Eine Gerade durch den Nullpunkt schneidet die Hyperbel

im Punkt

, wobei

für die Fläche zwischen der Geraden, ihrem Spiegelbild bezogen auf die

-Achse und der Hyperbel steht. (Siehe auch die
animierte Version mit Vergleich zu den Trigonometrischen (zirkulären) Funktionen.) Die Hyperbel wird auch als
Einheitshyperbel bezeichnet.
Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus sind mathematische Hyperbelfunktionen, auch Hyperbelsinus bzw. Hyperbelkosinus genannt; sie tragen die Symbole
bzw.
, in älteren Quellen auch
und
[1] Der Kosinus hyperbolicus beschreibt unter anderem den Verlauf eines an zwei Punkten aufgehängten Seils. Sein Graph wird deshalb auch als Katenoide (Kettenlinie) bezeichnet.


Die Funktionen sinh und cosh sind also der ungerade bzw. gerade Anteil der Exponentialfunktion (
).
Sinus hyperbolicus (rot) und Kosinus hyperbolicus (blau) für reelle x.
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Sinus hyperbolicus
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Kosinus hyperbolicus
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Definitionsbereich
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Wertebereich
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Periodizität
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keine
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keine
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Monotonie
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streng monoton steigend
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streng monoton fallend streng monoton steigend
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Symmetrien
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Punktsymmetrie zum Ursprung
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Achsensymmetrie zur Ordinate
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Asymptotische Funktionen
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Nullstellen
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keine
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Sprungstellen
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keine
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keine
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Polstellen
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keine
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keine
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Extrema
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keine
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Minimum bei
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Wendestellen
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keine
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mit dem goldenen Schnitt 
Für den Kosinus hyperbolicus gilt insbesondere:

Der Sinus hyperbolicus bildet
bijektiv auf
ab und hat deshalb eine Umkehrfunktion, die man Areasinus hyperbolicus nennt.
Der Kosinus hyperbolicus bildet das Intervall
bijektiv auf das Intervall
und lässt sich eingeschränkt auf
also invertieren. Die Umkehrfunktion davon nennt man Areakosinus hyperbolicus
Beide Umkehrfunktionen, Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus, lassen sich folgendermaßen mit Hilfe von elementareren Funktionen berechnen:
.
.
Die Ableitung des Sinus hyperbolicus ist der Kosinus hyperbolicus und die Ableitung des Kosinus hyperbolicus ist der Sinus hyperbolicus:


Zusammenhänge (zwischen den beiden Funktionen und anderen)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(Eulersche Identität)


(Hyperbelgleichung)

insbesondere gilt für
:

und für
:



Die Taylorreihe des Sinus hyperbolicus bzw. Kosinus hyperbolicus mit dem Entwicklungspunkt
lautet:


Sei
. Dann gilt für alle komplexen
:

Mit
gilt:

So folgen beispielsweise die dritte und die vierte Gleichung auf folgende Weise:
Mit
gilt
Durch Koeffizientenvergleich folgt:
Die Funktion
mit 
löst die Differentialgleichung
.
Ein homogenes Seil, das nur aufgrund seiner Eigenlast durchhängt, kann durch eine Kosinus-hyperbolicus-Funktion beschrieben werden. Eine derartige Kurve nennt man auch Kettenlinie, Kettenkurve oder Katenoide.
Mit Hilfe der Rapidität
kann man die Transformationsmatrix für eine spezielle Lorentztransformation (auch Lorentz-Boost) in x-Richtung folgendermaßen darstellen (für Transformationen in andere Richtungen ergeben sich ähnliche Matrizen):

Man sieht eine große Ähnlichkeit zu Drehmatrizen; man erkennt so also gut die Analogie zwischen speziellen Lorentztransformationen in der vierdimensionalen Raumzeit und Drehungen im dreidimensionalen Raum.
Der Sinus hyperbolicus tritt auch in der Kosmologie auf. Die zeitliche Entwicklung des Skalenfaktors in einem flachen Universum, das im Wesentlichen nur Materie und Dunkle Energie enthält (was ein gutes Modell für unser tatsächliches Universum ist), wird beschrieben durch
,
wobei

eine charakteristische Zeitskala ist.
ist dabei der heutige Wert des Hubble-Parameters,
der Dichteparameter für die Dunkle Energie. Die Herleitung dieses Ergebnisses findet man bei den Friedmann-Gleichungen. Bei der Zeitabhängigkeit des Dichteparameters der Materie tritt dagegen der Kosinus hyperbolicus auf:
.
- ↑ Dr. Franz Brzoska, Walter Bartsch: Mathematische Formelsammlung. 2. verbesserte Auflage. Fachbuchverlag Leipzig, 1956.