Division (Mathematik)

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Die Division ist eine der vier Grundrechenarten der Arithmetik. Sie ist die Umkehroperation der Multiplikation. Die Division wird umgangssprachlich auch als Teilen bezeichnet. Die schriftliche Division ist die Methode des Teilens mit Stift und Papier. In Österreich wird gelegentlich zwischen Messen (wie oft geht es in …?) und Teilen (wie viel ergibt es geteilt durch …?) unterschieden.^[1] Sie wird im Schulunterricht der Grundschule gelehrt und noch einmal in Schulbüchern für die 5. Klasse^[2] dargestellt, wird aber nach Einführung elektronischer Hilfsmittel von Lernenden kaum noch angewandt. Rechenzeichen für die Division sind : ÷ / als Geteiltzeichen.

Definition

Teilen oder Dividieren bedeutet: Zu einer gegebenen Zahl b (dem ersten Faktor) eine passende Zahl x (den zweiten Faktor) zu finden, sodass die Multiplikation ein gewünschtes Produkt a ergibt: Finde zu gegebenem $a$ und $b$ ein $x$ so, dass $b\cdot x=a$ .

Beschränkt man sich auf natürliche oder auf ganze Zahlen, so ist dies nicht immer möglich (siehe Teilbarkeit).

In Körpern, zum Beispiel im Körper der rationalen Zahlen oder in den Körpern der reellen sowie der komplexen Zahlen, gilt dagegen:

Für jede Zahl $a$ und für jede von null verschiedene Zahl $b$ gibt es genau eine Zahl $x$ , die die Gleichung $b\cdot x=a$ erfüllt.

Division ist also die Umkehrung der Multiplikation zur Bestimmung dieses $x$ . Man schreibt

„ $x=a:b\,$ (gelesen: „x gleich a geteilt durch b“ oder kurz „x gleich a durch b“ oder auch „x gleich a dividiert durch b“).“

Dabei heißen:

Die Zahl $a$ , die geteilt wird, „Dividend“ (lateinisch die zu Teilende (nämlich: Zahl)), in der Bruchrechnung auch „Zähler“.
Die Zahl $b$ , durch die geteilt wird, „Teiler“ oder „Divisor“ (lateinisch der, der teilt), in der Bruchrechnung auch „Nenner“.
Der Term $a:b$ heißt „Quotient“.
Das Ergebnis der Division heißt „Wert des Quotienten“ oder Quotientenwert, häufig kurz auch Quotient.

Merkhilfen:

Dividend durch Divisor gleich Wert des Quotienten.
Dividend: Divisor = Wert des Quotienten (Eselsbrücke: Dividend kommt im Alphabet vor Divisor)

Eigenschaften

Für die Division gilt weder das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz. Allerdings lässt sie sich auf die Multiplikation zurückführen, denn es gilt $a:b=a\cdot {\tfrac {1}{b}}$ .

Es kann also von Vorteil sein, die Division als Multiplikation mit dem Kehrwert zu schreiben, da die Multiplikation sowohl assoziativ als auch kommutativ ist und somit ein leichteres und weniger fehleranfälliges Umformen erlaubt. Für die Division gilt allerdings mit der Addition und der Subtraktion das zweite Distributivgesetz, das heißt $(a+b):c=a:c+b:c$ und $(a-b):c=a:c-b:c$ .

Man spricht hier auch von der Rechtsdistributivität der Division. Das erste Distributivgesetz (Linksdistributivität) ist jedoch mit der Addition und der Subtraktion im Allgemeinen nicht erfüllt.

Division durch null

Beispiel

Beispiel aus einer Konditorei: Wenn man einen Kuchen zwischen null Personen aufteilen möchte, wie viel vom Kuchen bekommt dann jede Person?

Es ist nicht möglich, die Frage zu beantworten, da niemand da ist, der die Kuchen bekommen könnte. Übersetzt man diese Frage in die Sprache der Mathematik und abstrahiert von allen möglichen außermathematischen Bedeutungen, wird aus der anschaulichen Frage „Wie verteile ich etwas auf 0 Plätze?“ das rein mathematische Problem „Wie dividiere ich durch 0?“.

Mathematischer Beweis

Sei $a:b=x\Longleftrightarrow b\cdot x=a$ (Division als Umkehroperation der Multiplikation). Wir nehmen weiter an, Division durch Null wäre lösbar (definierbar).

Fall 1: $a=b=0$ , also $0:0=x$ , also $0\cdot x=0$ , doch auch $0\cdot y=0$ (wobei $x\neq y$ ). Die Lösung $0:0=x$ wäre also genauso richtig wie $0:0=y$ , woraus wiederum $x=y$ folgt, ein Widerspruch, so dass dieser Fall unmöglich ist.

Fall 2: $b=0$ , $a\neq 0$ , also $a:0=x$ , also $0\cdot x=a$ . Wenn $x$ die Lösung von $a:0$ wäre, dann müsste laut unserer o. g. Festlegung $x$ auch die Lösung für $0\cdot x=a$ sein, was unmöglich ist, also wieder ein Widerspruch.

Da beide Fälle der Division durch Null zu Widersprüchen führen, muss die Annahme, die Division durch Null sei lösbar (definierbar), falsch sein.

Ist 1/0 = ∞?

Einige Menschen haben die Intuition, dass die Lösung der Division durch null unendlich sein müsse, da erfahrungsgemäß der einzelne immer mehr bekommt, je weniger da sind, mit denen er sich etwas teilen muss. Wenden wir diese Vorstellung des Verteilens auch auf positive Größen an, die kleiner als 1 werden können. Zum Beispiel auf das Verteilen von 1 Liter Wasser in quader- oder zylinderförmige Gefäße mit immer kleinerer Grundfläche, dann wird die Wassersäule desto höher, je kleiner die Grundfläche wird. Tatsächlich gibt es in der Mathematik die Methode des Grenzwertes, mit der ein sinnvolles Ergebnis für eine nicht direkt berechenbare Aufgabe ermittelt werden kann. Wendet man diese Methode auf zum Beispiel ${\tfrac {1}{x}}$ an, so strebt das Ergebnis tatsächlich gegen unendlich. Allerdings nur, wenn man sich der Null von der positiven Seite aus nähert. Nähert man sich der Null aus Richtung der negativen Zahlen an, passiert das genaue Gegenteil und der Wert der Funktion strebt gegen $-\infty$ . Somit strebt die Funktion an der Stelle $x=0$ sowohl gegen $+\infty$ als auch gegen $-\infty$ , hat also keinen eindeutigen Grenzwert. Auch dies zeigt, dass es nicht sinnvoll möglich ist, ${\tfrac {1}{0}}$ zu definieren. Allerdings sei einschränkend gesagt, dass dies nur gilt, solange man sich im Bereich der reellen Zahlen bewegt – für die komplexen Zahlen ist für gewöhnlich nur eine Unendlichkeit definiert.

Division durch null im Computer

In elektronischen Rechnersystemen erzeugt eine Division durch null meist $\pm \infty$ (bzw. NaN im Falle von 0/0), einen Laufzeitfehler oder wird anderweitig mit einer Ausnahmebehandlung abgefangen, da ein Weiterrechnen mit einem undefinierten Zwischenergebnis nicht sinnvoll wäre. Bei unachtsamer Programmierung können Divisionen durch null zu Fehlverhalten im laufenden Programm führen und in seltenen Fällen (zum Beispiel bei Auftreten im Kernel) sogar den gesamten Rechner zum Absturz bringen.

Division mit Rest

Im Bereich der ganzen Zahlen gilt: Eine Division ist nur dann gänzlich durchführbar, wenn der Dividend ein ganzzahliges Vielfaches des Divisors ist. Im Allgemeinen ist die Division hingegen nicht vollständig durchführbar, das heißt, es bleibt ein Rest übrig.

Schreibweisen

Es gibt mehrere Schreibweisen für die Division: $a:b$ oder $a\div b$ oder $a/b$ oder ${\frac {a}{b}}$ oder $a\cdot b^{-1}$ .

Der Doppelpunkt als Zeichen für die Division ist erst seit Leibniz (1646–1716) allgemein üblich, wenngleich er auch in älteren Schriften bekannt ist. William Oughtred führte die Notation in seinem Werk Clavis Mathematicae von 1631 ein.

Die Schreibweise ${\frac {a}{b}}$ heißt auch Bruchdarstellung oder kurz Bruch. Die Bruchschreibweise ist nur bei kommutativer Multiplikation eindeutig; das spielt in allgemeineren mathematischen Strukturen eine Rolle, wie sie unten unter „Verallgemeinerung“ erwähnt werden.

Die Schreibweise mit dem Obelus-Symbol $\div$ unterscheidet sich in der Semantik wesentlich von dem Solidus-Symbol $/$ .^[3]

a\div b\,c={\frac {a}{b\,c}}

a/b\,c=a:b\,c={\frac {a}{b}}\,c

In der Praxis wird das Symbol $\div$ jedoch von vielen Taschenrechnern und Mathematik-Software synonym für $/$ verwendet.

Verallgemeinerung

In der abstrakten Algebra definiert man algebraische Strukturen, die Körper genannt werden. Körper zeichnen sich dadurch aus, dass in ihnen die Division (außer durch 0) stets möglich ist. Die Division erfolgt hier durch Multiplikation mit dem inversen Element des Divisors.

In allgemeineren Strukturen (mit nichtkommutativer Multiplikation) muss man zwischen Linksdivision und Rechtsdivision unterscheiden. Auch hat die (Nicht-)Gültigkeit des Assoziativgesetzes Einfluss auf die Eigenschaften von Quotienten.

Siehe auch

Rationale Funktion – Division von Funktionen
Gruppentheorie
Ringtheorie
Schiefkörper
Quasigruppe
Divisionsalgebra
Polynomdivision
Vedische Mathematik - Vereinfachte Methode zum Dividieren

Literatur

S. A. Stepanov: Division. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).

Weblinks

Commons: Division (mathematics) – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wikibooks: Mathematik: Schulmathematik: Division – Lern- und Lehrmaterialien

Wiktionary: Division – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

↑ veritas.at
↑ zum Beispiel: Lambacher, Schweizer: Mathematik für Gymnasien 5. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 2006, ISBN 3-12-734551-8, S. 65–67.
↑ Johann H. Rahn: Teutsche Algebra. 1659 (Google Books [abgerufen am 14. Mai 2016]).

[1] veritas.at

[2] zum Beispiel: Lambacher, Schweizer: Mathematik für Gymnasien 5. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 2006, ISBN 3-12-734551-8, S. 65–67.

[3] Johann H. Rahn: Teutsche Algebra. 1659 (Google Books [abgerufen am 14. Mai 2016]).

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Division (Mathematik)

Inhaltsverzeichnis

Definition

Eigenschaften