Moment (Integration)

Als Moment werden in der Mathematik, Naturwissenschaften und Technik zusammenfassend Objekte oder Größen bezeichnet, die sich als Lebesgue-Integral über die Potenz einer Integrationsvariablen schreiben lassen. Die Potenz $n$ ist dabei eine natürliche Zahl und wird Ordnung oder Grad des Momentes $m$ genannt.

$m_{n}=\int _{\mathbb {R}}x^{n}\mathrm {d} \mu (x)$

Die Variable $x$ lässt sich als Abweichung oder Abstand interpretieren und kann anstatt aus ${\mathbb {R}}$ auch aus ${\mathbb {R}}^{d}$ oder ${\mathbb {C}}$ gewählt werden.

Momente verschiedener Art spielen wichtige Rollen in der Stochastik, technischen Mechanik und Bildverarbeitung. Ist $x$ beispielsweise eine Zufallsvariable, so erhält man als erstes Moment über das Wahrscheinlichkeitsmaß $\mu$ den Erwartungswert und als zweites Moment die Varianz einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Ist $x$ dagegen der Abstand zu einer Rotationsachse und $\mu$ eine Massenverteilung, so entspricht das erste Moment dem statischen Moment und das zweite dem Trägheitsmoment eines starren Körpers.

Die Aufgabe, aus vorgegebenen Momenten $m_{n}$ eine Verteilungsfunktion $\mu$ zu ermitteln, heißt Momentenproblem.

Formen und Ausprägungen

Kontinuierliche und diskrete Verteilungen

Besitzt $\mu$ eine Radon-Nikodým-Dichte $\rho$ bezüglich des Lebesgue-Maßes, so lässt sich das Integral schreiben als

$m_{n}=\int _{\mathbb {R}}x^{n}\rho (x)\,\mathrm {d} x$,

wobei die Dichtefunktion $\rho$ eine Distribution ist. Wenn die Dichte keine kontinuierliche Verteilung ist, sondern nur diskrete Werte $\alpha _{i}$ annimmt, wird das Integral zu einer Summe. Dann lässt sich $\rho$ durch Delta-Distributionen ausdrücken:

$\rho (x)=\sum _{i}\alpha _{i}\delta (x-x_{i})$.

Wenn man beispielsweise den Schwerpunkt von Massenpunkten ausrechnen möchte, dann ist $x_{i}$ der Abstand und $\alpha _{i}$ die Masse der i-ten Punktmasse. Das n-te Moment wird dann einfach durch die Summe über die n-ten Momente der einzelnen Massenpunkte gewonnen.

$m_{n}=\sum _{i}x_{i}^{n}\alpha _{i}$

Momente als Kreuzprodukt

Vektorielle Berechnung eines Moments. Die Richtung des Moments zeigt senkrecht aus der Papierebene heraus.

In der Physik lassen sich viele Momente als dreidimensionale Vektoren ${\vec {r}}$ darstellen. Wählt man ein kartesisches Koordinatensystem, so ist bei einer solchen Konstruktion das Moment in z-Richtung durch den Abstand in x-Richtung und die „Dichte“ in y-Richtung gegeben. Eine solche Größe ist beispielsweise das Drehmoment ($\rho$ ist die Kraft-Verteilung) oder das magnetische Moment ($\rho$ ist die Stromdichte-Verteilung). Möchte man das Moment als Vektor berechnen, lässt sich dies daher durch das Kreuzprodukt ${\vec {r}}\times {\vec {\rho }}$ ausdrücken. Das Gesamtmoment erster Ordnung ergibt sich dann zu:

${\vec {m}}_{1}=\int {\vec {r}}\times {\vec {\rho }}({\vec {r}})\,\mathrm {d} ^{3}r$

Momente höherer Ordnung in mehreren Dimensionen

Bei Momenten höherer Ordnung müssen die Komponenten in Richtung der Basisvektoren einzeln potenziert werden. So ergibt sich in zwei Dimensionen für das Moment p+q-ter Ordnung:

$m_{p+q}=\int x^{p}y^{q}\mathrm {d} \mu (x,y)$

Ein solches Moment ist somit abhängig von der Wahl der Basis sowie sowie den einzelnen Potenzen p und q. Beispielsweise bei der Berechnung von Flächenmomenten ($\rho =1$) werden in kartesischen Koordinaten axiale und gemischte Momente unterschieden. Bei axialen Momenten sind die Potenzen bis auf eine Richtung Null (z.B. p=2, q=0). Bei gemischten Momenten, auch Kreuz- oder Verbundmomente genannt, tragen Faktoren unterschiedlicher Richtungen bei (z.B. p=1, q=1). Gemischte Momente sind die Deviationsmomente eines Trägheitstensors oder die Kovarianz von Zufallsvariablen.

Bei den polaren Momenten werden nicht Achsabstände, sondern der Abstand $r$ zum Ursprung, also die Radialkomponente in Polarkoordinaten potenziert.

Zentrierte Momente

Wird der Ursprung so verschoben, dass das erste Moment Null ist, so wird ein Moment zentral oder zentriert genannt. Das n-te zentrierte Moment berechnet sich daher durch

$m_{n}=\int (x-m_{1})^{n}\mathrm {d} \mu (x)$

Trigonometrische Momente

Hat $\mu$ lediglich eine Winkelabhängigkeit, so lässt sich ein trigonometrisches Moment definieren. Dazu wählt man $x=e^{\mathrm {i} \theta }$ aus den komplexen Zahlen und erhält

$m_{n}=\int _{0}^{2\pi }e^{\mathrm {i} \theta n}\mathrm {d} \mu (\theta )$

Momentenproblem

Das Momentenproblem ist ein klassisches Problem der Analysis. Statt aus einer Verteilung die Momente zu berechnen, sollen aus einer gegebenen Folge von Momenten $(m_{n})$ Rückschlüsse auf eine mögliche Verteilung $\mu$ gezogen werden. Die Bezeichnung Momentenproblem wurde von Thomas Jean Stieltjes eingeführt, der das Problem 1894 erstmals ausführlich untersuchte und dabei die Bezeichnungen und Konzepte aus der Mechanik übernahm.

Je nach Träger der Verteilung, also das Komplement, das übrigbleibt, wenn man alle Nullmengen entfernt, werden unterschiedliche Varianten des Momentenproblems unterschieden: Beim Hamburger Momentenproblem ist der Träger die gesamte reelle Achse (-∞,∞), beim Stieltjes Momentenproblem die Halbachse [0,∞) und beim Hausdorf Momentenproblem ein beschränktes Intervall o.B.d.A. [0,1]. Eine weitere Variante ist das trigonometrische Momentenproblem, bei dem die Verteilung auf einem Einheitskreis in Abhängigkeit vom Winkel, also ein trigonometrisches Moment gesucht wird.

Ist die Folge von Momenten beschränkt, wird das Problem (engl.) truncated genannt, ist sie unbeschränkt so heißt das Problem (engl.) infinite.

Momente in der Mechanik

Das Kraft- oder Drehmoment

Das Drehmoment ist das Produkt aus Kraft und Hebelarm. Es ist das in der Technik am häufigsten vorkommende Moment. Das Wort Moment wird daher Vielfach als Abkürzung oder als Synonym für Drehmoment gebraucht. Für spezielle Drehmomente werden zusammengesetzte Begriffe mit Namensteil -moment, aber ohne Dreh- gebraucht. Beispiele sind:

• Antriebsmoment,
• Lastmoment,
• Biegemoment und
• Torsionsmoment.

Wirken mehrere Kräfte, so lassen sich zu einem Drehmoment oder einer resultierenden Kraft mit resultierendem Hebelarm zusammenfassen. Auch linear (Linienkraft) oder flächig (Flächendruck) verteilte Kräfte lassen sich so zusammenfassen.

Flächenmoment

Ebenfalls häufig verwendete Momente sind die Flächenmomente. Um ein Flächenmoment der Fläche $A\subset {\mathbb {R}}^{2}$ zu bestimmen, wählt man für $\rho$ die charakteristische Funktion der Fläche

$\rho \colon {\mathbb {R}}^{2}\to \{0,1\},\ r\mapsto {\begin{cases}1,&{\text{falls }}r\in A\\0,&{\text{sonst}}\end{cases}}$

Das nullte Flächenmoment ist der Flächeninhalt. Setzt man ihn auf eins, erhält man als erstes Flächenmoment den Schwerpunkt der Fläche. Das zentrierte Flächenmoment zweiten Grades ist das Flächenträgheitsmoment, das als Kenngröße für Querschnitte von Balken bei deren Festigkeits- und Verformungsberechnung dient.

Das Dreieck in der xy-Ebene

Als Beispiel wird ein Dreieck in der xy-Koordinatenebene betrachtet, das durch die Geraden x=4,y=0 und x=y begrenzt ist. Der Flächeninhalt ist

$m_{0,0}=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} y\;x^{0}y^{0}\rho (x,y)=\int _{0}^{4}\mathrm {d} x\int _{0}^{\frac {x}{2}}\mathrm {d} y=4$

Die x-Koordinate des Schwerpunkts ist

$S_{x}={\frac {m_{1,0}}{m_{0,0}}}={\frac {1}{4}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} y\;x^{1}y^{0}\rho (x,y)={\frac {1}{4}}\int _{0}^{4}\mathrm {d} x\int _{0}^{\frac {x}{2}}\mathrm {d} y\;x={\frac {8}{3}}$

Das axiale Flächenträgheitsmoment um die y-Achse berechnet sich aus dem Quadrat des x-Abstandes zum Schwerpunkt:

$I_{y}=m_{2,0\;\mathrm {zentr.} }=\int _{0}^{4}\mathrm {d} x\int _{0}^{\frac {x}{2}}\mathrm {d} y\;(x-S_{x})^{2}={\frac {32}{9}}$

Massenträgheitsmoment

Zylinder

Das (Massen-) Trägheitsmoment $J$ eines Körpers ist auf eine bestimmte Rotationsachse bezogen. Es gibt an, wie stark sich der Körper einer Drehbeschleunigung widersetzt. Das Trägheitsmoment ist ein Moment zweiten Gerades in Zylinderkoordinaten, bei dem der Abstand zur Rotationsachse $r$ quadriert wird. Es berechnet sich durch Integration über eine Massenverteilung $\mathrm {d} \mu =\rho \ \mathrm {d} V$, wobei $\rho$ die Dichte (Masse pro Volumen) des Volumenelementes $\mathrm {d} V$ ist.

Als Beispiel wird ein homogener Zylinder mit konstanter Dichte $\rho _{0}$, Durchmesser $R$ und Höhe $h$ betrachtet. Das Trägheitsmoment dieses Zylinders für eine Rotation um die z-Achse ist dann gegeben durch das Integral:

$J=\int _{{\mathbb {R}}^{3}}\mathrm {d} V\;r^{2}\rho (r,\phi ,z)=\rho _{0}\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \phi \int _{0}^{h}\mathrm {d} z\int _{0}^{R}\mathrm {d} r\;r^{3}={\frac {\rho _{0}\pi hR^{4}}{2}}$