Graphen der reellen Hyperbelfunktionen
sinh
{\displaystyle \sinh }
cosh
{\displaystyle \cosh }
Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus , auch Hyperbelsinus bzw. Hyperbelkosinus genannt, sind zwei mathematische Funktionen , die zu den Hyperbelfunktionen gehören. Sie tragen die Symbole
sinh
{\displaystyle \sinh }
cosh
{\displaystyle \cosh }
S
i
n
{\displaystyle {\mathfrak {Sin}}}
C
o
s
.
{\displaystyle {\mathfrak {Cos}}.}
[ 1] Hyperbelsinus und Hyperbelkosinus verweisen einerseits auf die geometrische Deutung durch eine Hyperbel , andererseits auf die Analogie zu den trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus . Der Graph der Hyperbelkosinusfunktion beschreibt ein an zwei Punkten aufgehängtes Seil einheitlicher Längendichte und wird daher als Kettenlinie oder Katenoide bezeichnet.
Die Funktionen
sinh
{\displaystyle \sinh }
cosh
{\displaystyle \cosh }
Exponentialfunktion
x
↦
e
x
{\displaystyle x\mapsto e^{x}}
[ 2]
sinh
x
=
1
2
(
e
x
−
e
−
x
)
{\displaystyle \sinh x={\frac {1}{2}}\left(e^{x}-e^{-x}\right)}
cosh
x
=
1
2
(
e
x
+
e
−
x
)
{\displaystyle \cosh x={\frac {1}{2}}\left(e^{x}+e^{-x}\right)}
Dabei ist
e
=
2,718
28
…
{\displaystyle e=2{,}71828\ldots \,}
eulersche Zahl . Die Klammer um das Argument
x
{\displaystyle x}
sinh
{\displaystyle \sinh }
ungerade Funktion, d. h. es gilt
sinh
(
−
x
)
=
−
sinh
x
{\displaystyle \sinh(-x)=-\sinh x}
cosh
{\displaystyle \cosh }
cosh
(
−
x
)
=
cosh
x
{\displaystyle \cosh(-x)=\cosh x}
Die Funktionen
sinh
{\displaystyle \sinh }
cosh
{\displaystyle \cosh }
exp
x
=
e
x
=
cosh
x
+
sinh
x
{\displaystyle \exp x=e^{x}=\cosh x+\sinh x}
Durch Verwendung komplexer Zahlen lässt sich der Zusammenhang mit den entsprechenden trigonometrischen Funktionen
sin
{\displaystyle \sin }
cos
{\displaystyle \cos }
sinh
x
=
−
i
sin
(
i
x
)
{\displaystyle \sinh x=-\mathrm {i} \,\sin(\mathrm {i} \,x)}
cosh
x
=
cos
(
i
x
)
{\displaystyle \cosh x=\cos(\mathrm {i} \,x)}
Eine Gerade durch den Nullpunkt schneidet die Hyperbel
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}
(
cosh
A
,
sinh
A
)
{\displaystyle (\cosh \,A,\sinh \,A)}
A
{\displaystyle A}
x
{\displaystyle x}
animierte Version mit Vergleich zu den trigonometrischen Funktionen.) Die Hyperbel wird auch als Einheitshyperbel bezeichnet. Der rechte Ast der gleichseitigen Hyperbel mit der Gleichung
x
2
−
y
2
=
1
,
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1,}
also der Hyperbel mit dem Mittelpunkt
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
a
=
1
{\displaystyle a=1}
b
=
1
{\displaystyle b=1}
Parameterdarstellung
x
=
cosh
t
,
y
=
sinh
t
.
{\displaystyle x=\cosh t,\quad y=\sinh t.}
Der Parameterwert
t
{\displaystyle t}
A
{\displaystyle A}
Die folgenden Eigenschaften gelten für die reellen Funktionen.
Sinus hyperbolicus
Kosinus hyperbolicus
Definitionsbereich
−
∞
<
x
<
+
∞
{\displaystyle -\infty <x<+\infty }
−
∞
<
x
<
+
∞
{\displaystyle -\infty <x<+\infty }
Wertebereich
−
∞
<
f
(
x
)
<
+
∞
{\displaystyle -\infty <f(x)<+\infty }
1
≤
f
(
x
)
<
+
∞
{\displaystyle 1\leq f(x)<+\infty }
Periodizität
keine
keine
Monotonie
streng monoton steigend
−
∞
<
x
≤
0
{\displaystyle -\infty <x\leq 0}
0
≤
x
<
∞
{\displaystyle 0\leq x<\infty }
Symmetrien
Punktsymmetrie zum Ursprung
Achsensymmetrie zur Ordinate
Asymptotische
a
1
(
x
)
=
1
2
e
x
,
x
→
∞
{\displaystyle a_{1}(x)={\frac {1}{2}}e^{x},\quad x\to \infty }
a
1
(
x
)
=
1
2
e
x
,
x
→
∞
{\displaystyle a_{1}(x)={\frac {1}{2}}e^{x},\quad x\to \infty }
a
2
(
x
)
=
−
1
2
e
−
x
,
x
→
−
∞
{\displaystyle a_{2}(x)=-{\frac {1}{2}}e^{-x},\quad x\to -\infty }
a
2
(
x
)
=
1
2
e
−
x
,
x
→
−
∞
{\displaystyle a_{2}(x)={\frac {1}{2}}e^{-x},\quad x\to -\infty }
Nullstellen
x
=
0
{\displaystyle x=0}
keine
Sprungstellen
keine
keine
Polstellen
keine
keine
Extrema
keine
Minimum bei
x
=
0
{\displaystyle x=0}
Wendestellen
x
=
0
{\displaystyle x=0}
keine
sinh
(
ln
Φ
)
=
1
2
{\displaystyle \sinh(\ln \Phi )={\tfrac {1}{2}}}
goldenen Schnitt
Φ
{\displaystyle \Phi }
cosh
(
ln
Φ
)
=
1
2
5
{\displaystyle \cosh(\ln \Phi )={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {5}}}
Für den Kosinus hyperbolicus gilt insbesondere:
∫
−
∞
∞
d
x
cosh
(
x
)
=
{
arctan
[
sinh
(
x
)
]
}
x
=
−
∞
x
=
∞
=
π
.
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\cosh(x)}}={\biggl \{}\arctan {\bigl [}\sinh(x){\bigr ]}{\biggr \}}_{x=-\infty }^{x=\infty }=\pi .}
Die in den geschweiften Klammern stehende Funktion wird Gudermannsche Funktion
g
d
(
x
)
=
arctan
[
sinh
(
x
)
]
{\displaystyle \mathrm {gd} (x)=\arctan[\sinh(x)]}
Außerdem gilt für die Quadratwurzel:
∫
−
∞
∞
d
x
cosh
(
x
)
=
{
2
arcsl
[
tanh
(
1
2
x
)
]
}
x
=
−
∞
x
=
∞
=
2
ϖ
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {\cosh(x)}}}={\biggl \{}2\,\operatorname {arcsl} \left[\tanh \left({\frac {1}{2}}x\right)\right]{\biggr \}}_{x=-\infty }^{x=\infty }=2\varpi }
Die Bezeichnung
a
r
c
s
l
{\displaystyle \mathrm {arcsl} }
Lemniskatischen Arkussinus und mit dem Kürzel
ϖ
{\displaystyle \varpi }
Lemniskatische Konstante ausgedrückt.
Für den Kehrwert des kardinalisierten Sinus Hyperbolicus gilt folgendes uneigentliches Integral:
∫
−
∞
∞
x
d
x
sinh
(
x
)
=
{
2
Li
2
[
tanh
(
1
2
x
)
]
−
1
2
Li
2
[
tanh
(
1
2
x
)
2
]
}
x
=
−
∞
x
=
∞
=
1
2
π
2
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {x\,\mathrm {d} x}{\sinh(x)}}={\biggl \{}2\,\operatorname {Li} _{2}\left[\tanh \left({\frac {1}{2}}x\right)\right]-{\frac {1}{2}}\,\operatorname {Li} _{2}\left[\tanh \left({\frac {1}{2}}x\right)^{2}\right]{\biggr \}}_{x=-\infty }^{x=\infty }={\frac {1}{2}}\pi ^{2}}
Die Bezeichnung
Li
2
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}}
Dilogarithmus dar.
Der Sinus hyperbolicus bildet
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
bijektiv auf
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Umkehrfunktion , die man Areasinus hyperbolicus
Der Kosinus hyperbolicus bildet das Intervall
[
0
,
+
∞
[
{\displaystyle [0,+\infty [}
[
1
,
+
∞
[
{\displaystyle [1,+\infty [}
[
0
,
+
∞
[
{\displaystyle [0,+\infty [}
Areakosinus hyperbolicus
Beide Umkehrfunktionen, Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus, lassen sich folgendermaßen mit Hilfe von elementareren Funktionen berechnen:
arsinh
x
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\ }
arcosh
x
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\ }
Die Ableitung des Sinus hyperbolicus ist der Kosinus hyperbolicus und die Ableitung des Kosinus hyperbolicus ist der Sinus hyperbolicus:
d
d
x
sinh
x
=
cosh
x
d
d
x
cosh
x
=
sinh
x
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cosh x&=\sinh x\end{aligned}}}
∫
sinh
x
d
x
=
cosh
x
+
C
∫
cosh
x
d
x
=
sinh
x
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \sinh x\,\mathrm {d} x&=\cosh x+C\\\int \cosh x\,\mathrm {d} x&=\sinh x+C\end{aligned}}}
cosh
2
x
−
sinh
2
x
=
1
{\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1}
cosh
x
+
sinh
x
=
e
x
{\displaystyle \cosh x+\sinh x=e^{x}}
cosh
x
−
sinh
x
=
e
−
x
{\displaystyle \cosh x-\sinh x=e^{-x}}
cosh
(
a
r
s
i
n
h
(
x
)
)
=
x
2
+
1
{\displaystyle \cosh({\rm {arsinh}}(x))={\sqrt {x^{2}+1}}}
sinh
(
a
r
c
o
s
h
(
x
)
)
=
x
2
−
1
{\displaystyle \sinh({\rm {arcosh}}(x))={\sqrt {x^{2}-1}}}
Hyperbelgleichung )
sinh
(
x
±
y
)
=
sinh
x
cosh
y
±
cosh
x
sinh
y
cosh
(
x
±
y
)
=
cosh
x
cosh
y
±
sinh
x
sinh
y
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x\pm y)&=\sinh x\cosh y\pm \cosh x\sinh y\\\cosh(x\pm y)&=\cosh x\cosh y\pm \sinh x\sinh y\end{aligned}}}
insbesondere gilt für
y
:=
x
{\displaystyle y:=x}
sinh
2
x
=
2
⋅
sinh
x
cosh
x
cosh
2
x
=
cosh
2
x
+
sinh
2
x
=
2
⋅
cosh
2
x
−
1
=
2
⋅
sinh
2
x
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh 2x&=2\cdot \sinh x\cosh x\ \\\cosh 2x&=\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=2\cdot \cosh ^{2}x-1=2\cdot \sinh ^{2}x+1\end{aligned}}}
und für
y
:=
2
x
{\displaystyle y:=2x}
sinh
3
x
=
4
⋅
sinh
3
x
+
3
sinh
x
cosh
3
x
=
4
⋅
cosh
3
x
−
3
cosh
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh 3x&=4\cdot \sinh ^{3}x+3\sinh x\ \\\cosh 3x&=4\cdot \cosh ^{3}x-3\cosh x\end{aligned}}}
sinh
x
±
sinh
y
=
2
sinh
x
±
y
2
cosh
x
∓
y
2
cosh
x
+
cosh
y
=
2
cosh
x
+
y
2
cosh
x
−
y
2
cosh
x
−
cosh
y
=
2
sinh
x
+
y
2
sinh
x
−
y
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x\pm \sinh y&=2\sinh {\frac {x\pm y}{2}}\cosh {\frac {x\mp y}{2}}\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh {\frac {x+y}{2}}\cosh {\frac {x-y}{2}}\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh {\frac {x+y}{2}}\sinh {\frac {x-y}{2}}\end{aligned}}}
sinh
2
x
=
1
2
(
cosh
(
2
x
)
−
1
)
cosh
2
x
=
1
2
(
cosh
(
2
x
)
+
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh ^{2}x={\frac {1}{2}}{\Big (}\cosh(2x)-1{\Big )}\\\cosh ^{2}x={\frac {1}{2}}{\Big (}\cosh(2x)+1{\Big )}\end{aligned}}}
Die Taylorreihe des Sinus hyperbolicus bzw. Kosinus hyperbolicus mit dem Entwicklungspunkt
x
=
0
{\displaystyle x=0}
sinh
x
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
=
x
+
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+
⋯
cosh
x
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
(
2
n
)
!
=
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\dotsb \\\cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\dotsb \end{aligned}}}
sinh
x
=
x
⋅
∏
k
=
1
∞
(
1
+
x
2
(
k
π
)
2
)
cosh
x
=
∏
k
=
1
∞
(
1
+
4
x
2
(
2
k
−
1
)
2
π
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh x=x\cdot \prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{(k\pi )^{2}}}\right)\\&\cosh x=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {4x^{2}}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}\right)\end{aligned}}}
Sei
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
z
{\displaystyle z}
sinh
z
=
(
2
i
)
n
−
1
∏
k
=
0
n
−
1
sinh
z
+
k
π
i
n
cosh
z
=
2
n
−
1
∏
k
=
0
n
−
1
cosh
z
+
(
k
−
n
−
1
2
)
π
i
n
{\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh z={\left({\frac {2}{\mathrm {i} }}\right)}^{\!\!n-1}\,\prod \limits _{k=0}^{n-1}\sinh {\frac {z+k\,\pi \,\mathrm {i} }{n}}\\&\cosh z=2^{n-1}\prod \limits _{k=0}^{n-1}\cosh {\frac {z+\left(k-{\frac {n-1}{2}}\right)\,\pi \,\mathrm {i} }{n}}\end{aligned}}}
Mit
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }
sinh
(
x
+
i
y
)
=
cos
y
sinh
x
+
i
sin
y
cosh
x
cosh
(
x
+
i
y
)
=
cos
y
cosh
x
+
i
sin
y
sinh
x
sin
(
x
+
i
y
)
=
sin
x
cosh
y
+
i
cos
x
sinh
y
cos
(
x
+
i
y
)
=
cos
x
cosh
y
−
i
sin
x
sinh
y
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x+\mathrm {i} \,y)&=\cos y\,\sinh x+\mathrm {i} \sin y\,\cosh x\\\cosh(x+\mathrm {i} \,y)&=\cos y\,\cosh x+\mathrm {i} \sin y\,\sinh x\\\sin(x+\mathrm {i} \,y)&=\sin x\,\cosh y+\mathrm {i} \cos x\,\sinh y\\\cos(x+\mathrm {i} \,y)&=\cos x\,\cosh y-\mathrm {i} \sin x\,\sinh y\\\end{aligned}}}
So folgen beispielsweise die dritte und die vierte Gleichung auf folgende Weise:
Mit
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+\mathrm {i} \,y}
exp
(
i
z
)
=
cos
(
x
+
i
y
)
+
i
sin
(
x
+
i
y
)
=
exp
(
i
(
x
+
i
y
)
)
=
exp
(
i
x
)
exp
(
i
(
i
y
)
)
=
(
cos
x
cos
(
i
y
)
−
sin
x
sin
(
i
y
)
)
+
i
(
cos
x
sin
(
i
y
)
+
sin
x
cos
(
i
y
)
)
=
(
cos
x
cosh
y
−
i
sin
x
sinh
y
)
+
i
(
sin
x
cosh
y
+
i
cos
x
sinh
y
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\exp(\mathrm {i} \,z)&=\cos(x+\mathrm {i} \,y)+\mathrm {i} \sin(x+\mathrm {i} \,y)\\&=\exp(\mathrm {i} \,(x+\mathrm {i} \,y))\\&=\exp(\mathrm {i} \,x)\,\exp(\mathrm {i} \,(\mathrm {i} \,y))\\&=(\cos x\,\cos(\mathrm {i} \,y)-\sin x\,\sin(\mathrm {i} \,y))+\mathrm {i} \,(\cos x\,\sin(\mathrm {i} \,y)+\sin x\,\cos(\mathrm {i} \,y))\\&=(\cos x\,\cosh y-\mathrm {i} \sin x\,\sinh y)+\mathrm {i} \,(\sin x\,\cosh y+\mathrm {i} \cos x\,\sinh y)\\\end{aligned}}}
Durch Koeffizientenvergleich folgt:
cos
(
x
+
i
y
)
=
cos
x
cosh
y
−
i
sin
x
sinh
y
sin
(
x
+
i
y
)
=
sin
x
cosh
y
+
i
cos
x
sinh
y
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(x+\mathrm {i} \,y)&=\cos x\,\cosh y-\mathrm {i} \sin x\,\sinh y\\\sin(x+\mathrm {i} \,y)&=\sin x\,\cosh y+\mathrm {i} \cos x\,\sinh y\\\end{aligned}}}
Die Funktion
f
(
x
)
=
a
⋅
sinh
x
+
b
⋅
cosh
x
{\displaystyle f(x)=a\cdot \sinh x+b\cdot \cosh x}
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
löst die Differentialgleichung
f
″
(
x
)
−
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f''(x)-f(x)=0\ }
Ein homogenes Seil, das nur aufgrund seiner Eigenlast durchhängt, kann durch eine Kosinus-hyperbolicus-Funktion beschrieben werden. Eine derartige Kurve nennt man auch Kettenlinie, Kettenkurve oder Katenoide .
Mit Hilfe der Rapidität
λ
{\displaystyle \lambda }
Transformationsmatrix für eine spezielle Lorentztransformation (auch Lorentz-Boost ) in x -Richtung folgendermaßen darstellen (für Transformationen in andere Richtungen ergeben sich ähnliche Matrizen):
L
=
(
cosh
λ
−
sinh
λ
0
0
−
sinh
λ
cosh
λ
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
{\displaystyle L={\begin{pmatrix}\cosh \lambda &-\sinh \lambda &0&0\\-\sinh \lambda &\cosh \lambda &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}
Man sieht eine große Ähnlichkeit zu Drehmatrizen ; man erkennt so also gut die Analogie zwischen speziellen Lorentztransformationen in der vierdimensionalen Raumzeit und Drehungen im dreidimensionalen Raum.
Der Sinus hyperbolicus tritt auch in der Kosmologie auf. Die zeitliche Entwicklung des Skalenfaktors in einem flachen Universum, das im Wesentlichen nur Materie und Dunkle Energie enthält (was ein gutes Modell für unser tatsächliches Universum ist), wird beschrieben durch
a
(
t
)
=
(
1
−
Ω
Λ
,
0
Ω
Λ
,
0
sinh
(
t
t
c
h
)
)
2
/
3
{\displaystyle a(t)=\left({\sqrt {\frac {1-\Omega _{\Lambda ,0}}{\Omega _{\Lambda ,0}}}}\sinh \left({\frac {t}{t_{\mathrm {ch} }}}\right)\right)^{2/3}}
wobei
t
c
h
=
2
3
Ω
Λ
,
0
H
0
{\displaystyle t_{\mathrm {ch} }={\frac {2}{3{\sqrt {\Omega _{\Lambda ,0}}}H_{0}}}}
eine charakteristische Zeitskala ist.
H
0
{\displaystyle H_{0}}
Ω
Λ
,
0
{\displaystyle \Omega _{\Lambda ,0}}
Dichteparameter für die Dunkle Energie. Die Herleitung dieses Ergebnisses findet man bei den Friedmann-Gleichungen . Bei der Zeitabhängigkeit des Dichteparameters der Materie tritt dagegen der Kosinus hyperbolicus auf:
Ω
M
(
t
)
=
cosh
−
2
(
t
t
c
h
)
{\displaystyle \Omega _{M}(t)=\cosh ^{-2}\left({\frac {t}{t_{\mathrm {ch} }}}\right)}
Der Sinus hyperbolicus und seine Umkehrfunktion können zum Lösen von kubischen Gleichungen verwendet werden. Das Verdreifachungstheorem des Sinus hyperbolicus lautet wie folgt:
sinh
(
3
a
)
=
4
sinh
3
a
+
3
sinh
a
{\displaystyle \sinh(3a)=4\sinh ^{3}a+3\sinh a}
Für
s
:=
sinh
(
3
a
)
{\displaystyle s:=\sinh(3a)}
s
=
4
sinh
3
[
1
3
arsinh
(
s
)
]
+
3
sinh
[
1
3
arsinh
(
s
)
]
{\displaystyle s=4\sinh ^{3}\left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} (s)\right]+3\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} (s)\right]}
Da der Sinus hyperbolicus
sinh
{\displaystyle \sinh }
arsinh
{\displaystyle \operatorname {arsinh} }
sinh
3
{\displaystyle \sinh ^{3}}
4
x
3
+
3
x
=
±
s
{\displaystyle 4x^{3}+3x=\pm s}
x
=
±
sinh
[
arsinh
s
3
]
{\displaystyle x=\pm \sinh \left[{\frac {\operatorname {arsinh} s}{3}}\right]}
Der Allgemeinfall der (durch kubische Ergänzung) reduzierten kubischen Gleichung
x
3
+
p
x
∓
q
=
0
{\displaystyle x^{3}+px\mp q=0}
p
{\displaystyle p}
1
2
3
p
3
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\,{\sqrt {\frac {3}{p}}}^{3}}
4
(
1
2
3
p
x
)
3
+
3
(
1
2
3
p
x
)
=
±
1
2
3
p
3
⋅
q
{\displaystyle 4\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{p}}}\,x\right)^{3}+3\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{p}}}\,x\right)=\pm {\frac {1}{2}}\,{\sqrt {\frac {3}{p}}}^{3}\cdot q}
Setzt man
s
=
q
2
3
p
3
{\displaystyle s={\frac {q}{2}}\,{\sqrt {\frac {3}{p}}}^{3}}
1
2
3
p
x
=
±
sinh
[
1
3
arsinh
(
q
2
3
p
3
)
]
{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{p}}}\,x=\pm \sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {q}{2}}\,{\sqrt {\frac {3}{p}}}^{3}\right)\right]}
Bei
r
>
0
{\displaystyle r>0}
x
3
+
p
x
=
±
q
{\displaystyle x^{3}+px=\pm q}
x
=
±
2
p
3
sinh
[
1
3
arsinh
(
q
2
3
p
3
)
]
{\displaystyle x=\pm 2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {q}{2}}{\sqrt {\frac {3}{p}}}^{3}\right)\right]}
So gilt beispielsweise für den Kehrwert der Supergoldenen Zahl dieser Ausdruck:
x
3
+
x
=
1
{\displaystyle x^{3}+x=1}
x
=
2
3
3
sinh
[
1
3
arsinh
(
3
3
2
)
]
{\displaystyle x={\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)\right]}
Wenn der Koeffizient
p
{\displaystyle p}
2
{\displaystyle 2}
x
3
+
2
x
=
1
{\displaystyle x^{3}+2x=1}
x
=
2
6
3
sinh
[
1
3
arsinh
(
3
6
8
)
]
{\displaystyle x={\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3{\sqrt {6}}}{8}}\right)\right]}
Auch die quartischen Gleichungen können für den Allgemeinfall vereinfacht mit den Hyperbelfunktionen gelöst werden:
Ebenso soll hierfür ein Beispiel angeführt werden:
x
4
=
x
+
1
{\displaystyle x^{4}=x+1}
x
=
1
3
27
4
sinh
[
1
3
arsinh
(
3
16
3
)
]
+
1
4
3
4
csch
[
1
3
arsinh
(
3
16
3
)
]
−
1
3
3
sinh
[
1
3
arsinh
(
3
16
3
)
]
{\displaystyle x={\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}+{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}}
Im Gegensatz zum Allgemeinfall der Gleichungen dritten und vierten Grades kann der Allgemeinfall der Gleichungen fünften und höheren Grades nicht elementar aufgelöst werden. Diese Tatsache wird durch den Satz von Abel-Ruffini ausgedrückt und wurde ebenso durch den Mathematiker Évariste Galois erforscht. Die Lösungen derjenigen quintischen Gleichungen aber, welche sehr wohl mit elementaren Wurzelausdrücken gelöst werden können, lassen sich stark vereinfacht mit den Hyperbelfunktionen und ihren Umkehrfunktionen darstellen. Im Folgenden sollen hierfür zwei solche quintischen Gleichungen mit ihren hyperbolisch dargestellten Lösungen gezeigt werden:
Erstes Beispiel:
x
5
+
280
x
=
1344
{\displaystyle x^{5}+280x=1344}
x
=
2
7
4
7
5
(
cosh
{
1
5
arcosh
[
2
4
5
7
3
(
2
2
+
1
)
]
}
−
sinh
{
1
5
arsinh
[
2
4
5
7
3
(
2
2
−
1
)
]
}
)
{\displaystyle x={\sqrt[{4}]{2^{7}}}{\sqrt {\frac {7}{5}}}\left(\cosh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}\operatorname {arcosh} {\biggl [}{\sqrt[{4}]{2}}\,{\sqrt {\frac {5}{7}}}^{3}\,(2{\sqrt {2}}+1){\biggr ]}{\biggr \}}-\sinh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}\operatorname {arsinh} {\biggl [}{\sqrt[{4}]{2}}\,{\sqrt {\frac {5}{7}}}^{3}\,(2{\sqrt {2}}-1){\biggr ]}{\biggr \}}\right)}
Zweites Beispiel:
x
5
+
11
x
=
44
{\displaystyle x^{5}+11x=44}
x
=
2
11
5
3
4
(
cosh
{
1
5
arcosh
[
5
7
4
11
3
(
2
5
+
3
)
]
}
−
sinh
{
1
5
arsinh
[
5
7
4
11
3
(
2
5
−
3
)
]
}
)
{\displaystyle x={\frac {2{\sqrt {11}}}{\sqrt[{4}]{5^{3}}}}\left(\cosh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}\operatorname {arcosh} {\biggl [}{\frac {\sqrt[{4}]{5^{7}}}{\sqrt {11^{3}}}}\,(2{\sqrt {5}}+3){\biggr ]}{\biggr \}}-\sinh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}\operatorname {arsinh} {\biggl [}{\frac {\sqrt[{4}]{5^{7}}}{\sqrt {11^{3}}}}\,(2{\sqrt {5}}-3){\biggr ]}{\biggr \}}\right)}
↑ Franz Brzoska, Walter Bartsch: Mathematische Formelsammlung . 2. verbesserte Auflage. Fachbuchverlag Leipzig, 1956.
↑ Ilʹja N. Bronštejn: Taschenbuch der Mathematik . 11., aktualisierte Auflage. Haan-Gruiten 2020, ISBN 978-3-8085-5792-1 , S. 89 .
![{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\cosh(x)}}={\biggl \{}\arctan {\bigl [}\sinh(x){\bigr ]}{\biggr \}}_{x=-\infty }^{x=\infty }=\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c1431d41440abef370985110ba5a52c733ef844)
![{\displaystyle \mathrm {gd} (x)=\arctan[\sinh(x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/312f817bb026b5207856a4731be58e07e015bca4)
![{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {\cosh(x)}}}={\biggl \{}2\,\operatorname {arcsl} \left[\tanh \left({\frac {1}{2}}x\right)\right]{\biggr \}}_{x=-\infty }^{x=\infty }=2\varpi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b11dae2bab56dcd4ef812d95e39529ac5abee088)
![{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {x\,\mathrm {d} x}{\sinh(x)}}={\biggl \{}2\,\operatorname {Li} _{2}\left[\tanh \left({\frac {1}{2}}x\right)\right]-{\frac {1}{2}}\,\operatorname {Li} _{2}\left[\tanh \left({\frac {1}{2}}x\right)^{2}\right]{\biggr \}}_{x=-\infty }^{x=\infty }={\frac {1}{2}}\pi ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23ba7168e36aeca6237efc4f5bd49e44d8c7f9da)
![{\displaystyle s=4\sinh ^{3}\left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} (s)\right]+3\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} (s)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da5b6d30406cf053dd47f7959100771a2155a97e)
![{\displaystyle x=\pm \sinh \left[{\frac {\operatorname {arsinh} s}{3}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c22c46cb988922b69359ccf67bee80301ac68c02)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{p}}}\,x=\pm \sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {q}{2}}\,{\sqrt {\frac {3}{p}}}^{3}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d51521dcab3bead732c83998933aacd7463b22a)
![{\displaystyle x=\pm 2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {q}{2}}{\sqrt {\frac {3}{p}}}^{3}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2923aa97d20e42f964f9de03d8c4cd508d1cea62)
![{\displaystyle x={\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5c8febff6cfb551c579631f1cb21a462ba300e8)
![{\displaystyle x={\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3{\sqrt {6}}}{8}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed0cb5a3e3071d6fe6b65a3a7ad5d1185cc3a67b)
![{\displaystyle x={\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}+{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd4c9054b46ca5be4dd66e1e911dd8cbb0c1de7f)
![{\displaystyle x={\sqrt[{4}]{2^{7}}}{\sqrt {\frac {7}{5}}}\left(\cosh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}\operatorname {arcosh} {\biggl [}{\sqrt[{4}]{2}}\,{\sqrt {\frac {5}{7}}}^{3}\,(2{\sqrt {2}}+1){\biggr ]}{\biggr \}}-\sinh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}\operatorname {arsinh} {\biggl [}{\sqrt[{4}]{2}}\,{\sqrt {\frac {5}{7}}}^{3}\,(2{\sqrt {2}}-1){\biggr ]}{\biggr \}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb7151212cc57738483c1030b4ce80b5eea904ff)
![{\displaystyle x={\frac {2{\sqrt {11}}}{\sqrt[{4}]{5^{3}}}}\left(\cosh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}\operatorname {arcosh} {\biggl [}{\frac {\sqrt[{4}]{5^{7}}}{\sqrt {11^{3}}}}\,(2{\sqrt {5}}+3){\biggr ]}{\biggr \}}-\sinh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}\operatorname {arsinh} {\biggl [}{\frac {\sqrt[{4}]{5^{7}}}{\sqrt {11^{3}}}}\,(2{\sqrt {5}}-3){\biggr ]}{\biggr \}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/531ba35ffc82574109b5cbf0db989941781ebcd0)
