Leuchtdichte

Physikalische Größe
Name	Leuchtdichte
Formelzeichen	$L_{\mathrm {v} }$
Größen- und Einheitensystem Einheit Dimension SI cd·m−2 L−2·J

Die Leuchtdichte L_v (englisch luminance) liefert detaillierte Information über die Orts- und Richtungsabhängigkeit des von einer Lichtquelle abgegebenen Lichtstroms. Die Leuchtdichte einer Fläche bestimmt, mit welcher Flächenhelligkeit das Auge die Fläche wahrnimmt und hat daher von allen photometrischen Größen den unmittelbarsten Bezug zur optischen Sinneswahrnehmung. Die Leuchtdichte beschreibt die Helligkeit von ausgedehnten, flächenhaften Lichtquellen; für die Beschreibung der Helligkeit von punktförmigen Lichtquellen ist die Lichtstärke besser geeignet.

Definition

Einführung

Die meisten Objekte geben von unterschiedlichen Stellen ihrer Oberfläche unterschiedlich viel Licht ab.

Man betrachte einen als Lichtquelle dienenden Körper (beispielsweise eine Glühlampe, ein beleuchtetes Blatt Papier), welcher einen Lichtstrom $\Phi _{\mathrm {v} }$ (gemessen in Lumen) in seine Umgebung abgibt. In der Regel werden verschiedene Punkte des Körpers verschieden viel Licht abgeben und er wird auch in verschiedene Richtungen verschieden viel Licht aussenden. Soll diese Charakteristik detailliert beschrieben werden, so ist das Konzept der Leuchtdichte nötig.

Es ist nämlich nicht möglich, anzugeben, wie viele Lumen von einem unendlich kleinen Punkt auf der Oberfläche des Körpers ausgehen, da die endliche Anzahl abgestrahlter Lumen sich auf eine unendliche Anzahl solcher Punkte verteilt und auf einen einzelnen Oberflächenpunkt daher Null Lumen entfallen. Stattdessen betrachtet man eine kleine Umgebung des betreffenden Punktes, setzt den von dieser Umgebung ausgehenden (endlichen) Lichtstrom ins Verhältnis zu ihrer (endlichen) Fläche und lässt die Umgebung gedanklich auf Null schrumpfen. Obwohl der abgestrahlte Lichtstrom wie auch die abstrahlende Fläche dabei jeweils gegen Null gehen, strebt beider Verhältnis gegen einen endlichen Grenzwert (Differentialquotient), die spezifische Lichtausstrahlung $M_{\mathrm {v} }=\mathrm {d} \Phi _{\mathrm {v} }/\mathrm {d} A$ des Punktes, gemessen in Lumen pro Quadratmetern oder gleichbedeutend Lux.

Die meisten Objekte geben in unterschiedliche Richtungen unterschiedlich viel Licht ab.

Ebenso ist es nicht möglich anzugeben, wie viele Lumen in eine bestimmte Richtung abgegeben werden, da die endliche Anzahl abgestrahlter Lumen sich auf unendlich viele mögliche Richtungen verteilt und auf jede einzelne Richtung daher Null Lumen entfallen. Stattdessen betrachtet man einen kleinen, die gewünschte Richtung umgebenden Raumwinkel, setzt den in diesen Raumwinkel abgegebenen (endlichen) Lichtstrom ins Verhältnis zur (endlichen) Größe des Raumwinkels und lässt den Raumwinkel gedanklich auf Null schrumpfen. Wiederum streben dabei sowohl der Raumwinkel als auch der in ihm enthaltene abgestrahlte Lichtstrom jeweils gegen Null, ihr Verhältnis aber gegen einen endlichen Grenzwert, die in die betreffende Richtung abgegebene Lichtstärke $I_{\mathrm {v} }=\mathrm {d} \Phi _{\mathrm {v} }/\mathrm {d} \Omega$, gemessen in Lumen pro Steradiant oder gleichbedeutend Candela.

Der Begriff der Leuchtdichte kombiniert beides und beschreibt auf diese Weise sowohl die Orts- als auch die Richtungsabhängigkeit des von einem unendlich kleinen Flächenelement abgegebenen Lichtstroms.

Für die Definition der Leuchtdichte ist es unerheblich, ob es sich bei dem vom Flächenelement abgegebenen Licht um (thermische oder nichtthermische) Eigenemission, um transmittiertes oder reflektiertes Licht oder eine Kombination daraus handelt.

Die Leuchtdichte ist an jedem Punkt des Raumes definiert, an dem Licht vorhanden ist. Man denke sich anstelle eines Licht abstrahlenden Oberflächenelements gegebenenfalls ein fiktives von Licht durchstrahltes Flächenelement im Raum.

Mathematische Beschreibung

Gibt eine gleichmäßig leuchtende ebene Fläche $A$ unter dem Abstrahlwinkel $\beta$ einen Lichtstrom mit gleichmäßiger Lichtstärke in den Raumwinkel $\Omega$ ab, so ist die Leuchtdichte der Quotient aus dem abgegebenen Lichtstrom $\Phi _{\mathrm {v} }$ und dem Produkt aus dem durchstrahlten Raumwinkel $\Omega$ und der in Strahlrichtung projizierten Fläche, $A\cdot \cos(\beta )$:

$L_{\mathrm {v} }\,=\,{\frac {I_{\mathrm {v} }}{A\ \cos(\beta )}}\,=\,{\frac {\Phi _{\mathrm {v} }}{A\ \cos(\beta )\cdot \Omega }}$.

$\beta$ ist hierbei der Winkel zwischen Abstrahlrichtung und Flächennormale, die senkrecht auf dem Flächenelement $\mathrm {d} A\$ steht.

Variiert die Lichtstärke innerhalb des betrachteten Raumwinkels $\Omega$ und/oder die spezifische Lichtausstrahlung innerhalb der Leuchtfläche $A$, so liefert diese mathematisch vereinfachte Formel den Mittelwert der Leuchtdichte über $\Omega$ und $A$. Soll die Variation der Leuchtdichte detailliert beschrieben werden, so erhält man durch Übergang zum Differentialquotienten:

$L_{\mathrm {v} }=\lim _{\Omega \to 0}\lim _{A\to 0}{\frac {\Phi _{\mathrm {v} }}{A\cos(\beta )\cdot \Omega }}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\Phi _{\mathrm {v} }}{\mathrm {d} A\cos(\beta )\cdot \mathrm {d} \Omega }}$

Die Definition der Leuchtdichte weist die Besonderheit auf, dass der abgegebene Lichtstrom nicht wie üblich auf das abstrahlende Flächenelement $\mathrm {d} A$, sondern auf das in Abstrahlrichtung projizierte Flächenelement $\cos(\beta )\mathrm {d} A$ bezogen wird. Der in eine bestimmte Richtung abgegebene Lichtstrom hängt nämlich zum einen von den (möglicherweise richtungsabhängigen) physikalischen Strahlungseigenschaften der Oberfläche und zum anderen rein geometrisch von der in Abstrahlrichtung wirksamen Projektion des strahlenden Flächenelements ab. Der zweite Effekt bewirkt, dass der unter dem Polarwinkel $\beta$ abgegebene Lichtstrom um den Faktor $\cos(\beta )$ geringer ist als der senkrecht abgegebene Lichtstrom. Die Division durch den Faktor $\cos(\beta )$ rechnet diesen geometrischen Effekt heraus, so dass in der Leuchtdichte nur noch eine eventuelle physikalische Richtungsabhängigkeit aufgrund der Oberflächeneigenschaften (z. B. dem Leuchtdichtekoeffizient) übrig bleibt.

Lambertscher Strahler

Oberflächen, welche nach Herausrechnen des $\cos$-Faktors keine Richtungsabhängigkeit der Leuchtdichte mehr aufweisen, nennt man diffuse Strahler oder lambertsche Strahler. Ein lambertsches Flächenelement gibt in alle Richtungen dieselbe Leuchtdichte $L_{v}$ ab. Die Leuchtdichte ist daher nicht mehr winkelabhängig:

$L_{\mathrm {v} }(\beta ,\varphi )=L_{\mathrm {v} }={\text{const.}}$

Der von einem lambertschen Strahler in eine bestimmte Richtung abgegebene Lichtstrom $\Phi _{v}$ variiert nur noch mit dem Kosinus des Abstrahlwinkels $\beta$. Solche Strahler sind daher mathematisch besonders einfach zu behandeln:

$\mathrm {d} ^{2}\Phi _{\mathrm {v} }(\beta ,\varphi )=\mathrm {d} ^{2}\Phi _{\mathrm {v} }(\beta )=L_{\mathrm {v} }\cos(\beta )\mathrm {d} A\ \cdot \mathrm {d} \Omega$

Insbesondere kann bei der Integration über den Raumwinkel $\mathrm {d} \Omega$ die nunmehr winkelunabhängige Leuchtdichte $L_{v}$ als Konstante vor das Integral gezogen werden, was die Integration oft wesentlich vereinfacht (siehe unten).

Ein Beispiel für eine diffus leuchtende Fläche ist ein beleuchtetes Blatt Papier. Der Umstand, dass das Papier nach Voraussetzung diffus strahlt, also in alle Richtungen dieselbe Leuchtdichte abgibt, bedeutet für den Betrachter, dass es aus allen Richtungen betrachtet dieselbe Flächenhelligkeit aufweist. Da es aber bei schräger Betrachtung um den Projektionsfaktor cos(ε) verkürzt erscheint (also einen kleineren Raumwinkel einnimmt) erreicht den Betrachter trotz gleich gebliebener Flächenhelligkeit eine geringere Lichtmenge: die Lichtstärke in dieser Richtung ist geringer.

Empfindlichkeit der Wahrnehmung

	Bemerkung	Leuchtdichte (cd/m2)
Sehschwelle		ca. 3 · 10−6
skotopisches Sehen	reines Nachtsehen	3 · 10−6  bis  3…30 · 10−3
mesopisches Sehen		3…30 · 10−3  bis  3…30
photopisches Sehen	reines Tagsehen	über 3…30
Zapfen­sättigung	Blendung	ab 105…106

Empfindlichkeit der Augen

Der Beobachter nimmt die Leuchtdichten der ihn umgebenden Flächen unmittelbar als deren Flächenhelligkeiten wahr. Aufgrund der Anpassungsfähigkeit des Auges können die wahrnehmbaren Leuchtdichten zahlreiche Größenordnungen überstreichen. Die angegebenen Werte schwanken von Mensch zu Mensch und sind auch von der Frequenz des Lichts abhängig.

Beispiele

Natürliche Lichtquellen Leuchtdichte (cd/m2) bewölkter Nachthimmel 10−6…10−4 sternklarer Nachthimmel 0000,001 Nachthimmel bei Vollmond 0000,1 mittlerer bedeckter Himmel 2.000 Oberfläche des Mondes 2.500 mittlerer klarer Himmel 8.000 Sonnenscheibe am Horizont 0006 · 106 Sonnenscheibe am Mittag 1.600 · 106

Flächenhelligkeit technischer Strahler Leuchtdichte (cd/m2) Elektrolumineszenz-Folie 0030…200 T8 Fluoreszenzröhre, kaltweiß 011.000 matte 60-W-Glühlampe 120.000 Natriumdampflampe 0005 · 106 Draht einer Halogenlampe 0020…30 · 106 weiße LED 0050 · 106 Xenon-Gasentladungslampe 5.000 · 106

Leuchtdichte von Monitoren Leuchtdichte (cd/m2) Röhrenmonitor: schwarz teilweise < 0,01 LCD: schwarz 0000,15…0,8 Röhrenmonitor: weiß 0080…200 LCD: weiß 0150…500 LED Outdoor Videowall 5.000…7.500

Zusammenhang mit anderen photometrischen Größen

Allgemeines

Die Leuchtdichte gibt an, wie viel Licht von einem gegebenen infinitesimalen Flächenelement in eine gegebene Richtung abgestrahlt wird, und liefert so die detaillierteste Beschreibung der Leuchteigenschaften der betreffenden Oberfläche. Umstellen der Definitionsgleichung für die Leuchtdichte liefert den infinitesimalen Lichtstrom, der von dem an der Stelle $x$, $y$ liegenden Flächenelement $\mathrm {d} A$ in das Raumwinkelelement $\mathrm {d} \Omega$ gestrahlt wird, welches in der durch die Winkel $\beta$ und $\varphi$ beschriebenen Richtung liegt:

$\mathrm {d} ^{2}\Phi _{\mathrm {v} }(\beta ,\varphi ,x,y)=L_{\mathrm {v} }(\beta ,\varphi ,x,y)\cdot \cos(\beta )\mathrm {d} A\cdot \mathrm {d} \Omega$

Soll die Lichtausstrahlung einer endlich großen Abstrahlfläche $A$ in einen endlich großen Raumwinkel $\Omega$ ermittelt werden, so ist über $\mathrm {d} A$ und $\mathrm {d} \Omega$ zu integrieren:

$\Phi _{\mathrm {v} }=\int _{\Omega }\int _{A}L_{\mathrm {v} }(\beta ,\varphi ,x,y)\cdot \cos(\beta )\mathrm {d} A\cdot \mathrm {d} \Omega =\int _{\Delta \beta }\int _{\Delta \varphi }\int _{A}L_{\mathrm {v} }(\beta ,\varphi ,x,y)\cdot \cos(\beta )\sin(\beta )\cdot \mathrm {d} A\,\mathrm {d} \beta \,\mathrm {d} \varphi$

Dabei wurde die Darstellung des Raumwinkelelements in Kugelkoordinaten verwendet:

$\mathrm {d} \Omega =\sin(\beta )\,\mathrm {d} \beta \,\mathrm {d} \varphi$

Da $L_{v}$ im Allgemeinen vom Ort $x$, $y$ auf der Leuchtfläche $A$ und von den überstrichenen Richtungen $\beta$ und $\varphi$ abhängen kann, ergibt sich unter Umständen ein sehr kompliziertes Integral. Eine wesentliche Vereinfachung tritt ein, wenn die Leuchtfläche ein lambertscher Strahler (die Leuchtdichte also richtungsunabhängig) mit konstanten Oberflächeneigenschaften (die Leuchtdichte also ortsunabhängig) ist. Dann ist die Leuchtdichte eine konstante Zahl $L_{v}$ und kann vor das Integral gezogen werden:

$\Phi _{v}=A\cdot L_{v}\int _{\Omega }\cos(\beta )\ \mathrm {d} \,\Omega$

Das verbleibende Integral hängt jetzt nur noch von der Gestalt und Lage des Raumwinkels $\Omega$ ab und kann unabhängig von $L_{v}$ gelöst werden. Auf diese Weise können nur von der Sender- und Empfängergeometrie abhängige allgemeine Sichtfaktoren ermittelt und fertig tabelliert werden.

Wird beispielsweise die Lichtausstrahlung in den gesamten von der Leuchtfläche überblickten Halbraum betrachtet, so ergibt sich für das Integral der Wert $\pi$

$\int _{\cap }\cos(\beta )\ \mathrm {d} \,\Omega =\int _{\beta =0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{\varphi =0}^{2\pi }\cos(\beta )\sin(\beta )\cdot \mathrm {d} \beta \,\mathrm {d} \varphi =2\pi \int _{\beta =0}^{\frac {\pi }{2}}\cos(\beta )\sin(\beta )\cdot \mathrm {d} \beta =\pi$,

und der Lichtstrom eines flächenhomogenen lambertschen Strahlers der Fläche $A$ in den gesamten Halbraum ist einfach:

$\Phi _{v}=\pi \,A\,L_{v}$

Auf ähnliche Weise können aus der Leuchtdichte die anderen photometrischen Größen durch Integration über die Gesamtfläche und/oder alle Richtungen des Halbraumes abgeleitet werden.

Lichtstärke

→ Hauptartikel: Lichtstärke (Photometrie)

Betrachtet man statt der Abstrahlung eines Flächenelementes die Abstrahlung der Gesamtfläche eines Körpers in eine gegebene Richtung, so ist $L_{v}$ über die Abstrahlfläche, aber nicht über die Richtungen zu integrieren, und man erhält die Lichtstärke $I_{v}$ des Körpers in dieser Richtung:

$I_{\mathrm {v} }(\beta ,\varphi )=\int _{A^{\prime }}L_{\mathrm {v} }(\beta ,\varphi ,x,y)\cdot \cos(\beta )\cdot \mathrm {d} A$,

wobei die Koordinaten $x$, $y$ die Position des Flächenelements auf der Gesamtfläche beschreiben und die Winkel $\beta$, $\varphi$ die betrachtete Ausstrahlrichtung bezüglich der Flächennormalen von $\mathrm {d} A$ angeben. Insbesondere ist $\beta$ wieder der Winkel zwischen betrachteter Ausstrahlrichtung und Flächennormale. Das Integral ist über jenen Teil $A^{\prime }$ der gesamten Oberfläche $A$ zu erstrecken, für den $\cos(\beta )>0$ ist.

Die Lichtstärke ist gewissermaßen die Summe aller in einer bestimmten Richtung abgegebenen Leuchtdichten der Körperoberfläche.

Spezifische Lichtausstrahlung

→ Hauptartikel: Spezifische Lichtausstrahlung

Betrachtet man statt der Abstrahlung des Flächenelements in eine bestimmte Richtung seine Abstrahlung in den gesamten vom Flächenelement überschauten Halbraum, so ist $L_{\mathrm {v} }$ über alle Richtungen aber nicht über die Gesamtfläche zu integrieren und man erhält die spezifische Lichtausstrahlung $M_{\mathrm {v} }$ des Flächenelements:

$M_{\mathrm {v} }(x,y)=\int _{\cap }L_{\mathrm {v} }(\beta ,\varphi ,x,y)\cdot \cos(\beta )\cdot \mathrm {d} \Omega =\int _{\cap }L_{\mathrm {v} }(\beta ,\varphi ,x,y)\cdot \cos(\beta )\cdot \sin(\beta )\mathrm {d} \beta \mathrm {d} \varphi$

Im Spezialfall eines lambertschen Strahlers ist $L_{\mathrm {v} }$ unabhängig von den Winkeln $\beta$ und $\varphi$ und kann vor das Integral gezogen werden. Das verbleibende Integral hat, wie oben erläutert, den Wert $\pi$, und es ergibt sich der einfache Zusammenhang

$M_{\mathrm {v} }(x,y)=\pi L_{\mathrm {v} }(x,y)$

(für einen lambertschen Strahler).

Lichtstrom

→ Hauptartikel: Lichtstrom

Integriert man die Leuchtdichte über alle Richtungen des Halbraums und alle Flächenelemente der strahlenden Fläche, oder die Lichtstärke über alle Richtungen, oder die spezifische Lichtausstrahlung über alle Flächenelemente, so erhält man den gesamten Lichtstrom $\Phi _{v}$ des leuchtenden Körpers:

$\Phi _{\mathrm {v} }=\int _{\Omega }\int _{A}L_{\mathrm {v} }(\beta ,\varphi ,x,y)\cdot \cos(\beta )\mathrm {d} A\cdot \mathrm {d} \Omega =\int _{\Omega }I_{\mathrm {v} }(\beta ,\varphi )\cdot \mathrm {d} \Omega =\int _{A}M_{\mathrm {v} }(x,y)\cdot \mathrm {d} A$

Im Spezialfall eines lambertschen Strahlers ist $M_{v}=\pi L_{\mathrm {v} }$ und der Lichtstrom lässt sich direkt aus der Leuchtdichte berechnen:

$\Phi _{\mathrm {v} }=\pi \int _{A}L_{\mathrm {v} }(x,y)\cdot \mathrm {d} A$, für einen lambertschen Strahler

Ist die Leuchtdichte darüber hinaus auch flächenhomogen (also auf der gesamten Fläche $A$ dieselbe), dann vereinfacht sich das Integral zu einer einfachen Multiplikation:

$\Phi _{\mathrm {v} }=\pi AL_{\mathrm {v} }$

(für einen flächenhomogenen lambertschen Strahler),

wie oben bereits durch eine direkte Integration gezeigt.

Fotometrisches Grundgesetz

Das Fotometrische Grundgesetz beschreibt den Lichtaustausch zwischen zwei Flächen. Die Leuchtdichte ist hier eine zentrale Größe.

Lichtausstrahlung

Zwei Flächen als gegenseitige Strahlungspartner im fotometrischen Grundgesetz

Betrachtet man ein Flächenelement $\mathrm {d} A_{1}$, welches mit der Leuchtdichte $L_{1}$ ein im Abstand $r$ befindliches Flächenelement $\mathrm {d} A_{2}$ beleuchtet, so spannt $\mathrm {d} A_{2}$ von $\mathrm {d} A_{1}$ aus betrachtet den Raumwinkel $\mathrm {d} \Omega _{2}=\cos(\beta _{2})\mathrm {d} A_{2}/r^{2}$ auf, und aus der ersten Gleichung im vorigen Abschnitt folgt:

$\mathrm {d} ^{2}\Phi _{1\rightarrow 2}=L_{1}\cdot \cos(\beta _{1})\,\mathrm {d} A_{1}\,\mathrm {d} \Omega _{2}={\frac {L_{1}\cdot \cos(\beta _{1})\,\cos(\beta _{2})\,\mathrm {d} A_{1}\,\mathrm {d} A_{2}}{r^{2}}}$

Dabei sind $\beta _{1}$ und $\beta _{2}$ die Neigungswinkel der Flächenelemente gegen die gemeinsame Verbindungslinie.

Dies ist das fotometrische Grundgesetz. Durch Integration über die beiden Flächen ergibt sich der insgesamt von Fläche 1 nach Fläche 2 fließende Lichtstrom $\Phi _{1\rightarrow 2}$.

Lichteinstrahlung

Die Beleuchtungsdichte $K$ ist analog zur Leuchtdichte, jedoch für den Einstrahlungsfall definiert. Sie gibt an, welcher Lichtstrom $\mathrm {d} ^{2}\Phi$ aus der durch den Polarwinkel $\beta$ und den Azimutwinkel $\varphi$ gegebenen Richtung pro projiziertem Flächenelement $\cos(\beta )\mathrm {d} A$ und pro Raumwinkelelement $\mathrm {d} \Omega$ empfangen wird. Die bisher abgeleiteten Gleichungen gelten analog. Insbesondere gilt für den auf Flächenelement $\mathrm {d} A_{2}$ empfangenen, von $\mathrm {d} A_{1}$ abgegebenen Lichtstrom:

$\mathrm {d} ^{2}\Phi _{2\leftarrow 1}=K_{2}\cdot \cos(\beta _{2})\,\mathrm {d} A_{2}\,\mathrm {d} \Omega _{1}={\frac {K_{2}\cdot \cos(\beta _{1})\,\cos(\beta _{2})\,\mathrm {d} A_{1}\,\mathrm {d} A_{2}}{r^{2}}}$

wobei diesmal der von $\mathrm {d} A_{1}$ aufgespannte Raumwinkel $\mathrm {d} \Omega _{1}=\cos(\beta _{1})\mathrm {d} A_{1}/r^{2}$ auftritt.

Folgerung

Der von $\mathrm {d} A_{1}$ nach $\mathrm {d} A_{2}$ ausgesandte und der auf $\mathrm {d} A_{2}$ von $\mathrm {d} A_{1}$ empfangene Lichtstrom müssen identisch sein (sofern nicht in einem zwischen den Flächen liegenden Medium Licht durch Absorption oder Streuung verloren geht), und aus dem Vergleich der beiden Gleichungen folgt:

$\mathrm {d} ^{2}\Phi _{1\rightarrow 2}=\mathrm {d} ^{2}\Phi _{2\leftarrow 1}\ \Leftrightarrow \ L_{1}=K_{2}\,$

Die von Flächenelement $\mathrm {d} A_{1}$ ausgesandte Leuchtdichte ist identisch mit der auf Flächenelement $\mathrm {d} A_{2}$ eintreffenden Beleuchtungsdichte.

Man beachte also, dass die Leuchtdichte nicht mit dem Abstand abnimmt. Der gesamte übertragene Lichtstrom $\Phi _{1\rightarrow 2}$ bzw. $\Phi _{2\rightarrow 1}$ nimmt hingegen wie erwartet mit dem Quadrat des Abstandes ab (aufgrund des Faktors $r^{2}$ im Nenner beider Gleichungen), dies liegt daran, dass der von der Senderfläche aufgespannte Raumwinkel aus Sicht der Empfängerfläche quadratisch mit dem Abstand abnimmt.

Beispiel: Vergleicht man eine nahe Plakatwand mit einer identisch beleuchteten weiter entfernten, so erscheinen beide gleich „hell“ (sie haben eine abstandsunabhängige und daher in beiden Fällen identische Leuchtdichte). Die nähere Wand nimmt aber für den Beobachter einen größeren Raumwinkel ein, so dass den Beobachter aus diesem größeren Raumwinkel insgesamt ein größerer Lichtstrom erreicht. Die nähere Wand erzeugt eine größere Beleuchtungsstärke beim Beobachter (photometrisches Entfernungsgesetz).

Wird die Beleuchtungsdichte $K$ über den Raumwinkel integriert, aus dem sie stammt, so ergibt sich die Beleuchtungsstärke genannte Einstrahl-Lichtstromflächendichte $E$ auf der Empfängerfläche in lm/m². Falls die in eine bestimmte Richtung abgegebene Leuchtdichte der Senderfläche bekannt ist, so ist damit sofort auch die mit ihr identische aus derselben Richtung stammende Beleuchtungsdichte der Empfängerfläche bekannt und die Beleuchtungsstärke auf der Empfängerfläche kann aus der Leuchtdichteverteilung der Senderfläche sofort berechnet werden:

$E={\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} A}}=\int _{\Omega }K(\beta ,\varphi )\cdot \cos(\beta )\cdot \mathrm {d} \Omega =\int _{\Omega }L(\beta ,\varphi )\cdot \cos(\beta )\cdot \mathrm {d} \Omega$

Beispiel: Die Sonne hat eine Leuchtdichte von L₁ ≈ 1,5·10⁹ cd/m² und erscheint von der Erde aus gesehen unter einem Raumwinkel Ω = 6,8·10⁻⁵ sr. Da dieser Raumwinkel klein ist, kann man die Integration über den von der Sonnenscheibe eingenommenen Raumwinkel auf eine Multiplikation mit dem Raumwinkel reduzieren. Wenn im Sommer die Sonne auf 60° Höhe (also 30° von Zenit abweichend) steht, wird die Erde demnach mit E₂ = L₁ · Ω ·cos(30°) = 89 000 lx bestrahlt.

Maßeinheiten

Die SI-Einheit der Leuchtdichte ist Candela pro Quadratmeter (cd/m²).

Im englischsprachigen Raum, vor allem in den USA, wird dafür auch die Bezeichnung Nit (Einheitenzeichen nt, von lateinisch nitere = „scheinen“, Mehrzahl Nits) verwendet:

$1\ \mathrm {nt=1\ {\frac {cd}{m^{2}}}}$

Die Angabe der Leuchtdichte wird für die Helligkeit von Computer-Bildschirmen verwendet, die typischerweise 200 bis 300 cd/m² aufweisen. Ebenso wird die Helligkeit von LED-Videowänden, wie sie in der Veranstaltungsbranche verwendet werden, oftmals in Nit angegeben. Üblich sind hier Werte im unteren bis mittleren vierstelligen Bereich. Das Nit ist in Deutschland und der Schweiz keine gesetzliche Einheit.

Daneben ist in den USA auch die Einheit Lambert gebräuchlich:

$\mathrm {1\ la=1\ L={\frac {10^{4}}{\pi }}\ {\frac {cd}{m^{2}}}\approx 3183\ {\frac {cd}{m^{2}}}}$

Umrechnungsfaktoren zu anderen Einheiten der Leuchtdichte sind u. a.:

• Stilb: 1 sb = 1 cd/cm² = 10.000 cd/m²
• Apostilb, Blondel: 1 asb = 1 blondel = 1/π × 10⁻⁴ sb = 1/π cd/m²
• Skot: 1 skot = 0,001 blondel = 0,001 asb = 10⁻³/π cd/m²
• Footlambert: 1 fL = 1/π cd/ft² ≈ 3,426 cd/m²
• Candela pro Quadratfuß: 1 cd/ft² ≈ 10,764 cd/m²
• Candela pro Quadratzoll: 1 cd/in² ≈ 1550 cd/m².

Radiometrische und photometrische Größen im Vergleich

radiometrische Größe	Symbol⁠	SI-Einheit	Beschreibung	photometrische Entsprechung⁠	Symbol	SI-Einheit
Strahlungs­fluss Strahlungs­leistung, radiant flux, radiant power	$\Phi _{\mathrm {e} }$	W (Watt)	Strahlungsenergie durch Zeit	Lichtstrom luminous flux	$\Phi _{\mathrm {v} }$	lm (Lumen)
Strahl­stärke Strahlungs­stärke, radiant intensity	$I_{\mathrm {e} }$	W/sr	Strahlungsfluss durch Raumwinkel	Lichtstärke luminous intensity	$I_{\mathrm {v} }$	cd = lm/sr (Candela)
Bestrahlungs­stärke irradiance	$E_{\mathrm {e} }$	W/m2	Strahlungsfluss durch Empfänger­fläche	Beleuchtungs­stärke illuminance	$E_{\mathrm {v} }$	lx = lm/m2 (Lux)
Spezifische Ausstrahlung Ausstrahlungs­strom­dichte, radiant exitance	$M_{\mathrm {e} }$	W/m2	Strahlungsfluss durch Sender­fläche	Spezifische Lichtausstrahlung luminous exitance	$M_{\mathrm {v} }$	lm/m2
Strahldichte Strahlungsdichte, Radianz, radiance	$L_{\mathrm {e} }$	W/m2sr	Strahlstärke durch effektive Senderfläche	Leuchtdichte luminance	$L_{\mathrm {v} }$	cd/m2
Strahlungs­energie Strahlungsmenge, radiant energy	$Q_{\mathrm {e} }$	J (Joule)	durch Strahlung übertragene Energie	Lichtmenge luminous energy	$Q_{\mathrm {v} }$	lm·s
Bestrahlung Einstrahlung, radiant exposure	$H_{\mathrm {e} }$	J/m2	Strahlungsenergie durch Empfänger­fläche	Belichtung luminous exposure	$H_{\mathrm {v} }$	lx·s
Strahlungs­ausbeute radiant efficiency	$\eta _{\mathrm {e} }$	1	Strahlungsfluss durch auf­ge­nom­mene (meist elek­trische) Leistung	Lichtausbeute (overall) luminous efficacy	$\eta _{\mathrm {v} }$	lm/W

^a) 

Der Index „e“ dient zur Abgrenzung von den photo­metrischen Größen. Er kann weggelassen werden.

^b) 

Die photometrischen Größen sind die radiometrischen Größen, gewichtet mit dem photo­metrischen Strahlungs­äquivalent K, das die Empfindlich­keit des menschlichen Auges angibt.

Siehe auch

• Luminanz

Literatur

• Hans R. Ris: Beleuchtungstechnik für Praktiker. 2. Auflage, VDE-Verlag GmbH, Berlin/Offenbach 1997, ISBN 3-8007-2163-5.
• Wilhelm Gerster: Moderne Beleuchtungssysteme für drinnen und draußen. 1. Auflage, Compact Verlag, München 1997, ISBN 3-8174-2395-0.
• Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 4. Auflage, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main 2000, ISBN 3-8171-1628-4.
• Günter Springer: Fachkunde Elektrotechnik. 18. Auflage, Verlag Europa-Lehrmittel, Wuppertal 1989, ISBN 3-8085-3018-9.

Siehe auch

• Lambertsches Gesetz
• Licht
• Lichtwert
• Lichtstärke (Fotografie)
• Luminanz (Leuchtdichte bei Monitoren)