Knicken

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Ein längs gedrücktes Lineal (Eulerfall 2), das zum Knicken gebracht werden kann.

Unter Knicken versteht man in der Technischen Mechanik das meist plötzliche Versagen von Stäben durch seitliches Ausweichen unter Druckbeanspruchung. Das Knicken tritt dann ein, wenn der Stab bei Druckerhöhung sein stabiles Gleichgewicht verliert. Der praktisch immer minimal krumme (gebogene) Stab wird sich bei Druckbeanspruchung elastisch weiter, aber vorerst endlich begrenzt biegen. Erst bei einer kritischen Beanspruchung schlägt das Maß der Verbiegung ins Unendliche um. Die kritische Druckbeanspruchung hängt nicht von der Biegefestigkeit des Stabmaterials, sondern nur von dessen Elastizität (E-Modul) ab. Die kritische Druckspannung ist i. d. R. wesentlich kleiner als die Biege- und Druckfestigkeit des Materials, so dass der Stab nur wegen Verlust seines Gleichgewichtes versagt.[1]

Das Gleichgewicht ist abhängig von:

  • Einleitung der Druckkraft,
  • Geometrie (Flächenträgheitsmoment),
  • Einspannung (siehe “Eulersche Knickfälle”)
  • Elastizitätsmodul.

Man unterscheidet außer

  • Biegeknicken (seitliches Ausweichen der Stabachse) noch
  • Drillknicken (Verdrehen des Stabquerschnitts) und
  • Biegedrillknicken (früher auch als Kippen bezeichnet: Verdrehen des Stabquerschnitts sowie seitliches Ausweichen der Stabachse).

Eulersche Knickfälle (Biegeknicken)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die vier Eulerfälle mit folgenden Randbedingungen (v. l. n. r.): (1) eingespannt/frei, (2) gelenkig/gelenkig, (3) eingespannt/gelenkig, (4) eingespannt/eingespannt

Nach Leonhard Euler, der das Knicken schlanker Stäbe als erster behandelt hat, sind vier Fälle für das Knicken des elastischen Stabes mit mittig wirkender Druckkraft benannt. Diese vier Eulerfälle sind in der Baupraxis und Maschinentechnik nicht die einzigen, die vorkommen. Es fehlen z. B. die Fälle, wenn der Stab oben vertikal geführt ist, aber seitlich ausweichen kann. Der unten auch eingespannte Stab, ist ein sinnvolles Modell für Säulen in Skelettbauweise und entspricht numerisch dem Eulerfall (2)[2]. Weiter fehlen elastisch gebettete Stäbe (z. B. Pfähle) als auch Drehfedermodelle, die in der Realität praktisch immer vorherrschen, da man i. d. R. weder ideale Einspannungen noch ideale Gelenke herstellen kann.

Euler untersuchte das Gleichgewicht der Spannungen an bereits verformten Stäben, dieser Lösungsansatz war für seine Zeit neu und führte zu umfangreichen Erkenntnissen innerhalb der Stabilitätstheorie.

Der Eulerfall (2)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Eulerschen Knickfälle gelten für Stäbe mit konstantem Querschnitt über die ganze Länge. Für jeden dieser Fälle ermittelte er die kritische Druckkraft, bei deren Überschreiten das Knicken eintritt. Hierzu gibt es unterschiedliche Möglichkeiten der Herleitung.[3] Die folgende Herleitung für den sogenannten Eulerfall (2) hat den Vorteil, besonders anschaulich zu sein.[4]

Man geht von einer beliebig kleinen, schon vorhandenen sinusförmigen Verbiegung aus. Mit dem Biegemoment aus der Druckkraft und dem Ausbiegemaximum    kann mit der Differentialgleichung der Elastischen Linie die sich einstellende zusätzliche Ausbiegung   errechnet werden. Diese ergibt ein weiteres zusätzliches Biegemoment und die weitere zusätzliche Ausbiegung  . Der Vorgang wiederholt sich unendlich viele Male. Die Gesamt-Ausbiegung ist

+ ... .

Die jeweils folgende Ausbiegung sei   (mit i≥1) .

Damit folgt

.

Da die jeweils folgende der vorhergehenden Biegung ähnlich ist (sinusförmig), kann geschrieben werden:

= ... ,

und mit  

.

Diese geometrische Reihe konvergiert. Ihr Summenwert ist endlich groß. Mit anderen Worten: Wenn   ,  hat die Endausbiegung    einen endlichen Wert. Bei     knickt der Stab aus.

  wird Knickbedingung genannt.

Die kritische Druckkraft    bzw. die Eulerkraft errechnet sich wie folgt:

Gleichung für angenommene anfängliche Biegelinie:

  (: Stablänge).

Differentialgleichung für :

  (: Elastizitätsmodul; : axiales Flächenträgheitsmoment des Querschnittes)

Nach zweimaliger Integration (Randbedingungen , wenn bzw. ) und Einsetzungen:

.
.

Wenn   , dann ist die kritische Druckkraft:

.

Die Eulerfälle (1) und (4)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In diesen beiden Eulerfällen sind die sinusförmig angenommenen Biegelinien andere Ausschnitte einer ganzen Sinuslinie (siehe obige Abbildung), weshalb ihre Gleichungen unmittelbar aus der für den Fall (2) folgen:

(2):   halbe Sinuslinie >> Länge   ,

(1):  viertel Sinuslinie >> Länge   ,      ,
(4):  ganze Sinuslinie >> Länge   ,      .

 wird als Knicklängenbeiwert und    als Knicklänge bezeichnet.

Die anderen kritischen Druckkräfte sind :

(1):
(4):

Der Eulerfall (3)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

.[3]

(3):

Weitere Größen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als weitere Größe wird der Schlankheitsgrad verwendet:

wobei für den Trägheitsradius des Querschnittes steht.

Weiterhin ergibt sich die Knickspannung zu:

Die Funktion ergibt eine Hyperbel zweiten Grades, die so genannte Euler-Hyperbel. Dividiert durch den Elastizitätsmodul ergibt sich die Knickdehnung, eine Größe, die nur von der Geometrie (Länge, Querschnittsform und -größe, Lagerung) abhängig ist.

Nicht elastisches Ausknicken nach Tetmajer[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wassertürme stellen aufgrund der in gefülltem Zustand hohen einwirkenden Last besonders knickgefährdete Strukturen dar. Dieser Wasserturm ist daher zusätzlich mit zwei Versteifungsringen versehen

Bei gedrungenen Stäben schließt sich unterhalb eines Grenzschlankheitsgrades ein Bereich des Knickens an, der nicht mehr alleine durch die Elastizität des Materiales gekennzeichnet ist. Für einen Baustahl mit der Bezeichnung S235JR (S235JRG2 – alte Bezeichnung: St37) liegt die Grenze für bei 105. Für andere Werkstoffe werden ähnliche Grenzwerte angegeben.

Die Grenzschlankheit lässt sich auch berechnen. Sie ergibt sich zu:

,

wenn die Proportionalgrenze des Werkstoffes des gedrückten Stabes ist.

Unterhalb dieses Grenzschlankheitsgrades sind Gleichungen nach Tetmajer gültig. Dies sind Zahlenwertgleichungen, die den Schlankheitsgrad als unabhängige Variable in der Funktion haben. Sie haben folgenden Aufbau:

Die Koeffizienten für die Tetmajer-Gleichung können für die geläufigsten Bauwerkstoffe der folgenden Tabelle entnommen werden:

Werkstoff Koeffizient a Koeffizient b Koeffizient c
Nadelholz 29,3 –0,194 0,000
Gusseisen (Grauguss) 776,0 –12,000 0,053
Baustahl S235JRG2 (St37) 310,0 –1,140 0,000
Baustahl S355J2G3 (St52) 335,0 –0,620 0,000

Ein- oder zweiachsiges Biegeknicken[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien die Stab- bzw. Balkenachse, und die Hauptträgheitsachsen des (nicht verwundenen) Querschnittes. Dann ist – wenn die Randbedingungen es erlauben – ein Ausweichen der Stabachse

  • nur in der xη-Ebene (einachsiges Knicken, im Allgemeinen ist maßgebend) oder
  • nur in der xζ-Ebene (einachsiges Knicken, im Allgemeinen ist maßgebend) oder
  • in beiden Ebenen gleichzeitig (zweiachsiges Knicken)

möglich. Letztere Möglichkeit ist insbesondere dann zu berücksichtigen, wenn Knicklasten für das einachsige Knicken in den beiden Ebenen nicht weit auseinanderliegen. Eine getrennte Behandlung der beiden einachsigen Knickvorgänge ist dann nicht möglich, weil Einflüsse nichtlinearen Materialverhaltens eine Kopplung bewirken. Anzumerken ist, dass für Knicken Krümmungen () (z. B. zufolge Belastung (Biegemoment,Temperaturdifferenzen), Vorverformungen (z. B. Vorverdrehungen , oder Vorverkrümmungen) sowie andere Imperfektionen und Querbelastungen(M,Q,q)) sich maßgeblich auf die Stabilitätsgefährdung auswirken und es deshalb dazu führen kann, dass Träger um die Starke Achse ausknicken (z. B. Sparren eines Dachstuhles).

Knicken unter axialen Massenkräften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Schornstein muss gegen Knicken unter Eigengewicht ausgelegt werden

Das Knicken unter axialen Massenkräften, z. B. dem Eigengewicht oder bei hoher axialer Beschleunigung ist ein Stabilitätsfall, der nicht mit den von Euler oder von Tetmajer überlieferten Lösungsansätzen berechnet werden kann. Die kombinatorische Variation der möglichen Lagerungen ergibt sieben verschiedene Knickfälle[5]. Bei zylindrischen Stäben führen solche Knickprobleme auf Besselsche Differentialgleichungen, deren Lösungen mit Hilfe tabellierter Besselfunktionen numerisch bestimmt werden müssen[6]. Ein klassisches Beispiel für dieses Problem sind die Schornsteine großer Kohlekraftwerke. Die Bestimmung der notwendigen Flächenträgheitsmomente für einen solchen Fall kann mit dem Verfahren von Ritz erfolgen. Heutzutage wird es durch die Finite-Elemente-Methode häufig aus der Praxis verdrängt.

Drillknicken und Biegedrillknicken[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Reines Drillknicken (Verdrillung des Stabes bei unverändert gerader Stabachse) ist im Allgemeinen nicht von praktischem Interesse, weil ein Ausweichen der Stabachse in der Regel bereits bei geringeren Lasten eintritt.

Biegedrillknicken an einem mittig durch eine Einzelkraft belasteten I-Profil:
a) Ansicht (ohne Verformung gezeichnet)
b) Querschnitt in der Nähe des Auflagers
c) infolge Biegedrillknickens verdrehter Querschnitt in Trägermitte

Dagegen ist die Stabilität eines Trägers unter Umständen auch dann durch Biegedrillknicken gefährdet, wenn keine Druckkräfte vorhanden sind. Das Bild zeigt ein Beispiel, eine ältere Bezeichnung für das Versagen eines biegebelasteten Trägers durch Biegedrillknicken ist Kippen.

Der Widerstand gegen Biegedrillknicken wird neben den oben angeführten Einflüssen durch die Verdrehsteifigkeit und durch verdrehungsbehindernde Stützung des Balkens beeinflusst.

Mathematische Modelle des Knickproblems[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Differentialgleichung des Knickproblems kann durch die Formulierung der Gleichgewichtsbedingungen am verformten Stab oder Balken gewonnen werden (Theorie II. Ordnung, siehe Baustatik).

Verformung-Kraft-Verlauf des Knickvorganges bei unterschiedlichen mathematischen Modellen

Wird die Differentialgleichung für einen geraden, unbeschränkt elastischen Stab bei mittiger Lasteintragung linearisiert, so führt das mathematisch auf ein Eigenwertproblem. Beim ersten Eigenwert verzweigt sich die Lösung der Differentialgleichung, die Grenze der Stabilität ist erreicht (schwarze horizontale Linie). Verzichtet man auf die Linearisierung der Differentialgleichung, dann zeigt sich, dass mit rasch wachsender Verformung noch eine (geringe) Laststeigerung erreicht werden kann (gestrichelte schwarze Linie).

Werden die (unvermeidlichen) Imperfektionen (Vorverformungen der Stabachse, Ungleichmäßigkeiten des Werkstoffes, Eigenspannungen, Exzentrizität der Lasteintragung) berücksichtigt, dann entsteht eine inhomogene Differentialgleichung (kein Eigenwertproblem). Die Verformungen nehmen schon vor dem Erreichen der Verzweigungslast stark zu. Die Kurve nähert sich – wenn die Differentialgleichung linearisiert wurde – der Verzweigungslast asymptotisch (rote Kurve). Voraussetzung dafür ist, dass der Werkstoff im rein elastischen Bereich bleibt und die Stäbe schlank sind.

Bei einer Teilplastifizierung des Querschnittes bei gedrungenen Stäben unterhalb der Verzweigungslast kann diese nicht erreicht werden (blaue Kurve).

Knicknachweis bei stabilitätsgefährdeten Stabkonstruktionen aus Stahl[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die seit November 2010 gültige DIN EN 1993-1-1:2010 (Eurocode 3) lässt drei Verfahren zu:

  • Berechnung des Gesamtsystems nach Theorie II. Ordnung, wobei die zu berücksichtigenden Imperfektionen durch die Norm vorgegeben sind oder
  • Teilsysteme des Tragwerks werden mit Vorverkrümmungen und -verdrehungen nach Theorie II. Ordnung nachgewiesen. Außerdem werden der Biegedrillknicknachweis und der Biegeknicknachweis mit dem Ersatzstabverfahren durchgeführt.
  • Anwendung des „Ersatzstabverfahrens“ für die einzelnen Stäbe nach Theorie I. Ordnung. Hier sind die zu berücksichtigenden Imperfektionen implizit im Berechnungsverfahren enthalten.

Das Omega-Verfahren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das -Verfahren wurde von der Deutschen Reichsbahn für die eigenen Stahlbrücken aus Baustahl entwickelt und war in der DIN 4114 festgelegt. Es lieferte einen sehr einfachen Nachweis der Knicksicherheit. In Abhängigkeit vom Schlankheitsgrad wurden die Knickzahlen in zwei Tabellen für die Werkstoffe S235JR+AR (St37) und S355J2+N (St52) aufgetragen. Bei Schlankheitsgraden kleiner als 20 war kein Knicksicherheitsnachweis notwendig; Schlankheitsgrade größer 250 waren unzulässig. Die auch -Zahlen genannten Knickwerte lagen zwischen 1 und 10,55 bei S235JR+AR. Der Sicherheitsnachweis hatte die folgende Form:

Die Wert von entspricht der zulässigen Druckspannung für den entsprechenden Werkstoff im zugehörigen Lastfall. Der große Vorteil des Verfahrens lag in der Tatsache, dass der Knicknachweis auf einen einfachen Spannungsnachweis mit Druckkräften reduziert wurde. In den -Zahlen waren Knicksicherheiten von 1,3 bis 1,5 eingearbeitet.

Für den Fall, dass keine Tafel der -Zahlen zur Verfügung steht, können für den Werkstoff S235JR+AR (St37) die -Zahlen näherungsweise nach der folgenden Formel bestimmt werden:

Das Verfahren wurde zwischenzeitlich durch andere und genauere Verfahren ersetzt, besitzt aber durch seine Anschaulichkeit noch eine gewisse Bedeutung in der Ausbildung von Ingenieuren.

Lebende knickgefährdete Strukturen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Halme der Rasenschmiele als durch das Eigengewicht knickgefährdete lebende Struktur

In der Biologie gibt es eine große Anzahl knickgefährdeter Strukturen. Zu ihnen gehören die Sprossachsen der Gräser und die Röhrenknochen der Wirbeltiere. An beiden Beispielen ist gut zu erkennen, worin der beste Schutz gegen ein Versagen durch diesen Stabilitätsausfall besteht: Beide Strukturen sind rohrähnlich mit dünner Wandstärke im Vergleich zum Durchmesser. Die Begründung dazu liefert die Formel zur Eulerschen Knickkraft:

  • Der Elastizitätsmodul ist vom natürlichen Werkstoff der Struktur abhängig,
  • Die Länge ist von der Längsausdehnung/Höhe abhängig,
  • Der Knicklängenbeiwert ist von ihrer Lagerung insbesondere an ihren Rändern abhängig.

Alle drei Werte können wegen dieser Abhängigkeiten kaum optimiert werden. Als letzte Größe bleibt das Flächenträgheitsmoment , und das wird bei einem kreisringförmigen Querschnitt maximal bei gegebenem Materialaufwand. Hinzu kommt, dass ein Rohrquerschnitt in allen Achsen das gleiche Flächenträgheitsmoment besitzt und somit (gleiche -Werte vorausgesetzt) für symmetrische Beanspruchungen (was in der Realität aufgrund von Imperfektionen wie Schiefstellungen nie der Fall ist) in allen Richtungen ein gleiches Knickverhalten hat. Weiterhin bietet dieser Querschnitt einen optimalen Widerstand gegen ein Versagen durch Biegen und Torsion.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. maschinenbau-wissen.de Beispiel für die geringe kritische Knickspannung von 3,24 N/mm2 beim Versagen eines Stabes aus Stahl (E = 2,1·105 N/mm2) mit Durchmesser 5mm und Länge 500mm (Eulerscher Knickfall (1)). Die Zugfestigkeit von einfachem Baustahl (ST37) ist mindestens das 100-fache davon.
  2. Kunz, Johannes: Druckbelastungsgrenzen von Stäben geringer Schlankheitsgrade. In: Konstruktion 60(2008)4, S. 94–98
  3. a b August Föppl: Vorlesungen über Technische Mechanik - dritter Band: Festigkeitslehre, Verlag Oldenbourg, 1944, zehnter Abschnitt
  4. Fritz Stüssi: Baustatik I, Birkhäuser, 1971, Seite 324
  5. Kunz, Johannes: Knicken unter der Wirkung axialer Massenkräfte. In: Kunststoffe 102(2012)9, S. 86–89
  6. Willers, F. A.: Das Knicken schwerer Gestänge. In: Z. angew. Math. Mech. 21(1941)1, S. 43–51.