Koch-Kurve

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Kochsche Schneeflocke, Konstruktion.

Die Koch-Kurve oder kochsche Kurve ist ein von dem schwedischen Mathematiker Helge von Koch 1904 vorgestelltes Beispiel für eine überall stetige, aber nirgends differenzierbare Kurve. Es handelt sich bei ihr ferner um eines der ersten formal beschriebenen fraktalen Objekte. Die Koch-Kurve ist eines der am häufigsten zitierten Beispiele für ein Fraktal und wurde bei der Entdeckung als Monsterkurve bezeichnet. Die Koch-Kurve ist auch in Form der kochschen Schneeflocke bekannt, die durch geeignete Kombination dreier Koch-Kurven entsteht.

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man kann die Kurve anschaulich mittels eines iterativen Prozesses konstruieren (s. Lindenmayer-System). Zu Beginn besteht die Kurve aus einem einzigen Streckenstück. Die Iteration besteht nun darin, dass dieser Streckenabschnitt durch einen anderen, aus vier gleich langen Strecken bestehenden Streckenabschnitt ersetzt wird, der wie folgt aufgebaut ist: Strecke – 60°-Winkel – Strecke – 120°-Winkel (in der Gegenrichtung) – Strecke – 60°-Winkel – Strecke. Jeder der vier neuen Streckenabschnitte hat 1/3 der Länge des ursprünglichen Streckenabschnitts. Im nächsten Schritt wird jeder der vier Streckenabschnitte durch einen Streckenabschnitt der oberen Art ersetzt.

Iteration einer Koch-Kurve

Diese Iteration wird nun beliebig oft wiederholt, wobei die Dreiecke stets zur selben Seite der Kurve hin zu errichten sind. Auf diese Weise ergibt sich eine Folge von Streckenzügen, die gegen die Koch-Kurve strebt.

Graphische Darstellung der Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die ersten drei Iterationen der Konstruktion How to make Koch curve.svg

Nach fünf Iterationen:

Kochkurve.png

Dieses Konstruktionsprinzip, bei dem iterativ jede Teilstrecke durch einen Streckenzug ersetzt wird, lässt sich auch für die Erzeugung anderer fraktaler Kurven verwenden. So wird es beispielsweise bei der Drachenkurve eingesetzt.

Das Konstruktionsprinzip ist eng verwandt mit dem der Erzeugung der Cantor-Menge, welche man erhält, wenn man das mittlere Drittel der Strecke nicht ersetzt, sondern entfernt.

Lindenmayer-System[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Koch-Kurve lässt sich durch ein Lindenmayer-System mit folgenden Eigenschaften beschreiben:

  • Winkel: 60°
  • Startstring:
  • Ableitungsregeln:

Definition des Grenzwerts[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Grenzwert dieser Iteration (z. B. als IFS-Fraktal), die eigentliche Koch-Kurve, ist in gewissem Sinne unendlich fein strukturiert und kann daher nur näherungsweise graphisch dargestellt werden. In diesem Fall lässt sich der Grenzwert einfach wie folgt definieren:

Zum Grenzwert der Iteration gehören diejenigen Punkte, die von irgendeinem Iterationsschritt an in allen folgenden Iterationen enthalten sind, sowie alle Häufungspunkte der so gebildeten Punktmenge.

Der linke Endpunkt des anfänglichen Streckenstücks ist beispielsweise in jeder Iteration enthalten und gehört damit zur Kochkurve. Der Mittelpunkt des anfänglichen Streckenstücks hingegen ist schon ab der ersten Iteration nicht mehr enthalten. Eine andere (gleichbedeutende) Grenzwertdefinition ist weiter unten durch die Parameterdarstellung gegeben.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eigenschaften aus der fraktalen Geometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Koch-Kurve ist nach ihrer Konstruktionsvorschrift streng selbstähnlich, das heißt, es erscheinen bei beliebiger Vergrößerung immer wieder die gleichen Strukturen. Sie hat eine Hausdorff-Dimension von

Länge und Flächeninhalt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Länge der Kurve ist unbegrenzt, da der Streckenzug bei jedem Iterationsschritt um den Faktor 4/3 länger wird. Nach dem -ten Iterationsschritt ist die Kurvenlänge also auf das -fache angewachsen.

Die (oben grün eingefärbte) Fläche „unterhalb“ der Kurve ist hingegen begrenzt. Wenn das Dreieck unterhalb der ersten Iteration den Flächeninhalt 1 hat, kommt bei der zweiten Iteration an jeder der 4 Strecken ein Dreieck mit Flächeninhalt 1/9 hinzu, und bei der -ten Iteration kommt ein Flächeninhalt von hinzu. Der gesamte Flächeninhalt berechnet sich demnach als geometrische Reihe zu

.

Stetigkeit und Differenzierbarkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Kurve ist überall stetig, aber nirgends differenzierbar.

Zur Untersuchung dieser Eigenschaften betrachtet man die Parameterdarstellung der -ten Iteration und deren Grenzfunktion . Wenn man als Zeitpunkt auffasst, ist derjenige Punkt auf dem Streckenzug nach der -ten Iteration, den man zum Zeitpunkt erreicht, wenn man den Streckenzug mit konstanter Geschwindigkeit (allerdings mit abrupten Richtungsänderungen) vom linken zum rechten Endpunkt durchläuft. Die Funktionen sind alle stetig und konvergieren punktweise gegen die Grenzfunktion .

Stellt man den Zeitpunkt in einer Entwicklung zur Basis 4 dar, d.h. mit den Ziffern 0,1,2,3, dann gibt die erste Nachkommastelle den Abschnitt des ersten Konstruktionsschrittes an, auf welchem sich befindet, die zweite den Unterabschnitt auf diesem im zweiten Konstruktionsschritt usw. Dadurch kann man mit den ersten Nachkommastellen ein Gebiet der Größenordnung konstruieren, in welchem sich alle nachfolgenden Punkte aufhalten müssen. Aus dieser Eigenschaft folgt, dass die Funktionen sogar gleichmäßig gegen konvergieren. Nach einem Satz der Analysis ist als „gleichmäßiger Limes stetiger Funktionen“ dann ebenfalls stetig.

In jedem noch so kleinen Abschnitt der Kurve finden sich nach der Konstruktion Teilstücke, die eine Richtung für jedes haben. Daher kann man zu keinem Punkt der Kurve eine Tangente konstruieren, d.h. die Kurve ist nirgends differenzierbar.

Kochsche Schneeflocke[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kochsche Schneeflocke, Animation.
Kochsche Schneeflocke

Beginnt man den Ersetzungsprozess der Koch-Kurve nicht mit einer Strecke, sondern mit einem gleichseitigen Dreieck, dann erhält man die kochsche Schneeflocke. Sie besteht aus drei Koch-Kurven und schließt trotz ihrer unendlichen Länge nur einen Bereich mit endlicher Fläche ein. Die Kochsche Schneeflocke ist im Gegensatz zur Koch-Kurve nicht selbstähnlich.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Erstveröffentlichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Helge von Koch: Une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géometrique élémentaire. Arkiv för Matematik 1 (1904) 681-704.
  • Helge von Koch: Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courbes planes. Acta Mathematica 30 (1906) 145-174.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Koch-Kurve – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien
 Commons: Koch-Schneeflocke – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien