Trägheitskraft

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In der Klassischen Mechanik sind Trägheitskräfte die in Form einer Kraft ausgedrückten Folgen, die die Trägheit eines Körpers nach sich zieht. Die Trägheitskraft zu einem bestimmten Zeitpunkt hängt vom Bewegungszustand des betrachteten Körpers und dem Bewegungszustand des Bezugssystems ab, relativ zu dem die Bewegung des Körpers betrachtet wird. Insbesondere gehen die Trägheitskräfte nicht wie die äußeren Kräfte auf ein äußeres Kraftfeld oder die Einwirkung eines anderen Körpers zurück und erfüllen daher auch nicht das dritte Newtonsche Gesetz (Gleichgewicht von Actio und Reactio).

Je nach der Anwendung auf physikalische Probleme unterscheidet man die Trägheitskraft im beschleunigten Bezugssystem und die d'Alembertsche Trägheitskraft. Beide spielen in der Theoretischen Mechanik und in der Technischen Mechanik eine große Rolle als Hilfsmittel zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen komplizierter mechanischer Systeme.

Ein Passagier in einem rotierenden Kettenkarussell wird durch die Zentrifugalkraft nach außen gedrängt.

In beschleunigten Bezugssystemen sind Trägheitskräfte in ihren Wirkungen den äußeren Kräften vollkommen gleichwertig. Zu ihren bekannten Formen zählen die Trägheitskraft beim Anfahren und Abbremsen, die Zentrifugalkraft und die Corioliskraft.

Kurze Erklärung der Trägheitskräfte[Bearbeiten]

Grundlage der Erklärung der Trägheitskräfte ist das Trägheitsprinzip, demzufolge die Bewegung eines kräftefreien Körpers geradlinig-gleichförmig erfolgt, sofern sie relativ zu einem Inertialsystem beschrieben wird. Eine äußere Kraft, die auf den Körper einwirkt, ändert die geradlinig-gleichförmige Bewegung zu einer beschleunigten Bewegung ab.[Anm. 1] Die d'Alembertsche Trägheitskraft bezeichnet dann das negative Produkt aus Masse und Beschleunigung des Körpers. Damit ist sie nach dem zweiten Newtonschen Gesetz (oder der Grundgleichung der Mechanik) genau das Negative der äußeren Kraft. Die d'Alembertsche Trägheitskraft wird auch als Trägheitswiderstand oder als Massenkraft bezeichnet, in der Technischen Mechanik auch ohne Zusatz einfach als Trägheitskraft.

Aus Sicht eines beschleunigten Bezugssystems erscheint aber ein Körper auch dann in einer beschleunigten Bewegung, wenn er ohne Einwirkung äußerer Kräfte ist und in einem Inertialsystem daher ruht oder sich geradlig-gleichförmig bewegt. Die Trägheitskraft im beschleunigten Bezugssystem bezeichnet diejenige Kraft, mit der man die Beobachtung dieser Beschleunigung nach dem zweiten Newtonschen Gesetz erklären kann. Die Trägheitskraft im beschleunigten Bezugssystem existiert also nicht „real“ wie die äußeren Kräfte, die nach Stärke und Richtung unabhängig von der Bewegung des Bezugssystems sind,[Anm. 2] sondern nur zum Zweck der Beschreibung der Bewegung im Rahmen des beschleunigten Bezugssystems. Sie wird daher auch als „Scheinkraft“, „Pseudokraft“ oder „fiktive Kraft“ bezeichnet. Ihre Wirkungen sind aber genauso real wie die von äußeren Kräften. Man bemerkt die Trägheitskraft häufig, wenn man gegenüber dem festen Erdboden beschleunigt wird und währenddessen den eigenen Körper und eventuell seine nähere Umgebung intuitiv zum Bezugssystem seiner Beobachtung von Ruhe und Bewegung nimmt. Dabei bildet die feste Erdoberfläche näherungsweise ein Inertialsystem. Beispiele sind die gefühlte Trägheit des eigenen Körpers beim Anfahren oder Bremsen der Straßenbahn oder des Fahrstuhls, die Zentrifugalkraft bei Kurvenfahrten z. B. im Auto, Riesenrad, Kettenkarussell. Weniger intuitiv verständlich ist die Corioliskraft, die z. B. großräumige Luftströmungen aufgrund der Rotation der Erdoberfläche zu Hoch- und Tiefdruckwirbeln formt. Betrachtet man aber die betreffende Bewegung des Körpers von einem Inertialsystem aus, erweisen sich die der Trägheitskraft zugeschriebenen Wirkungen ausnahmslos als Folge von äußeren Kräften, die von anderen Körpern ausgehen.

d'Alembertsche Trägheitskraft[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Beim Begriff der d'Alembertschen Trägheitskraft (in der Technischen Mechanik oft nur kurz als Trägheitskraft bezeichnet) legt man ein Inertialsystem zugrunde. Das zweite Newtonsche Gesetz

\vec F = m \, \vec a

verknüpft die gesamte äußere Kraft \vec F mit der im Inertialsystem zu beobachtenden Beschleunigung \vec a. Nach einer Umstellung zu \vec F - m \, \vec a = \vec 0 fasst man die Größe  - m \, \vec a als Kraft auf und bezeichnet sie als d'Alembertsche Trägheitskraft F_T[1]

\vec F_T = - m \, \vec a

In jedem Inertialsystem hat die d'Alembertsche Trägheitskraft, die an einem bestimmten Körper bei einem bestimmten Vorgang angreift, die gleiche Größe. Es gilt

\vec F + \vec F_T = \vec 0 .

Die Gesamtkraft aus äußerer Kraft und d'Alembertscher Trägheitskraft ist somit immer Null. Da diese Gleichung formal von einem statischen Gleichgewicht nicht zu unterscheiden ist, wird sie auch als dynamisches Gleichgewicht bezeichnet.

Dynamisches Gleichgewicht / d'Alembertsches Prinzip[Bearbeiten]

Die Tatsache, dass äußere Kraft und d'Alembertsche Trägheitskraft in der Summe Null ergeben, sich also gegenseitig aufheben, wird in der Technischen Mechanik als dynamisches Gleichgewicht oder d'Alembertsches Prinzip[Anm. 3] bezeichnet. Vorbild ist dabei das statische Gleichgewicht, weil es durch die Bedingung \sum \vec F = \vec 0 gegeben wird. Durch die Einführung der d'Alembertschen Trägheitskraft kann somit das Konzept des mechanischen Gleichgewichts vom stabilen statischen Fall auf Systeme mit beliebigen Beschleunigungen ausgeweitet werden. Allerdings muss bei weitergehenden Fragen nach der Bedeutung oder Interpretation dieser Kraft gegebenenfalls beachtet werden, dass sie nicht wie allen äußeren Kräfte auf eine Wechselwirkung mit einem anderen Körper zurückgeht.

Anwendung[Bearbeiten]

Großen praktischen Nutzen entfaltet das Konzept der d'Alembertschen Trägheitskraft bei der Behandlung von Bewegungen, die von einer bekannten äußeren Kraft beeinflusst werden, aber zusätzlich auf vorbestimmte Bahnen oder Flächen beschränkt sind. Die äußere Kraft \vec F besteht demnach aus zwei Teilen. Zum einen die Zwangskraft \vec F\!_Z , die senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkt und den Körper auf seiner Bahn (bzw. Fläche) hält. Der andere Teil ist die eingeprägte Kraft \vec F\!_E , die den Körper längs seiner Bahn (bzw. in der Fläche) beschleunigt. Die Bewegungsgleichung lautet nach dem 2. Newtonschen Gesetz also:

\vec F\!_E + \vec F\!_Z = m\,\vec a

Die Stärke der Zwangskräfte \vec F\!_Z und der eingeprägten Kräfte \vec F\!_E , die an einem Ort einwirken müssen, lässt sich im Nachhinein aus dieser Gleichung ermitteln, wenn die Beschleunigung \vec a = \ddot {\vec r} an diesem Ort \vec r bekannt ist, also der genaue Ablauf der Bewegung. Doch müsste umgekehrt erst die Größe aller Kräfte bekannt sein, um nach der Newtonschen Mechanik die Bewegungsgleichung konkret aufzustellen, aus der der genaue Bewegungsablauf \vec r(t) zu ermitteln ist. Eine Lösung aus dieser Zwickmühle bietet in vielen Fällen das Prinzip der virtuellen Arbeit (in der Physik als d'Alembertsches Prinzip bezeichnet), nach dem die Zwangskräfte am bewegten Körper keine Arbeit verrichten, da sich der Körper nicht in Richtung der Zwangskräfte bewegt. Demnach ist die vorherige Kenntnis der Zwangskräfte unnötig, wenn man die Rechnung in einem geeignet gewählten System von unabhängigen Koordinaten (generalisierte Koordinaten) durchführt. Diese Koordinaten müssen die Bewegung beschreiben und deren Einschränkungen schon berücksichtigen.

Beispiel[Bearbeiten]

Um dies Vorgehen an einem simplen Beispiel zu erläutern, sei eine bestimmte eingeprägte Kraft und als Bewegungseinschränkung eine vorgeschriebene Kreisbahn mit Radius R gewählt. In kartesischen Koordinaten (x,\,y) mit dem Ursprung im Kreismittelpunkt besteht die Zwangsbedingung x^2 + y^2 = R^2. Bei einer Berechnung in diesem Koordinatensystem würde die Beschleunigung (\ddot x,\,\ddot y) nun von den x- und y-Komponenten der eingeprägten Kraft und denen der Zwangskraft abhängen, die den Körper hindert, die Kreisbahn zu verlassen. Geeignet sind hier Polarkoordinaten (r,\,\varphi), wobei r=R die Zwangsbedingung aufnimmt, und die einzige, frei variable Koordinate der Winkel \varphi ist. Zu einer infinitesimalen Variation \delta \varphi ermittelt man das zugehörige Stück der Bahn \delta \vec r und bestimmt die dazu parallelen Komponenten sowohl der eingeprägten Kraft als auch der Beschleunigung (hier  R \ddot{\varphi}). Mit der d'Alembertschen Trägheitskraft (hier - m R \ddot{\varphi}) gilt dann die Gleichung des dynamischen Gleichgewichts, aus der die gesuchte Lösung (hier \varphi(t)) ermittelt wird.

Beziehung zur Trägheitskraft in beschleunigten Bezugssystemen[Bearbeiten]

Die im Inertialsystem ermittelte d'Alembertsche Trägheitskraft ist genau so groß wie die Trägheitskraft im beschleunigten Bezugssystem, die man für den Fall ermittelt, wo man als beschleunigtes Bezugssystem gerade das Ruhesystem des betreffenden Körpers zugrundelegt. Überhaupt führt die konkrete Behandlung einer mechanischen Frage immer zu übereinstimmenden Ergebnissen, unabhängig davon, ob die Rechnung mit oder ohne Benutzung der d'Alembertschen Trägheitskraft durchgeführt wird.

Jedoch steht die grundsätzliche Interpretation der d'Alembertschen Trägheitskraft als eine Kraft in Konflikt mit der Interpretation des Begriffs Kraft nach Newton. Beispielsweise ist unter Einbeziehung der d'Alembertschen Trägheitskraft die Gesamtkraft auf einen Körper immer Null, also wie im Fall eines statischen Gleichgewichts oder der kräftefreien Bewegung. Somit könnte man nicht mehr ganz allgemeingültig sagen, Kraft sei die Ursache von Beschleunigung. Das aber ist der Ausgangspunkt der Newtonschen Mechanik. Demgegenüber wird im Begriff der d'Alembertschen Trägheitskraft die ältere Bedeutung der Trägheit korrekt gefasst. Diese hatte seit dem Altertum und bis hin zu Newtons Vorläufer Johannes Kepler darin bestanden, aller Materie (im Gegensatz zum Geist) die Eigenschaft der Trägheit zuzuschreiben, die sich dadurch äußern soll, dass ein Körper sich durch eine Trägheitskraft („vis inertiae“) jeder Bewegung überhaupt widersetzt.[2]

Trägheitskraft im beschleunigten Bezugssystem[Bearbeiten]

Begriffsbildung[Bearbeiten]

Die Trägheitskraft im beschleunigten Bezugssystem (in der Physik oft nur kurz als Trägheitskraft bezeichnet) entspricht der alltäglichen Wahrnehmung solcher Kräfte. Grundlage der Definition nach Leonhard Euler[3][Anm. 4] ist das Trägheitsprinzip (oder Erstes Newtonsches Gesetz). Demzufolge gibt es unter den verschiedenen Bezugssystemen solche, in denen jeder sich selbst überlassene Körper sich mit seiner momentanen Geschwindigkeit geradlinig-gleichförmig weiterbewegt (einschließlich des Sonderfalls Geschwindigkeit Null). Jede Abweichung von dieser kräftefreien, geradlinig-gleichförmigen Bewegung wird als Beschleunigung bezeichnet und gilt als Beweis, dass eine Kraft auf den Körper einwirkt. Größe und Richtung der Kraft sind nach dem 2. Newtonschen Gesetz durch das Produkt von Masse und Beschleunigung gegeben. Diese Bezugssysteme werden seit 1886 als Inertialsysteme bezeichnet, im Unterschied zu beschleunigten Bezugssystemen, die selber gegenüber dem Inertialsystem in beschleunigter Bewegung sind.

Relativ zu einem solchen beschleunigten Bezugssystem erscheint die im Inertialsystem geradlinig-gleichförmige Bewegung des Körpers nicht geradlinig-gleichförmig, also beschleunigt. Nach Euler werden auch diese, in gewissem Sinn „scheinbaren“ Beschleunigungen als Folge einer „scheinbar“ einwirkenden Kraft angesehen. Diese Kraft wird Trägheitskraft genannt, denn sie entsteht nicht wie die „äußeren Kräfte“ aus der Einwirkung anderer Körper, sondern verdankt ihre Existenz einzig der Trägheit des Körpers in Verbindung mit der speziellen Wahl des beschleunigten Bezugssystems. Größe und Richtung dieser Trägheitskraft werden genauso wie vorher aus dem Produkt von Masse des Körpers und seiner beobachteten Beschleunigung ermittelt (abzüglich der Beschleunigung, die gegebenenfalls durch äußere Kräfte verursacht ist).

In einfachen Fällen ergibt sich die Trägheitskraft im beschleunigten Bezugssystem in Form der Trägheitskraft beim Beschleunigen oder Abbremsen, der Zentrifugalkraft, der Corioliskraft oder der Eulerkraft. In den meisten Fällen ist die gesamte Trägheitskraft die Summe dieser vier Trägheitskräfte. Die Abhängigkeit der Trägheitskräfte von der Wahl des Bezugssystems zeigt sich darin, dass sie in einem Inertialsystem gar nicht auftreten, und dass man für einen gegebenen Vorgang je nach Wahl des Bezugssystems verschiedene Kombinationen der genannten Formen der Trägheitskräfte erhält.

Wählt man für einen bestimmten Vorgang das Bezugssystem so, dass es sich mit dem Schwerpunkt des Körpers mit bewegt, dann ergibt sich für dieses Bezugssystem die Trägheitskraft im beschleunigten Bezugssystem genau gleich der d'Alembertschen Trägheitskraft, die man für denselben Vorgang erhalten würde, wenn er von einem Inertialsystem aus betrachtet wird. Trotzdem dürfen beide Begriffe nicht gleichgesetzt werden, denn ihr Gebrauch ist an entgegengesetzte Voraussetzungen geknüpft: die d'Alembertsche Trägheitskraft setzt ein Inertialsystem voraus, die Trägheitskraft im beschleunigten Bezugssystem ein Nicht-Inertialsystem.

Sind im gewöhnlichen Fall auch andere Kräfte zu berücksichtigen (was daran zu erkennen ist, dass auch vom Inertialsystem aus gesehen die Bewegung des Körpers nicht geradlinig-gleichförmig verläuft), werden diese zu der Trägheitskraft vektoriell addiert. Mit dieser Gesamtkraft gilt dann das 2. Newtonsche Gesetz auch für die Beobachtungen relativ zu diesem beschleunigten Bezugssystem.

Zu dem hier definierten Begriff der Trägheitskraft im beschleunigten Bezugssystem, der in der Physik häufig benutzt wird, gelangt man auch auf folgendem Weg: Statt eine Bewegung im beschleunigten Bezugssystem aus der Sicht eines beschleunigten Beobachters zu betrachten, kann sie von einem Inertialsystem aus als „zusammengesetzte Bewegung“ beschrieben werden, zusammengesetzt aus der Bewegung des Körpers relativ zu einem bewegten Bezugssystem und der Bewegung dieses Bezugssystems gegenüber dem Inertialsystem. In der zusammengesetzten Bewegung sind dann neben der Relativbeschleunigung, die allein aus der Bewegung des Körpers relativ zum bewegten Bezugssystem zu ermitteln ist, zwei weitere additive Anteile der Beschleunigung zu erkennen: eine Führungsbeschleunigung, die der Körper zeigt, um sich mit dem bewegten Bezugssystem lediglich mitzubewegen, und die Coriolis-Beschleunigung, falls das bewegte Bezugssystem rotiert und der Körper sich in diesem Bezugssystem bewegt. Die Kräfte, die sich aus diesen beiden letztgenannten Anteilen der Beschleunigung durch Multiplikation mit der Masse ermitteln, sind mit umgekehrtem Vorzeichen gleich den Trägheitskräften, wie sie nach dem in der Physik üblichen Vorgehen für die Relativbewegung im beschleunigten Bezugssystem anzusetzen sind.

Trägheitskraft beim Beschleunigen oder Abbremsen[Bearbeiten]

In der Trägheitskraft im beschleunigten Bezugssystem unterscheidet man vier Beiträge, die in den folgenden Absätzen am Beispiel eines Mitfahrers in einem Fahrzeug anschaulich einzeln dargestellt werden. Das bewegte Bezugssystem ist jeweils fest mit dem Fahrzeug verbunden, und der Mitfahrer, der hier auch der Beobachter ist, bleibt relativ zu diesem Bezugssystem (praktisch) in Ruhe. (Von anderen Bezugssystemen aus würde sich aus der Betrachtung derselben Bewegung jeweils eine andere Trägheitskraft ergeben, wobei die einzelnen Arten sich auch vermischen können.) Das Inertialsystem ist mit dem Erdboden verbunden.

Ein Fahrzeug werde parallel zu seiner Geschwindigkeit v_B mit der Beschleunigung a_B beschleunigt (a_B > 0) oder abgebremst (a_B < 0).

Beobachtung im mitbewegten Bezugssystem: Auf einen Körper der Masse m wirkt die Trägheitskraft

F_{T}=-m\,a_B .

Die Trägheitskraft F_{T} ist der Beschleunigung des Bezugssystems entgegengerichtet. Beim „Gas geben“ drückt sie den Fahrgast nach hinten gegen die Rückenlehne, beim Bremsen nach vorne gegen die Gurte.

Beobachtung im Inertialsystem: Damit der Fahrgast synchron mitbeschleunigt wird, muss auf ihn die Kraft F=+m\,a_B wirken. Beim Gasgeben übt seine Rückenlehne diese Kraft aus („Schub“). Beim Abbremsen wird er durch die Kraft verlangsamt, die der Gurt auf ihn ausübt („negativer Schub“).

Weitere Beispiele: Aufprall beim Fall auf den Boden oder beim Auffahrunfall, Umkippen aufrecht stehender Gegenstände bei Beschleunigung der Unterlage (auch bei Erdbeben), Schütteln und Rütteln.

Zentrifugalkraft[Bearbeiten]

Hauptartikel: Zentrifugalkraft

Ein Fahrzeug fährt mit der konstanten Geschwindigkeit v_B durch eine Kurve mit Radius R.

Beobachtung im mitbewegten Bezugssystem: Auf einen mitbewegten Körper der Masse m wirkt die Trägheitskraft

F_{T}=\frac{m\,v^2_B}{R}.

Diese Trägheitskraft ist vom Kurvenmittelpunkt radial nach außen gerichtet und heißt Zentrifugalkraft. Sie drückt den Fahrgast gegen die in der Kurve außen liegende Seitenlehne.

Beobachtung im Inertialsystem: Damit der Fahrgast relativ zu seinem Sitz in Ruhe bleibt, muss er dieselbe Kreisbahn durchlaufen wie das Fahrzeug. Dazu muss auf ihn die Kraft F=\frac{m\,v^2_B}{R} in Richtung zum Kurvenmittelpunkt wirken (Zentripetalkraft). Anderenfalls würde er sich geradeaus weiter bewegen. Diese Kraft wird von der außen liegenden Seitenlehne auf ihn ausgeübt.

Weitere Beispiele: Wäscheschleuder, ansatzweise Schwerelosigkeit am höchsten Punkt im Riesenrad, nach außen gedrängte Sitze im Kettenkarussell, das Ausbrechen aus der Kurve beim Auto- oder Fahrradfahren.

Corioliskraft[Bearbeiten]

Hauptartikel: Corioliskraft

Ein Kind sitzt in einem Karussell und will eine Kugel in einen Korb werfen, der im Mittelpunkt des Karussells steht. Es zielt genau zur Mitte, doch wenn das Karussell sich dreht, fliegt die Kugel trotzdem neben dem Korb vorbei. (Kind und Korb befinden sich auf gleicher Höhe; die Schwerkraft sei bei der Betrachtung außer acht gelassen.)

Beobachtung im mitbewegten Bezugssystem: Die Kugel wird mit Geschwindigkeit v' radial nach innen losgeworfen und fliegt mit konstanter Geschwindigkeit, vollführt aber keine geradlinige Bewegung. Stattdessen beschreibt sie eine zur Seite gekrümmte Kurve. Denn quer zu ihrer Geschwindigkeitsrichtung wirkt in horizontaler Richtung die Trägheitskraft

F_{T}=2m \, v' \, \omega .

Darin ist \omega = \frac{2 \pi}{\mathrm{Dauer\ einer\ Umdrehung}} die Winkelgeschwindigkeit des Karussells.

Beobachtung im Inertialsystem: Die fliegende Kugel ist kräftefrei und macht eine geradlinig-gleichförmige Bewegung mit der Geschwindigkeit, die ihr zu Anfang erteilt wurde. Nach Betrag und Richtung setzt diese sich zusammen aus der Geschwindigkeit v', die das Kind der Kugel in der Richtung mitgibt, die im Moment des Abwurfs radial nach innen zeigt, und der Geschwindigkeit v_B , mit der das Kind (bzw. der Beobachter) selber sich zu diesem Zeitpunkt in tangentialer Richtung mit dem Karussell mitbewegt. Diese beiden Geschwindigkeiten stehen im rechten Winkel zueinander. Die Richtung der daraus zusammengesetzten Gesamtgeschwindigkeit zeigt am Korb vorbei.

Die Corioliskraft tritt in einem rotierenden Bezugssystem immer auf, wenn ein Körper darin nicht ruht, sondern sich relativ zu diesem bewegt (ausgenommen Bewegungen nur parallel zur Drehachse). Man kann sie wie jede Trägheitskraft am eigenen Körper dann spüren, wenn man sie durch Festhalten kompensieren muss (z. B. wenn man auf der Drehscheibe des Kinderspielplatzes auf gerader Linie nach innen gehen will ohne seitlich abgelenkt zu werden). Wenn im Allgemeinen Fall die Relativgeschwindigkeit v' eine radiale, eine tangentiale und eine achsenparallele Komponente hat, bleibt die achsenparallele Komponente folgenlos. Die radiale Geschwindigkeitskomponente ruft eine tangentiale Corioliskraft hervor (wie anfangs im obigen Beispiel). Die tangentiale Geschwindigkeitskomponente des Körpers, die einer Erhöhung oder Verringerung seiner Umlaufgeschwindigkeit gleicht, ruft eine radiale Komponente der Corioliskraft hervor, also parallel oder antiparallel zur Zentrifugalkraft, die auf der rotierenden Scheibe herrscht. Beide Kräfte zusammen ergeben eine radiale Trägheitskraft, die genau derjenigen Zentrifugalkraft auf den Körper entspricht, die auf den Körper aufgrund seiner aktuellen (erhöhten oder verringerten) Umlaufgeschwindigkeit wirkt. (Steht man z. B. auf einer Drehscheibe, spürt man nur die Zentrifugalkraft. Läuft man aber genau mit der Umlaufgeschwindigkeit der Scheibe entgegen der Drehbewegung, dann wirkt zusätzlich eine Corioliskraft radial nach innen und hebt diese Zentrifugalkraft exakt auf. Für den ruhenden Beobachter außerhalb der Drehscheibe bleibt der Läufer ja auch wegen des Laufens immer an derselben Stelle, d. h. seine eigene Winkelgeschwindigkeit im Inertialsystem ist Null.) Tangentiale und radiale Komponente der Corioliskraft zusammen ergeben, dass die Corioliskraft im rotierenden Bezugssystem stets senkrecht auf der Geschwindigkeitsrichtung (und auf der Drehachse) steht und daher die Bahn eines sonst kräftefreien Körpers zu einem Kreis umlenkt. Das ist z. B. an den Wolkenbildern um Hoch- und Tiefdruckgebiete zu sehen.

Weitere Beispiele: Drehung der Pendelebene beim Foucaultschen Pendel, subtropischer Passatwind und stratosphärischer Jetstream, Ostablenkung frei fallender Körper auf der Erde.

Euler-Kraft[Bearbeiten]

Hauptartikel: Euler-Kraft

Wenn die Winkelgeschwindigkeit eines rotierenden Bezugssystems nach Betrag und/oder Richtung variiert, tritt die Euler-Kraft auf (wobei dieser Name sich nicht fest eingebürgert hat). Ein einfaches Beispiel mit Änderung des Betrags bei feststehender Richtung der Drehachse ist das Anfahren eines Karussells. Wenn man die Bewegung des Fahrgasts in dem Bezugssystem beschreibt, das sich mit dem Karussell zu drehen beginnt, ist seine Winkelbeschleunigung \dot \omega = \frac{d \omega}{dt} und im Abstand r' von der Achse die Trägheitskraft F_T =- m\, \dot \omega \,r'. Sie ist der tangentialen Beschleunigung a=\dot \omega \,r', die man im Inertialsystem hier beobachtet, entgegengerichtet und unterscheidet sich in nichts von der Trägheitskraft beim Beschleunigen oder Abbremsen.

Wenn die Drehachse auch ihre Richtung verändern kann, ist die Euler-Kraft gegeben durch die allgemeine Formel

\vec F_T =- m\, \dot {\vec \omega} \times \vec {r}{\;'}

Darin ist der Vektor \dot {\vec \omega} = \frac{d \vec {\omega}}{dt} die Winkelbeschleunigung, also nach Richtung und Betrag die Änderungsgeschwindigkeit der vektoriellen Winkelgeschwindigkeit \vec {\omega} .

Zur Erläuterung sei diese Trägheitskraft am Beispiel eines Massenpunktes betrachtet, der Teil eines horizontalen, schnelldrehenden, rotationssymmetrischen Kreisels ist, während dieser eine (langsame) Präzession um eine vertikale Achse ausführt (siehe[4]).

Beobachtung im Inertialsystem: Wenn der Kreisel nicht präzediert, verläuft die Bahn des Massenpunkts kreisförmig in einer festen, senkrechten Ebene. Diese Kreisbewegung wird durch eine entsprechende Zentripetalkraft hervorgerufen, die hier nicht weiter betrachtet werden muss. Bei Präzession dreht sich die Bahnebene um eine senkrechte Achse. Die Bahn des Massenpunkts hat dadurch eine zusätzliche Krümmung, die am oberen und unteren Punkt entgegengesetzt und besonders groß ist, weil der Massenpunkt dann die Drehachse der Bahnebene passiert. Diese Krümmung kann nur durch eine zusätzliche äußere Kraft hervorgerufen sein, die parallel bzw. antiparallel zur Kreiselachse steht. Diese für die Präzession erforderliche äußere Zusatzkraft auf den Massenpunkt variiert also bei jeder Umdrehung des Kreisels. Da der Kreisel rotationssymmetrisch ist, ergibt sich in der Summe über alle Massenpunkte, dass die zusätzlichen Kräfte zusammen einem Drehmoment entsprechen. In einem Bezugssystem, in dem die Kreiselachse feststeht, das aber die schnelle Rotation des Kreisels nicht mitmacht, ist dies Drehmoment zeitlich konstant. Damit die Präzessionsbewegung des Kreisels so abläuft wie beobachtet, muss dies Drehmoment von außen konstant auf die Kreiselachse einwirken. Der Vektor des Drehmoments steht senkrecht auf der (horizontalen) Kreiselachse und auf der (vertikalen) Achse der Präzession. Bei ruhendem Kreisel würde die Achse dann einfach nach oben oder unten kippen.
In Demonstrationsversuchen mit einem kräftefreien Kreisel (wie in[4]) wird das zur Präzession erforderliche äußere Drehmoment durch ein angehängtes Gewicht realisiert, beim schräg stehenden Spielzeugkreisel durch die am Schwerpunkt angreifende Schwerkraft.

Beobachtung im bewegten Bezugssystem: Legt man als bewegtes Bezugssystem das Ruhesystem des Massenpunkts zugrunde, dann ruht er relativ hierzu, obwohl die eben beschriebene äußere Zusatzkraft auf ihn wirkt. Der Grund ist, dass sie durch eine entgegengesetzt gleich große Trägheitskraft kompensiert ist, die gerade aus der besonderen Art der beschleunigten Bewegung dieses Bezugssystems entsteht. Diese Kraft ist die Euler-Kraft.

(Das Bezugssystem ist hier so gewählt, dass seine Rotationsachse sich ändert und damit die Eulerkraft hervorbringt. Das Bezugssystem führt sowohl die schnelle Rotation um die horizontal liegende Kreiselachse als auch die langsame Präzession der Kreiselachse um die vertikale Achse durch den Aufhängepunkt aus. Um die Präzession zu erklären, wird häufig ein leichter vorstellbares Bezugssystem gewählt, in welchem die Kreiselachse ruht, der Kreisel sich aber dreht. Dies Bezugssystem zeigt nur die Präzession mit ihrer konstanten Winkelgeschwindigkeit, ruft also keine Euler-Kraft hervor. Relativ zu diesem Bezugssystem bewegt sich aber der Massenpunkt und erfährt daher eine Coriolis-Kraft. Diese stimmt an jedem Punkt seines Umlaufs mit der vorher - im Ruhesystem des Massenpunkts - ermittelten Euler-Kraft überein. Z. B. ist die Coriolis-Kraft am größten, wenn die Relativgeschwindigkeit des Massenpunkts senkrecht zur Rotationsachse des Bezugssystems, also der Präzessionsachse steht. Das geschieht am oberen und unteren Punkt der Kreisbahn, mit entgegengesetzten Vorzeichen der Coriolis-Kraft.)

Weitere Beispiele: Kollermühle. Dort erhöht das Umlaufen der Mühlsteine den Druck auf die Unterlage, was wie im Fall der Präzession je nach Wahl des beschleunigten Bezugssystems durch eine Eulerkraft oder eine Coriolis-Kraft zu erklären ist.

Formeln[Bearbeiten]

Definitionen[Bearbeiten]

Um zwischen den Größen eines Objektes (z. B. Ort, Geschwindigkeit) in zwei Bezugssystemen zu unterscheiden, wird für die Beobachtungen im Inertialsystem die normale Notation im verwendet und für das beschleunigte Bezugssystem jeweils der gleiche Buchstabe mit einem Apostroph (engl. prime). Letzteres wird dann auch als „gestrichenes Bezugssystem“ bezeichnet, und alle darauf bezogenen Größen erhalten zur sprachlichen Unterscheidung den Zusatz „Relativ-“. Der Subindex _B steht für den Beobachter, der am Ursprung des gestrichenen Bezugssystems steht.

Bedeutung
m Masse des betrachteten Körpers.
\vec{r} Position des Objektes in S (Inertialsystem).
\vec{r}{\;'} Relativposition des Objektes in S' (Nicht-Inertialsystem).
\vec{v}=\dot{\vec{r}} Geschwindigkeit des Objektes in S
\vec{v}{\;'} Relativgeschwindigkeit des Objektes in S'
\vec{a}=\dot{\vec{v}} Beschleunigung des Objektes in S
\vec{a}{\;'} Relativbeschleunigung des Objektes in S'
\vec{r}_B Position des Ursprungs von S' in S
\vec{v}_B=\dot{\vec{r}}_B Geschwindigkeit des Ursprungs von S' in S
\vec{a}_B=\dot{\vec{v}}_B Beschleunigung des Ursprungs von S' in S
\vec{\omega} Winkelgeschwindigkeit des Systems S' in S
\vec{\alpha}=\dot{\vec{\omega}} Winkelbeschleunigung des Systems S' in S

Bei als bekannt vorausgesetzter äußerer Kraft \vec F gilt im Inertialsystem S das zweite Newtonsche Axiom

m \vec a = \vec F

Die Gleichung kann nach der unbekannten Beschleunigung \vec{a} aufgelöst werden. Im beschleunigten System S' liegt bei demselben Vorgang eine andere Beschleunigung \vec{a}{\;'} vor. Dafür wird analog zum 2. Newtonschen Gesetz angesetzt:

m\vec{a}{\;'}=\vec{F}{\;'}=\vec{F}+\vec F_T

oder gleichbedeutend

\vec F_T = m\vec{a}{\;'} - \vec{F}

Diese Gleichung ist die Definition der Trägheitskraft \vec{F}_{T}. Wird \vec{F}_{T} in dieser Form mit berücksichtigt, kann man die ganze Newtonsche Mechanik auch im beschleunigten Bezugssystem anwenden. Um \vec{F}_{T} näher zu bestimmen, muss die Relativbeschleunigung \vec{a}{\;'} durch die Beobachtungen im Inertialsystem ausgedrückt werden.

Translatorisch bewegtes Bezugssystem S'[Bearbeiten]

Bewegt sich S' im Inertialsystem S rein translatorisch, also ohne jede Drehung, dann bewegen sich alle Punkte, die in S' ruhen, parallel zueinander mit derselben Geschwindigkeit \vec{v}_B wie der Ursprung. Eine Relativbewegung im Bezugssystem kommt additiv hinzu. Folglich gilt:

kinematische Größen in S
Position \vec{r}=\vec{r}_{B}+\vec{r}{\;'}
Geschwindigkeit \vec{v}=\frac {d \vec r}{d t}=\vec{v}_{B}+\vec{v}{\;'}
Beschleunigung \vec a =\frac {d \vec v}{d t}=\vec{a}_{B}+\vec{a}{\;'}

Wird aus der letzten Gleichung \vec {a}{\;'} ermittelt und dies in die Definitionsgleichung von \vec F_T eingesetzt, ergibt sich:

\vec F_T = -m\vec{a}_{B}

Allgemein beschleunigtes Bezugssystem S'[Bearbeiten]

Bei der Ableitung eines Vektors, der in einem rotierenden Bezugssystem gegeben ist, muss die Winkelgeschwindigkeit \vec \omega und die Winkelbeschleunigung \dot {\vec \omega} des Bezugssystems berücksichtigt werden. Die kinematischen Beziehungen lauten:

kinematische Größen in S
Position \vec{r}=\vec{r}_{B}+\vec{r}{\;'}
Geschwindigkeit \vec{v}=\frac {d \vec r}{d t}=\vec{v}_{B}+\vec \omega \times \vec{r}{\;'}+ \vec{v}{\;'}
Beschleunigung \vec a =\frac {d \vec v}{d t}= \vec a_B + \vec \omega \times ( \vec \omega \times \vec {r}{\;'}) + \dot {\vec \omega} \times \vec {r}{\;'} + 2 \, \vec \omega \times \vec {v}{\;'}  + \vec {a}{\;'}

Setzt man die Absolutbeschleunigung \vec a in die Newtonsche Bewegungsgleichung ein, ergibt sich:

m\vec{a}_{B}  + m\vec \omega \times ( \vec \omega \times \vec {r}{\;'}) + m\dot {\vec \omega} \times \vec {r}{\;'} + 2 m\, \vec \omega \times \vec {v}{\;'} + m\vec {a}{\;'}=\vec{F}

Aufgelöst nach dem Term mit der Relativbeschleunigung folgt:

 m\vec {a}{\;'} = \vec{F} \quad - m\vec{a}_{B}\quad  \underbrace {- m\vec \omega \times ( \vec \omega \times \vec {r}{\;'})}_{\vec{F}_{\mathrm{zentrifugal}}}\quad  \underbrace {- m\dot {\vec \omega} \times \vec {r}{\;'}}_{\vec{F}_{\mathrm{Euler}}}\quad  \underbrace {-2 m\, \vec \omega \times \vec {v}{\;'}}_{\vec{F}_{\mathrm{Coriolis}}} =\vec F + \vec F_T

Der Term \vec{F}_{\mathrm{T}}=-m\vec{a}_{B} +\vec{F}_{\mathrm{zentrifugal}}+\vec{F}_{\mathrm{Euler}}+\vec{F}_{\mathrm{Coriolis}} ist die Trägheitskraft, die zusätzlich zur Kraft \vec{F} im beschleunigten Bezugssystem auftritt.

Der Ausdruck -m \vec a_B rührt aus der Beschleunigung des Bezugssystems her und hat keinen besonderen Namen.[5] Weiter ist \vec{F}_{\mathrm{zentrifugal}}=- m\vec \omega \times ( \vec \omega \times \vec {r}{\;'}) die Zentrifugalkraft. Der Term  \vec F_\mathrm{Euler}=- m\dot {\vec \omega} \times \vec {r}{\;'} wird hier nach[6]:103 als Eulerkraft bezeichnet (in[7] als „lineare Beschleunigungskraft“). Der Term \vec{F}_{\mathrm{Coriolis}}=-2m(\vec{\omega}\times\vec{v}{\;'}) ist die Corioliskraft.

Trägheitskraft und Machsches Prinzip[Bearbeiten]

Hauptartikel: Machsches Prinzip

Im Rahmen der Newtonschen Mechanik ist es möglich, theoretisch schon einem einzigen Körper im ansonsten leeren Universum Eigenschaften wie Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Trägheit und damit auch Trägheitskraft zuzuschreiben. Die begriffliche Grundlage hierfür sind die Annahmen eines absoluten Raums und einer absoluten Zeit, die durch die Spezielle Relativitätstheorie und die Allgemeine Relativitätstheorie aber als unhaltbar erkannt wurden. Schon vorher hatte Ernst Mach in einem nach ihm benannten Prinzip gefordert, die Gesetze der Mechanik so abzufassen, dass nur die Relativbewegungen der im Weltall verteilten Massen eine Rolle spielen. Dann müssen aber auch Trägheit und Trägheitskraft eines Körpers auf einer Wechselwirkung mit anderen Körpern beruhen.

Gravitationskraft als Trägheitskraft[Bearbeiten]

Begriffsbildung[Bearbeiten]

Auch die Gravitationskraft hat Eigenschaften einer Trägheitskraft: Sie ist proportional zur Masse eines Körpers und hängt ansonsten von keinen anderen Eigenschaften des Körpers ab. Tatsächlich kann man zwischen Gravitations- und Trägheitskraft prinzipiell nicht unterscheiden. Zu einem Gravitationsfeld lässt sich stets ein beschleunigtes Bezugssystem definieren, in dem die auftretenden Trägheitskräfte die Gravitationskräfte gerade kompensieren, und zwar unabhängig von der Bewegung und der Art des Körpers. Dazu muss dieses Bezugssystem gegenüber dem ruhenden System einfach nur einen freien Fall ausführen. Innerhalb des fallenden Bezugssystems würden weder Gravitations- noch Trägheitskräfte zu beobachten sein, da sie sich ja exakt aufheben. Allerdings gilt dies wegen der Inhomogenität eines jeden Gravitationsfelds immer nur lokal, d. h. genähert in einem hinreichend kleinen Raumgebiet.

Diese Beobachtung lässt sich umdeuten, indem man das frei fallende Bezugssystem als das hier gültige Inertialsystem definiert. Dann ist das vorherige Bezugssystem, in dem Gravitation herrscht, kein Inertialsystem mehr, denn von dem neuen Inertialsystem aus gesehen bewegt es sich entgegengesetzt zum freien Fall, also beschleunigt. In diesem System treten dann Trägheitskräfte auf, die exakt mit den vorher dort festgestellten Gravitationskräften übereinstimmen und sie daher vollständig ersetzen können. Gravitationskraft als ein eigenständiges Phänomen existiert in dieser Beschreibung nicht. Sie wird zu einer Trägheitskraft, die nur in Bezugssystemen auftritt, die keine Inertialsysteme sind. Diese Feststellung ist gleichbedeutend mit dem Äquivalenzprinzip, der Grundlage der Allgemeinen Relativitätstheorie.

Im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie muss allerdings das Prinzip fallen gelassen werden, dass ein für das ganze Universum gültiges Inertialsystem mit euklidischer Geometrie definiert werden kann. Für hinreichend kleine Bereiche von Raum und Zeit lassen sich allerdings weiterhin Inertialsysteme definieren. Die gesamte Raumzeit wird durch eine vierdimensionale, gekrümmte Mannigfaltigkeit beschrieben. Die Allgemeine Relativitätstheorie geht über das Newtonsche Gravitationsgesetz hinaus und ist die heute anerkannte Theorie der Gravitation.

Beispiel[Bearbeiten]

Als Beispiel sei erklärt, warum ein Fahrgast in einem bremsenden Zug auf horizontaler Strecke das gleiche Erlebnis hat wie bei gleichförmiger Fahrt auf abschüssiger Strecke. In dem bremsenden Wagen ergibt die Summe der nach unten gerichteten Gravitationskraft und der nach vorne gerichteten Trägheitskraft eine Gesamtkraft, die schräg nach vorne gerichtet ist. Um ruhig stehen zu können, muss die Gesamtkraft aber längs der Körperachse vom Kopf zu den Füßen gerichtet sein, weshalb man sich entweder nach hinten neigen oder durch Festhalten eine dritte Kraft ins Spiel bringen muss, mit der die Gesamtkraft wieder senkrecht zum Wagenboden ist. Das gleiche zeigt sich, wenn der Wagen steht oder mit konstanter Geschwindigkeit fährt, aber die Strecke abschüssig ist. Dann wirkt keine der Trägheitskräfte aus der Newtonschen Mechanik, aber die Gravitationskraft zieht nicht mehr im rechten Winkel zum Boden, sondern schräg nach vorne. Fasst man die Gravitationskraft auch als Trägheitskraft auf, ist die Erklärung in beiden Fällen die gleiche.

Literatur[Bearbeiten]

  •  J. W. Warren: Understanding Force. John Murray, 1979, ISBN 0-7195-3564-6. Deutsche Übersetzung: Verständnisprobleme beim Kraftbegriff (PDF; 395 kB) S. 15 ff.
  •  Istvan Szabo: Einführung in die Technische Mechanik. 8. Auflage. Springer, Berlin 1975, ISBN 3-540-03679-2.
  •  Richard Feynman, Robert Leighton, Matthew Sands: The Feynman Lectures on Physics (Band I Teil 1, deu-eng). Oldenbourg, München 1974, ISBN 3-486-33691-6.
  •  Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik. 6. Auflage. Vieweg-Teubner, 2011, ISBN 978-3-8348-1375-6.
  •  Martin Mayr: Technische Mechanik: Statik, Kinematik - Kinetik - Schwingungen, Festigkeitslehre. 6. überarbeitete Auflage. Hanser, 2008, ISBN 978-3-446-41690-1.: (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche) „Nach D'Alembert fassen wir den Ausdruck m \vec a in Bewegungsgesetz (8.1) als Hifskraft auf und nennen sie Trägheitskraft
  •  Dieter Meschede, Christian Gerthsen, Dieter Meschede (Hrsg.): Gerthsen Physik. 24. Auflage. Gabler Wissenschaftsverlage, 2010, ISBN 978-3-642-12893-6., S. 41–42. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche) „Kräfte, die dadurch entstehen, dass man den Vorgang in einem bestimmten Bezugssystem beschreibt, und die in einem anderen Bezugssystem nicht vorhanden wären: Trägheitskräfte...Diese gebräuchliche aber etwas irreführende Einstufung der Kraft als Scheinkraft ändert allerdings nichts an ihren realen, oft katastrophalen Folgen.
  •  Istvan Szabo: Geschichte der mechanischen Prinzipien. 3. Auflage. Birkhäuser, Basel 1987, ISBN 3-7643-1735-3.
  •  Istvan Szabo: Höhere Technische Mechanik. 6. Auflage. Springer, Berlin 2001, ISBN 3-540-67653-8.
  •  S. Brandt, H.D. Dahmen: Mechanik. 4. Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21666-9.
  •  Peter Reinecker, Michael Schulz, Beatrix M. Schulz: Theoretische Physik I. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40635-2.
  •  Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 1 - Klassische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-21474-7.
  •  Friedhelm Kuypers: Klassische Mechanik. 8. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2008, ISBN 978-3-527-40721-7.
  •  Agostón Budó: Theoretische Mechanik. 2. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1963, ISBN 3-540-67653-8.
  •  Lev D. Landau, E. M. Lifschitz, Paul Ziesche: Mechanik. Harri Deutsch, 1997, ISBN 3-8171-1326-9 ((online)).
  •  Hans J. Paus: Physik in Experimenten und Beispielen. 3., aktualisierte Auflage. Hanser Verlag, 2007, ISBN 978-3-446-41142-5.. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. Zu den „geradlinig-gleichförmigen“ Bewegungen gehört auch der Fall der Geschwindigkeit Null. Die „beschleunigte Bewegung“ umfasst neben dem Abbremsen oder Beschleunigen einer geradlinigen Bewegung auch alle Fälle von Drehbewegungen.
  2. In der Relativitätstheorie sind auch die „realen“ Kräfte in verschiedenen Bezugssystemen verschieden.
  3. In der Theoretischen Physik steht der Begriff d'Alembertsches Prinzip für die Aussage, dass Zwangskräfte, die z. B. eine Bewegung auf vorgeschriebene Bahnen oder Flächen beschränkt, bei virtuellen Verschiebungen keine Arbeit leisten. Dieses Prinzip kann nicht aus der Newtonschen Mechanik abgeleitet werden, sondern ist durch die Erfahrung gestützt. Es ermöglicht bei vielen mechanischen Problemen erst die Aufstellung und Lösung der Bewegungsgleichungen.
  4. Euler ging von der Frage aus, ob das aus den Planetenbeobachtungen erschlossene Kraftgesetz der Gravitation dadurch verfälscht sein könnte, dass der Beobachter sich mit der Erde selber beschleunigt bewegt hat.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Dietmar Gross, Werner Hauger, Jarg Schrader, Wolfgang A. Wall: Technische Mechanik: Band 3: Kinetik, 10, Gabler Wissenschaftsverlage, 2008, S. 191. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche) S. 191: „Wir schreiben nun F-ma=0 und fassen das negative Produkt aus der Masse m und der Beschleunigung a formal als eine Kraft auf, die wir […] D'alembertsche Trägheitskraft F_T nennen: F_T=-ma. Diese Kraft ist keine Kraft im Newtonschen Sinne, da zu ihr keine Gegenkraft existiert (sie verletzt das Axiom actio=reactio!); wir bezeichnen sie daher als Scheinkraft.“
  2.  Max Jammer: Der Begriff der Masse in der Physik. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1964.
  3.  Giulio Maltese: On the Relativity of Motion in Leonhard Euler’s Science. In: Archives for History of Exact Sciences Springer-Verlag. 54, 2000, S. 319–348.
  4. a b Siehe Video (Uni Würzburg)
  5. Vereinzelt wird die Bezeichnung „Einsteinkraft“ verwendet, die in anderem Kontext aber gänzlich anders gebraucht wird: Verwendung des Begriffs Einsteinkraft (S. 5) (PDF; 130 kB)
  6.  Cornelius Lanczos: The Variational Principles of Mechanics. Courier Dover Publications, New York 1986, ISBN 0-486-65067-7, S. 88–110. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). S. 91: „Accordingly, the force of inertia I has to be defined as the negative rate of change of momentum: I=-d/dt(mv) ... The definition of the force of inertia requires "an absolute reference system" in which the acceleration is measured. This is an inherent difficulty of Newtonian mechanics, keenly felt by Newton and his contemporaries. The solution of this difficulty came in recent times through Einstein's great achievement, the Theory of General Relativity.
  7.  Eckhard Rebhan: Theoretische Physik I. Spektrum, Heidelberg/ Berlin 1999, ISBN 3-8274-0246-8., S. 66.

Weblinks[Bearbeiten]