Bahngeschwindigkeit (Astronomie)

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In der Himmelsmechanik bezeichnet Bahngeschwindigkeit die Geschwindigkeit, mit der sich ein astronomisches Objekt bewegt. Bei Umlaufbahnen spricht man auch von Orbitalgeschwindigkeit oder Umlaufgeschwindigkeit.

Bahngeschwindigkeit der idealen Keplerbahn[Bearbeiten]

Begegnet ein kleiner Körper im All einem großen, so ist die Bahnkurve aufgrund ihrer Schwerkraftwirkung jeweils – im idealisierten Fall – eine Keplerbahn (Ellipse, Hyperbel oder Parabel). Aufgrund der Energieerhaltung ist die Bahngeschwindigkeit nicht konstant, sondern nimmt zu, wenn der Abstand zwischen den Körpern kleiner wird. Johannes Kepler entdeckte, dass zwar Abstand und Bahngeschwindigkeit variieren, aber der Fahrstrahl (die Verbindungslinie zwischen Gravizentrum und umlaufendem Körper) in gleicher Zeit die gleiche Fläche überstreicht (Zweites Keplergesetz, Konstanz der Flächengeschwindigkeit). Seine Lösung gilt nur für das Zweikörperproblem (Keplerproblem) selbst, die Einschränkung eines masselosen umlaufenden Körpers und nur als nicht-relativistische Näherung. Außerdem gibt sie immer die Relativgeschwindigkeit bezüglich des Gravizentrums, nie eine absolute Geschwindigkeit an.[1]

Für den Spezialfall eines kreisförmigen Orbits bringt die Anziehungskraft zwischen den Himmelskörpern jeweils gerade die für die Kreisbahn notwendige Zentripetalkraft auf, wodurch die Geschwindigkeit festgelegt (und betragsmäßig konstant) ist.

Die Strecke entlang der Keplerbahn, die für den direkten Weg-Zeit-Zusammenhang (Geschwindigkeit = Weg je Zeit v=s/t) gebraucht wird, besitzt nur in Spezialfällen eine analytische Lösung. Durch Betrachtung von kinetischer und potentieller Energie gelingt die Herleitung der Vis-Viva-Gleichung.
Sie stellt eine Verbindung zwischen der Masse M des Zentralkörpers, der Gravitationskonstante G, der großen Halbachse a der Umlaufellipse, der Entfernung r des umlaufenden Körpers und der Geschwindigkeit v dieses Körpers her:

v = \sqrt { GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right) }

Diese Gleichung gilt für alle Kegelschnitte, geschlossene Bahnen (Umlaufbahnen) ebenso wie offene (parabolische und hyperbolische Bahnen, einmalige Begegnungen zweier Körper).

Für die Kreisbahn und die Parabelbahn im Scheitel gelten laut Vis-Viva-Gleichung die Spezialfälle:

v_\text{K} = \sqrt \frac{GM}{r}  1. kosmische Geschwindigkeit
v_\text{P} = \sqrt \frac{2GM}{r}  Fluchtgeschwindigkeit, 2. kosmische Geschwindigkeit

Unterhalb, zwischen und oberhalb dieser beiden Grenzfälle liegen Spiral- und hyperbolische Bahnen (Sturz auf und Verlassen eines Himmelskörpers beziehungsweise Passagen). Die Ellipsenbahnen sind die energetisch stabilen Bahnen der 1. kosmischen Geschwindigkeit, entsprechen dahingehend also der Kreisbahn, und sind so gesehen nur geometrische Sonderfälle derselben.

Für einen massebehafteten umlaufenden Körper (Masse m) gilt:

v = \sqrt {G(M + m) \left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)}

Für die beiden Hauptscheitel der Ellipse gibt es aber auch analytische Lösungen, die sich allein mithilfe der Ellipsengeometrie berechnen lassen und ohne die Gravitationsparameter auskommen:[2]

\omega_\mathrm{pz} = \omega_\mathrm{m} \sqrt { a^2 (a + e) / (a - e) ^3 }  Winkelgeschwindigkeit im Perizentrum (gravizentrumsnächster Punkt)
\omega_\mathrm{az} = \omega_\mathrm{m} \sqrt { a^2 (a - e) / (a + e) ^3 }  Winkelgeschwindigkeit im Apozentrum (gravizentrumsfernster Punkt)
ωm:  mittlere Winkelgeschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit eines Körpers auf einer umlaufperiodengleichen Kreisbahn = mittlere Anomalie (nach Kepler) \omega_\mathrm{m} = 2 \pi / T
T:  Umlaufdauer
a:  große Halbachse
e:  lineare Exzentrizität

Weil sich der Radiusvektor in den Scheiteln differentiell kaum ändert, gilt:

v_\mathrm{pz} = \omega_\mathrm{pz} (a - e) = \frac {2 \pi}{ T } a \sqrt { \frac {a + e}{a - e} }  Perizentrumsgeschwindigkeit
v_\mathrm{az} = \omega_\mathrm{az} (a + e) = \frac {2 \pi}{ T } a \sqrt { \frac {a - e}{a + e} }  Apozentrumsgeschwindigkeit

Die Perizentrumsgeschwindigkeit ist die maximale, die Apozentrumsgeschwindigkeit die minimale Bahngeschwindigkeit.

Mittlere Orbitalgeschwindigkeit[Bearbeiten]

Die mittlere Orbitalgeschwindigkeit ergibt sich schlicht aus dem Zusammenhang Weg pro Zeit. Nun ist der Umfang der Ellipse aber nicht analytisch bestimmbar (U = 4a \, E(e), mit einem elliptischen Integral abhängig von der Exzentrizität). Für Kreisbahnen oder kreisähnliche Bahnen (e klein und m deutlich kleiner M) kann die 1. oder 2. kosmische Geschwindigkeit mit a=r verwendet werden:

\bar{v} = \frac{2 \pi a}{T} = \sqrt \frac{GM}{a} = v_\text{K} \qquad \text{oder} \qquad \bar{v} = \frac{v_\text{P}}{\sqrt {2}}

Eine erste Näherung unter Berücksichtigung der numerischen Exzentrizität lautet

\bar{v} \approx \frac{\pi}{T} \cdot a \left(1 + \sqrt{1 - e^2}\right)

Für eine Rechnung mit a in Astronomischen Einheiten und T in Tagen ergibt sich ein Umrechnungsfaktor AU·d zu km·s von 5439,5 (π miteingerechnet): \bar{v} \approx 5439,5\cdot\frac{1}{T} a \left(1 + \sqrt{1 - e^2}\right)

Die Reihenentwicklung lautet

 \bar{v} \approx \frac{2\pi}{T} a \left[1-\frac{1}{4}e^2-\frac{3}{64}e^4 -\frac{5}{256}e^6 -\frac{175}{16384}e^8 - \dots \right]  [3]

Mit zunehmender Exzentrizität e sinkt die mittlere Bahngeschwindigkeit. Hier geht die Exzentrizität aber maximal quadratisch ein, kann also bei kleinen Exzentrizitäten schnell vernachlässigt werden.

Möglich ist auch ein einfacher Mittelwert von Peri- und Apozentrumsgeschwindigkeit:

\bar{v} \approx  \frac{1}{2} (v_\mathrm{pz} + v_\mathrm{az} ) = \frac{2\pi}{T} \frac{a^2}{\sqrt{a^2 - e^2}}

Diese Näherung widerspricht jedoch der ersten, denn mit zunehmender Exzentrizität e wächst die mittlere Bahngeschwindigkeit.

Orbitalgeschwindigkeiten künstlicher Erdsatelliten[Bearbeiten]

Die Bahngeschwindigkeiten bei Satelliten, die nahezu kreisförmige Bahnen haben, beträgt, je nach Orbit-Klasse:

  • auf Low Earth Orbits (LEO) bei 200 km Flughöhe etwa 7 km/s (25.000 km/h)
  • auf geostationärem Orbit (GEO, 42.164 km Bahnradius, 35.786 km über Äquator) etwa 3 km/s (11.000 km/h)

Typische Trägerraketensysteme leisten eine Antriebskapazität \Delta v von 7–11 km/s.[4] Die Brenndauer des Systems ist ganz von der Technik, also dem Schub (Beschleunigung) abhängig, um dann insgesamt die nötige Geschwindigkeit (1. kosmische Geschwindigkeit der Erde) für eine stabile Bahn zu erreichen. Das gilt auch für die folgenden Antriebssysteme.

Im Unterschied zum keplerschen Idealfall sind Satelliten besonders bei niedrigeren Orbits einer deutliche Bremskraft durch Reibung in der Atmosphäre unterworfen, der sie immer langsamer macht (und sie daher auf die Erde zurückfallen lässt): Es müssen regelmäßig Bahnkorrekturen vorgenommen werden. Deshalb muss jeder Satellit mit Antriebssystemen ausgestattet sein, und sein Brennstoffvorrat begrenzt seine Lebensdauer. Daher wird auch standardmäßig für Satelliten (dabei wird die mittlere Winkelgeschwindigkeit als Satellitenbahnelement Mittlere Bewegung n genannt) zumindest ein siebentes Bahnelement, etwa die Bremswirkung \dot{n}/2 (als Änderung der mittleren Bewegung, Sinkrate je Zeiteinheit), oder B^{*} (auf Basis des ballistischen Koeffizienten B) angeben, über den sich der Geschwindigkeitsverlust berechnen lässt.
Typische Bahnkorrektursysteme leisten eine Antriebskapazität von 10–600 m/s,[4] also ein 10.000stel bis 10tel der Trägerrakete, je nach Flughöhe der Mission.

Daneben gibt es zahlreiche andere Störgrößen, die weitere Bahnkorrekturen erfordern. Diese werden als Lageregelung zusammengefasst, solche Systeme leisten um die 20 m/s.[4][5] Dabei sind – bei einem geostationären Satelliten – für den Gravitationseinfluss von Erde und Mond 40–51 m/s pro Jahr notwendig, für den Strahlungsdruck der Sonne (Sonnenwind) bis zu 30 m/s pro Jahr, die sonstigen Störungen bleiben im einstelligen Bereich.[5]

Bei manchen Missionen wird auch eine explizite Bahnänderung notwendig, wofür Systeme mit 1 bis einige km/s Antriebskapazität notwendig sind. Triebwerke für diese Aufgabe werden nicht wie Bahnkorrektur- und Lageregelungssysteme zu den Sekundär-, sondern wie die Trägersysteme zu den Primärsystemen gerechnet.[4]

Bahngeschwindigkeiten von Kleinkörpern und Raumfahrtmissionen[Bearbeiten]

Unter Kleinkörpern fasst man Asteroiden, Kometen und Meteoroiden zusammen. Die meisten Asteroiden folgen als reguläre Sonnensystemobjekte planetenähnlichen kreisartigen Bahnen, daneben gibt es aber zahlreiche irreguläre Objekte auf stark exzentrischen Ellipsen und aperiodische Objekte auf hyperbolischen Bahnen. Auf Grund der Größe sind viele unentdeckt, und eine genaue Bahnbestimmung ist bei einmaliger Beobachtung oft nicht möglich.

Eine entscheidende Größe für die Herkunft dieser Körper ist die Fluchtgeschwindigkeit der Sonne (beziehungsweise der Gesamtmasse des Sonnensystems). Diese liegt – auf Höhe der Erdbahn – bei 42 km/s, also etwa 150.000 km/h (Dritte kosmische Geschwindigkeit), bis zur Sonnenoberfläche wächst sie auf 620 km/s (2,2 Mio. km/h) an. Alle Objekte, die schneller sind, verlassen das Sonnensystem, entweder durch eine enorme Bahnstörung, oder sie sind tatsächlich extrasolarer Herkunft. Die Fluchtgeschwindigkeit nimmt – nach eingangs genannten Formeln – mit \sqrt r als der Entfernung zur Sonne ab: So reicht den Voyager-Sonden, die inzwischen weit hinter der Saturnbahn sind, eine Geschwindigkeit, die kleiner ist als die Umlaufgeschwindigkeit der Erde um die Sonne, um das Sonnensystem zu verlassen: Tatsächlich nimmt die Entfernung Erde–Voyager-Sonden zeitweise ab, wenn die Erde sich in Richtung ihrer Flugbahn bewegt.[6] Dafür ist aber ein eigener Antrieb notwendig, oder ein Geschwindigkeitsgewinn sonnensystemauswärts, wie er durch Swing-by-Manöver erreicht werden kann (die Voyagers wurden durch den Swing-by am Saturn um rund 18 km/s beschleunigt), oder eben einen ausnehmend starken Anprall eines anderen Körpers.

Bei Erdbahnkreuzern, einschließlich Meteoren und Meteorströmen (Sternschnuppenschwärmen), gibt man abweichend zum bisherigen, nicht eine baryzentrische Geschwindigkeit, sondern die viel relevantere Relativgeschwindigkeit zur Erde an. Je nach Eintreffwinkel zur Erdbahn haben diese Objekte Geschwindigkeiten zwischen 11,2 (Nachläufer) bis 72 km/s (Frontaltreffer).

Beispiele[Bearbeiten]

  • Mittlere Bahngeschwindigkeit der Erde (um die Sonne/Baryzentrum des Sonnensystems): v \approx 29{,}780\ \mathrm{km}/\mathrm{s} \approx 107\,000\,\mathrm{km}/\mathrm{h}\ \pm 1{,}7 %\ \text{annual}
    zum Vergleich: Rotationsgeschwindigkeit an der Erdoberfläche am Äquator (zum Erdmittelpunkt):[7] v_\text{Beobachter} \approx 460\ \mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 1\,770\ \mathrm{km}/\mathrm{h} – Geschwindigkeit des Beobachters am Äquator um die Sonne, also dieselbe wie die Erde ± 1,7 % diurnal (täglich)
  • mittlere Bahngeschwindigkeit des Mondes (um den Erde-Mond-Schwerpunkt): v \approx 1020\ \mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 3670\ \mathrm{km}/\mathrm{h}\ \pm 5{,}5 %\ \text{mensal}
    Zum Vergleich: Umlaufgeschwindigkeit um die Sonne: dieselbe wie die Erde ± 3,4 % mensal (monatlich)
  • Bahngeschwindigkeit der ISS (um die Erde):v \approx 7\,770 \mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 28\,000\ \mathrm{km}/\mathrm{h}
    zum Vergleich: Relativgeschwindigkeit (zum Beobachter auf der Erdoberfläche):[8] v_\text{Boden} \approx 7\,500 \mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 27\,000\ \mathrm{km}/\mathrm{h}
  • Bahngeschwindigkeit der „Voyager 1“-Sonde (zur Sonne): v \approx 17\,000\ \mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 61\,400\ \mathrm{km}/\mathrm{h}[9]
  • Bahngeschwindigkeit des Kometen Tempel-Tuttle im Perihel (also um die Sonne): v \approx 41\,600\ \mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 150\,000\ \mathrm{km}/\mathrm{h}
    zum Vergleich: Relativgeschwindigkeit der Leoniden, des von ihm erzeugten Meteorstroms, zur Erde: v \approx 71\,000\ \mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 255\,000\ \mathrm{km}/\mathrm{h}  – also 250-fache Schallgeschwindigkeit[10]
  • Bahngeschwindigkeit des Sonnensystems (um das galaktische Zentrum):[11] v \approx 250\,000\ \mathrm{m}/\mathrm{s}  \approx 900\,000\ \mathrm{km}/\mathrm{h}
    zum Vergleich: Bahngeschwindigkeit der Erde um das galaktische Zentrum: dieselbe wie Sonne ± 12 % annual (jährlich)

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. die es nicht gibt: Die Erde umläuft die Sonne, diese das Galaktische Zentrum, die Milchstraße bewegt sich im Mehrkörperproblem der lokalen Gruppe, diese im Gravitationsfeld der Großstrukturen, und das Universum expandiert insgesamt: In der Astronomie gibt es keinen ausgezeichneten Nullpunkt, zu dem man die Geschwindigkeit „absolut“ messen könnte. Der Nullpunkt ist immer problembezogen: im Sonnensystem die Sonne, beziehungsweise das Baryzentrum des Sonnensystems, bei Satellitenproblemen und dem Mond aber die Erde, bei den Jupitermonden der Jupiter, bei Doppelsternen das ferne System. Aussagen über andere als Relativgeschwindigkeiten zum Baryzentrum sind meist relativ belanglos, siehe Geschwindigkeit: Relativgeschwindigkeit in der Astronomie. Eine Ausnahme bilden etwa die Relativgeschwindigkeiten zum Beobachter, also meist der Erde beziehungsweise Erdoberfläche, oder allgemein Zusammentreffgeschwindigkeiten.
  2.  Norbert Treiz: Wie schnell sieht die Sonne einen Planeten wandern?. In: Spektrum der Wissenschaft. 04/09, spektrum Akademischer Verlag, April 2009, Physikalische Unterhaltungen. Sonnensystem (III): Keine Sonnenuhr für den Merkur., S. 36–38 (Kasten S. 37 – mit Herleitung der Formeln über die Energieerhaltung).
  3. Horst Stöcker, John W. Harris: Handbook of Mathematics and Computational Science. Springer, 1998, ISBN 0-387-94746-9, S. 386.
  4. a b c d Ernst Messerschmid, Stefanos Fasoulas: Raumfahrtsysteme: Eine Einführung mit Übungen und Lösungen. 4. Auflage, Verlag Springer DE, 2010, ISBN 978-364212816-5, Abschnitt 7 Antriebssysteme für die Bahn- und Lageregelung, insb. S. 266 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
  5. a b Ausführliche tabellarische Übersicht Messerschmid, Fasoulas: Raumfahrtsysteme. Tabelle 7.3 Erfordernisse der Bahn- und Lageregelung eines dreiachsen-stabilisierten geostationären Satelliten, S. 290 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
  6. Where are the Voyagers?, voyager.jpl.nasa.gov, mit den live-Daten
  7. ein mittlerer Erdumfang von ca. 40.000 km in ca. 24 h; die Geschwindigkeit ist Breitenabhängig vB = cosB · vÄq, B … geographische Breite; am Pol ist sie 0
  8. Berechnung der Erdumkreisungsdauer der ISS. Thread in physikerboard.de, 15. Dez 2008 19:58 ff
    In die Berechnung geht ein, dass die ISS einem Steuerkurs (zum Äquator) von 38,4° folgt.
    Siehe auch Satellitenorbit: Umlaufzeit zur Berechnung.
  9. 3,6 AU/a; Voyager 2: 3,3 AU/a ≈ 15\,600 m/s; Fast Facts: Present Status, voyager.jpl.nasa.gov
  10. grobe Abschätzung, die Machzahl nimmt mit der Temperatur rapide ab. In der Höhe von 80 km, in der Sternschnuppen üblicherweise verglühen, ist sie nicht dieselbe wie am Boden.
  11. siehe Galaktisches Jahr: 220–280 km/s, der Wert ist noch weitgehend unklar.