Primfaktorzerlegung

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Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung einer natürlichen Zahl als Produkt aus Primzahlen, die dann als Primfaktoren von bezeichnet werden. Diese Darstellung ist eindeutig (bis auf die Reihenfolge der Faktoren; es ist eine Multimenge) und zählt zu den grundlegenden und klassischen Werkzeugen der Zahlentheorie. Sie ist Gegenstand des Fundamentalsatzes der Arithmetik. Es ist bisher kein effizientes Faktorisierungsverfahren bekannt, um die Primfaktorzerlegung einer beliebigen Zahl zu erhalten.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine natürliche Zahl. Eine Zahl heißt Primfaktor von ,

wenn ein Teiler von ist und
eine Primzahl ist.

Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung der Zahl als Produkt ihrer Primfaktoren. Da die Multiplikation kommutativ und assoziativ ist, ist die Reihenfolge der Primfaktoren aus Sicht der Zahlentheorie unwichtig. Die Primfaktorzerlegung der Eins kann als leeres Produkt betrachtet werden. Wenn selbst eine Primzahl ist, so ist sie selbst ihr einziger Primfaktor. Gibt es mehr als einen Primfaktor, so wird zusammengesetzte Zahl“ genannt. Die Null ist niemals Teil der multiplikativen Gruppe und wird von solchen Betrachtungen ausgeschlossen. Ein Primfaktor kann mehrfach auftreten; mehrfach auftretende Primfaktoren können mittels Exponenten-Schreibweise zusammengefasst werden. Sind die Primfaktoren aufsteigend geordnet (pk < pk+1), spricht man auch von der kanonischen Primfaktorzerlegung:

       Unter den Primfaktoren sind verschiedene.

Der Exponent eines Primfaktors ist die Vielfachheit von in und wird auch als -Bewertung von bezeichnet. Er gibt an, wie oft durch teilbar ist.

Beispiele für Primfaktorzerlegungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(Primzahl)
(Zweierpotenz)
, mit der kanonischen Darstellung
(Zehnerpotenz)

Fundamentalsatz der Arithmetik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Aussagen für Existenz der Primfaktorzerlegung für jede natürliche Zahl und deren Eindeutigkeit in der kanonischen Darstellung sind der Fundamentalsatz der Arithmetik, auch Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie genannt. Beide Aussagen werden getrennt formuliert und bewiesen. Die Beweise sind elementar, werden klassisch als Widerspruchsbeweis formuliert und nutzen die Wohlordnung der natürlichen Zahlen. Zum ersten Mal vollständig und korrekt bewiesen findet sich der Fundamentalsatz der Arithmetik in den Disquisitiones Arithmeticae von Carl Friedrich Gauß. Er war aber bereits – wenn auch in leicht abgewandelter Form – Euklid bekannt.

Beweis der Existenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für und ist nichts zu zeigen (vgl. Teilbarkeit). Jede Primzahl ist selbst ihre Primfaktorzerlegung. Zu zeigen bleibt, dass für die restlichen natürlichen Zahlen eine Primfaktorzerlegung existiert.

Angenommen werde die Existenz solcher restlicher Zahlen, für die keine Primfaktorzerlegung existiert. Aufgrund der Wohlordnung von existiert dann eine kleinste solche Zahl . Da keine Primzahl ist, hat nichttriviale Teiler mit , wobei . Da die kleinste Zahl ist, für die keine Primfaktorzerlegung existiert, existiert für (bzw. ) eine Primfaktorzerlegung (bzw. ). Dann ist eine Primfaktorzerlegung von , im Widerspruch zur Annahme.

Beweis der Eindeutigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für , und Primzahlen ist nichts zu zeigen. Zu zeigen bleibt, dass für die restlichen natürlichen Zahlen höchstens eine Primfaktorzerlegung existiert.

Angenommen werde die Existenz solcher restlicher Zahlen, für die jeweils mehrere unterschiedliche Primfaktorzerlegungen koexistieren. Aufgrund der Wohlordnung von existiert dann eine kleinste solche Zahl . Mehrere unterschiedliche Primfaktorzerlegungen von koexistieren höchstens dann (widerspruchsfrei), wenn zwei unterschiedliche Primfaktorzerlegungen und von koexistieren.

Angenommen werde weiter, dass die Elemente eines geeignet gewählten Dupels von Primfaktoren gleich sind. Dann hat die natürliche Zahl die unterschiedlichen Primfaktorzerlegungen und , und ist nicht die kleinste solche Zahl (Widerspruch). Also sind die Elemente eines beliebigen Dupels ungleich. (1)

Da ein beliebig gewählter Primfaktor das Produkt teilt, teilt er nach dem Lemma von Euklid auch einen geeignet gewählten Faktor dieses Produkts. Ein beliebig vorgegebener Primfaktor ist wegen (1) kein von geteilter Faktor; also teilt einen Faktor des verbleibenden Produkts . Die gleiche Überlegung lässt sich nacheinander für die endlich vielen restlichen Primfaktoren anstellen, so dass letztlich keinen Faktor von teilt (Widerspruch).

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt mehrere Möglichkeiten, Primzahlen zu verallgemeinern. Die bekannteste Anwendung sind die ganzen Zahlen, Primzahlen können dort auch ein negatives Vorzeichen haben. Andererseits ist dies schon ein spezielles Beispiel, da auch dort die Primfaktorzerlegung (bis auf Vorzeichen und Reihenfolge) eindeutig ist.

Ein allgemeiner Ansatz verlangt mindestens einen Begriff der Teilbarkeit innerhalb der mathematischen Struktur. David Hilbert bewies, dass für die gewünschte Eindeutigkeit eine additive Struktur zwingend notwendig ist. Üblicherweise wird von einem kommutativen Ring mit Eins ausgegangen, dort können Primelemente definiert werden: Ein Element ist prim, wenn Euklids Lemma dafür gilt. Damit ist nicht garantiert, dass es für alle Elemente des Rings Zerlegungen in Primelemente gibt, aber wenn es welche gibt, dann sind sie eindeutig. Um die Existenz zu sichern, ist eine weitere Eigenschaft notwendig: die Unzerlegbarkeit. Um die definieren zu können, schränkt man die Struktur weiter ein und betrachtet nullteilerfreie Ringe (also Integritätsringe), dort können zusätzlich irreduzible Elemente definiert werden, die aber nicht prim genannt werden können. Sie sind unzerlegbar und enthalten die Primelemente als Teilmenge.

Zerlegungen in irreduzible Elemente in einem Integritätsring sind nicht notwendigerweise eindeutig. Um eine Struktur zu erhalten, in der die Produkt-Zerlegungen eindeutig sind, muss man diese Eindeutigkeit explizit fordern, was zur Definition von faktoriellen Ringen führt. Mit dieser Forderung lässt sich dann aber dort auch schon die Äquivalenz von irreduzibel und prim folgern: Faktorielle Ringe sind ZPE-Ringe. Ein etwas anderer Ansatz wird mit Primidealen verfolgt.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auch auf dem Dreiecksgitter der Eisenstein-Zahlen existiert für jeden Gitterpunkt eine Primfaktorzerlegung
  • In dem Integritätsring sind die Elemente keine Primelemente aber irreduzibel, und keine zwei sind zueinander assoziiert. Es gilt: . Man kann also nicht von einer Primfaktorzerlegung sprechen.
  • Ein irreduzibles Polynom heißt Primpolynom, wenn der Leitkoeffizient gleich ist. Im Polynomring über einem Körper ist jedes nichtkonstante Polynom im Wesentlichen eindeutig als Produkt von Primpolynomen darstellbar.[2]
  • Sowohl in den gaußschen Zahlen als auch den Eisenstein-Zahlen existiert stets eine Primfaktorzerlegung (außer für die 0).

Praktische Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Teiler[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus den Primfaktorzerlegungen zweier Zahlen lässt sich erkennen, ob die eine Zahl durch die andere teilbar ist. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) und der größte gemeinsame Teiler (ggT) können leicht aus den Primfaktorzerlegungen bestimmt werden. In der Bruchrechnung können Brüche durch den ggT von Zähler und Nenner gekürzt werden. Beim Addieren und Subtrahieren werden zwei Brüche auf das kgV der Nenner erweitert.

Aus der kanonischen Primfaktorzerlegung erhält man die Anzahl T der Teiler von n, indem man die Exponenten um Eins erhöht und dann miteinander multipliziert:

Kryptographie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine wichtige Rolle spielen Primzahlen in der Kryptographie. Verschlüsselungssysteme wie RSA basieren darauf, dass kein effizientes Faktorisierungsverfahren bekannt ist. So ist es innerhalb von Sekunden problemlos möglich, zwei 500-stellige Primzahlen zu finden und miteinander zu multiplizieren. Mit den heutigen Methoden würde die Rückgewinnung der beiden Primfaktoren aus diesem 999- oder 1000-stelligen Produkt dagegen eine sehr lange Zeit dauern.

Gödelnummern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für jede Aufzählung von Primzahlen ohne Wiederholung ist die durch

definierte Abbildung aller Tupel ganzer Zahlen injektiv und berechenbar, durch Primfaktorzerlegung ist die Umkehrfunktion ebenfalls berechenbar. Die Abbildung eignet sich daher zur Definition von Gödelnummern.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jürgen Wolfart: Einführung in die Algebra und Zahlentheorie. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1996, ISBN 3-528-07286-5.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wiktionary: Primfaktorzerlegung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Thomas Kantke: Billige und teure Zahlen. In: Spektrum der Wissenschaft – SPEZIAL: Omega. Nr. 4/2003. Spektrum der Wissenschaft, Heidelberg 2003, S. 68–74.
  2. Jürgen Wolfart: Einführung in die Algebra und Zahlentheorie. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1996, ISBN 3-528-07286-5, S. 72, 37.