Im Oktober 1977 trat Birner in Köln erstmals bei einem Turnier der World Tour an, schied jedoch in der ersten Runde aus. Im Folgejahr erreichte er bei den French Open bei seiner ersten Teilnahme das Achtelfinale im Einzel, nachdem er zuvor Stan Smith, Željko Franulović und Mark Edmondson besiegt hatte. Er verlor die Achtelfinalpartie gegen Corrado Barazzutti in drei Sätzen; dies sollte sein bestes Ergebnis bei einem Einzel eines Grand-Slam-Turniers bleiben. Im weiteren Jahresverlauf kam er nie über die zweite Runde einer Einzelkonkurrenz hinaus. Im Folgejahr kam er an der Seite von Jorge Andrew zum ersten Mal in Berlin in ein Doppelfinale, dieses verloren sie gegen Carlos Kirmayr und Ivan Lendl.
Birner war 1986 vor allem bei Challenger-Turnieren erfolgreich und konnte in Nigeria drei und in Ungarn einen Titel holen. In Ogun und in Ikeja gewann er den Einzeltitel. Doppeltitel holte er mit Charles Strode in Enugu und mit Cyril Suk in Budapest.
Im Doppel hatte bei den French Open 1987 sein bestes Doppelergebnis bei einem Grand-Slam-Turnier, als er sich mit Jaroslav Navrátil bis ins Viertelfinale spielen konnte. Mit demselben Partner erreichte er in diesem Jahr zudem seine beiden letzten World-Tour-Finalrunden in Prag und Basel. 1988 folgte mit Alessandro De Minicis ein Challenger-Finale in Graz, ein Jahr später beim selben Turnier mit Richard Vogel. Nach 1989 trat er nicht mehr auf der ATP Tour an.
Nach seiner Karriere auf internationaler Ebene spielte er auch im hohen Alter noch in der Regionalliga.[2]
Birner ist Vater der beiden ehemaligen Tennisspielerinnen Eva Birnerová und Hana Birnerová. Mit Hana arbeitete er später in Nürnberg in derselben Tennisschule als Trainer.[2]
Tschechoslowakei
Ogun
Anthony Lane
Bernhard Pils
Genf
Blaine Willenborg
Joakim Nyström
Bari
Budapest
Peter Bastiansen
Berlin
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Jorge Andrew
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Carlos Kirmayr
Nizza
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Bernard Mitton