Arkustangens und Arkuskotangens

Arkustangens ist eine mathem. Funktion. Sie ist die Umkehrfunktion des Tangens und damit eine der Arkusfunktionen. Da der Tangens periodisch ist, wird der zur Umkehrung der Definitionsbereich von Tangens auf $\rbrack {-\pi /2},\,\pi /2\lbrack$ beschränkt.

Definition

Umkehrfunktion zu Tangens.

Eigenschaften

Datei:Arctan.png

Graph der Funktion arctan(x)

Definitionsbereich	$-\infty <x<+\infty$
Wertebereich	$-{\frac {\pi }{2}}<f(x)<+{\frac {\pi }{2}}$
Periodizität	keine
Monotonie	streng monoton steigend
Symmetrien	Ungerade Funktion: $\arctan(-x)=-\arctan x$
Asymptoten	$f(x)\to \pm {\frac {\pi }{2}}$ für $x\to \pm \infty$
Nullstellen	$x=0$
Sprungstellen	keine
Polstellen	keine
Extrema	keine
Wendepunkte	$x=0$

Reihenentwicklung

Die Taylorreihe des Arkustangens lautet:

\arctan x=\sum _{j=0}^{\infty }(-1)^{j}{\frac {x^{2j+1}}{2j+1}}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\cdots

Diese Reihe konvergiert genau dann wenn $|x|\leq 1$ und $x\neq \pm i$ ist. Der Arkustangens ist allerdings auf ganz $\mathbb {R}$ definiert.

Die Reihenentwicklung kann zur näherungsweisen Berechnung der Zahl π verwendet werden: Die einfachste Formel ist der Spezialfall $x=1$ , die Leibniz-Formel

{\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+-\ldots

Die kompliziertere Formel

{\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}

verwendete John Machin 1706, um die ersten 100 Nachkommastellen von $\pi$ zu berechnen.

Funktionalgleichung

Die Werte über 1 lassen sich aus den Werten zwischen 0 und 1 ableiten:

\arctan {\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\arctan x

Umkehrfunktion

Tangensfunktion: $x=\tan y\,$

Ableitung

{\frac {d}{dx}}\arctan(ax+b)={\frac {a}{1+(ax+b)^{2}}}

Stammfunktionen

Der Arkustangens spielt eine wesentliche Rolle bei der symbolischen Integration von Ausdrücken der Form

{\frac {1}{ax^{2}+bx+c}}.

Ist die Diskriminante $D=b^{2}-4ac$ positiv oder null, so kann man eine Stammfunktion mittels Partialbruchzerlegung bestimmen. Ist die Diskriminante negativ, so kann man den Ausdruck durch die Substitution

u={\frac {2ax+b}{\sqrt {-D}}}

in die Form

{\frac {4a}{-D}}\cdot {\frac {1}{1+u^{2}}}

bringen; eine Stammfunktion ist also

{\frac {2}{\sqrt {-D}}}\arctan {\frac {2ax+b}{\sqrt {-D}}}.

Eine Stammfunktion des Arkustangens selbst ist

\int \arctan x=x\cdot \arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right).

Anmerkungen

Man kann den Arkustangens durch einen komplexen Logarithmus ausdrücken:

\arctan x={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\ln \left({\frac {1+\mathrm {i} x}{1-\mathrm {i} x}}\right)

Der "Arkustangens" mit zwei Argumenten

Da der Arkus Tangens mit einfachem Argument nicht die Möglichkeit bietet, den Winkel im korrekten Quadranten zu ermitteln, gibt es in verschiedenen Programmen (z.B. Matlab) oder Programmiersprachen (z.B. in C) eine Funktion, die mit 2 Argumenten aufgerufen wird. Sie wird mit "atan2" o.ä. bezeichnet. Im folgenden wird die Argumentreihenfolge der C-Funktion atan2 benutzt.

Die Funktion atan2 kann über die folgende Eigenschaft definiert werden: Sind $x,y$ reelle Zahlen und $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ , so gilt