums entspricht einer Integration über den gesamten Raumbereich im Ortsraum. Zwei Wellenfunktionen heißen orthogonal, wenn das Integral über den gesamten Ortsraum ihres Produkts verschwindet. Die Wahrscheinlichkeit, den Messwert $\phi$ zu erhalten, wenn das System durch die Wellenfunktion $\psi (x)$ beschrieben wird und $\phi (x)$ und $\psi (x)$ orthogonal sind, ist dementsprechend Null.

Der Erwartungswert einer Messung im Zustand $|\psi \rangle$ wird in der Matrizenmechanik durch

$\langle \Phi \rangle =\langle \psi |\Phi |\psi \rangle$

beschrieben. Dies übersetzt sich in der Wellenmechanik zu:

$\langle \Phi \rangle =\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}'\,\langle \psi |x\rangle \langle x|\Phi |x'\rangle \langle x'|\psi \rangle =\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}'\,\psi ^{\dagger }({\vec {x}})\Phi (x,x')\psi ({\vec {x}}')$

Dabei ist $\Phi (x,x')$ der Operator in Ortsdarstellung. Für lokale Operatoren gilt $\Phi ({\vec {x}},{\vec {x}}')=\Phi ({\vec {x}})\delta ^{(3)}({\vec {x}}-{\vec {x}}')$ und die doppelte Integration reduziert sich auf eine einfache:

$\langle \Phi \rangle =\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}\,\psi ^{\dagger }({\vec {x}})\Phi ({\vec {x}})\psi ({\vec {x}})$

Teilcheninterpretation

Die physikalische Interpretation einer Wellenfunktion ist kontextabhängig. Mehrere Beispiele werden unten angeführt, gefolgt von einer Interpretation der oben beschriebenen drei Fälle.

Ein Teilchen in einer Raumdimension

Die Wellenfunktion eines Teilchens im eindimensionalen Raum ist eine komplexe Funktion $\psi (x)\,$ über der Menge der reellen Zahlen. Das Betragsquadrat der Wellenfunktion, $|\psi |^{2}\,$, wird als Wahrscheinlichkeitsdichte der Teilchenposition interpretiert.

Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung das Teilchen im Intervall $[a,b]$ zu finden, ist folglich

$\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} x\quad$.

Dies führt zu der Normierungsbedingung

$\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} x\,{\stackrel {!}{=}}\,1\quad$

da eine Messung der Teilchenposition eine reelle Zahl ergeben muss. Das heißt: Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen an irgendeinem Ort zu finden, ist gleich 1.

Ein Teilchen in drei Raumdimensionen

Der dreidimensionale Fall ist analog zum Eindimensionalen; Die Wellenfunktion ist eine komplexe Funktion $\psi (x,y,z)\,$ definiert über dem dreidimensionalen Raum, und ihr Betragsquadrat wird als dreidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert. Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung das Teilchen im Volumen $R$ zu finden, ist deshalb

$\int _{R}|\psi (x,y,z)|^{2}\,\mathrm {d} V$.

Die Normierungsbedingung ist analog zum eindimensionalen Fall

$\int |\psi (x,y,z)|^{2}\,\mathrm {d} V=1$

wobei das Integral sich über den gesamten Raum erstreckt.

Zwei unterscheidbare Teilchen in drei Raumdimensionen

In diesem Fall ist die Wellenfunktion eine komplexe Funktion von sechs Raumvariablen,

$\psi (x_{1},y_{1},z_{1},x_{2},y_{2},z_{2})\,$,

und $|\psi |^{2}\,$ ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Positionen beider Teilchen. Die Wahrscheinlichkeit einer Positionsmessung beider Teilchen in den beiden jeweiligen Regionen R und S ist dann

$\int _{R}\int _{S}|\psi |^{2}\,\mathrm {d} V_{2}\,\mathrm {d} V_{1}$

wobei $\mathrm {d} V_{1}=\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} y_{1}\mathrm {d} z_{1}$ und ebenso für $\mathrm {d} V_{2}$. Die Normierungsbedingung ist deshalb

$\int |\psi |^{2}\,\mathrm {d} V_{2}\,\mathrm {d} V_{1}=1$,

wobei das vorgestellte Integral über den gesamten Bereich aller sechs Variablen reicht.

Dabei ist von entscheidender Bedeutung, dass im Fall von Zwei-Teilchen-Systemen nur das System, das aus beiden Teilchen besteht, eine wohldefinierte Wellenfunktion haben muss. Daraus ergibt sich, dass es unmöglich sein kann, eine Wahrscheinlichkeitsdichte für Teilchen EINS zu definieren, welche nicht ausdrücklich von der Position von Teilchen ZWEI abhängt. Die Moderne Physik nennt dieses Phänomen Quantenverschränkung bzw. Quanten-Nichtlokalität.

Ein Teilchen im eindimensionalen Impulsraum

Die Wellenfunktion eines eindimensionalen Teilchens im Impulsraum ist eine komplexe Funktion $\psi (p)\,$ definiert auf der Menge der reellen Zahlen. Die Größe $|\psi |^{2}\,$ wird als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion im Impulsraum interpretiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Impulsmessung einen Wert im Intervall $[a,b]$ ergibt, ist folglich

$\int _{a}^{b}|\psi (p)|^{2}\,\mathrm {d} p\quad$.

Dies führt zur Normierungsbedingung

$\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (p)|^{2}\,\mathrm {d} p=1$,

weil eine Messung des Teilchenimpulses immer eine reelle Zahl ergibt.

Spin-½-Teilchen (z. B. Elektron)

Die Wellenfunktion eines Teilchens mit Spin ½ (ohne Berücksichtigung seiner räumlichen Freiheitsgrade) ist ein Spalten-Vektor

${\vec {\psi }}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{bmatrix}}$.

Die Bedeutung der Komponenten des Vektors hängt von der verwendeten Basis ab, typischerweise entsprechen $c_{1}$ und $c_{2}$ den Koeffizienten für eine Ausrichtung des Spins in $z$-Richtung (spin up) und entgegen der $z$-Richtung (spin down). In der Dirac-Notation ist dies:

$|\psi \rangle =c_{1}|{\mathord {\uparrow }}_{z}\rangle +c_{2}|{\mathord {\downarrow }}_{z}\rangle$

Die Werte $|c_{1}|^{2}\,$ und $|c_{2}|^{2}\,$ werden dann als die Wahrscheinlichkeiten interpretiert, dass der Spin bei einer Messung in $z$-Richtung oder entgegen der $z$-Richtung orientiert ist.

Dies führt zur Normierungsbedingung

$|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1\,$.

Siehe auch

• Austauschwechselwirkung
• Boson – Teilchen mit symmetrischer Wellenfunktion unter Permutation.
• Fermion – Teilchen mit antisymmetrischer Wellenfunktion unter Permutation.

Kategorie:Quantenmechanik