Kerr-Metrik

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Die Kerr-Metrik ist eine Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen für ungeladene, rotierende schwarze Löcher. Diese Lösung wird nach Roy Kerr benannt, der sie als erster berechnete.[1] Vollständig ausgeschrieben lautet das Linienelement


c^2\mathrm {d \tau  }^2=\left(1-\frac{\frac{2 G M}{c^2}r}{r^2+\left(\frac{J}{M c}\right)^2\mathrm {cos^2}(\theta )}\right)c^2\mathrm {dt}^2 + \frac{\frac{4 G M}{c^2}r \left(\frac{J}{M c}\right)\mathrm {sin^2}(\theta ) }{r^2+\left(\frac{J}{M c}\right)^2\mathrm {cos^2}(\theta )}c\,\mathrm {dt} \mathrm {d \phi }\, -\,\frac{r^2+\left(\frac{J}{M c}\right)^2\mathrm {cos^2}(\theta )}{r^2-\frac{2 G M}{c^2}r+\left(\frac{J}{M c}\right)^2}\mathrm {dr}^2-\left(r^2+\left(\frac{J}{M c}\right)^2\mathrm {cos^2}(\theta )\right)\mathrm {d \theta  }^2-\left(r^2+\left(\frac{J}{M c}\right)^2+\frac{\frac{2 G M}{c^2}r\left(\frac{J}{M c}\right)^2}{r^2+\left(\frac{J}{M c}\right)^2\mathrm {cos^2}(\theta )}\mathrm {sin^2}(\theta )\right)\mathrm {sin^2}(\theta )\mathrm {d \phi  }^2


In der Regel wird das Linienelement in Boyer-Lindquist-Koordinaten verkürzt wie folgt angegeben:



c^2 {d \tau}^2 = 
\left( 1 - \frac{r_{s} r}{\rho^{2}} \right) c^{2} \mathrm dt^{2}
\quad + \quad \frac{2r_{s} r a \sin^{2} \theta }{\rho^{2}} \, c \, \mathrm dt \, \mathrm d\phi 
\quad - \quad \frac{\rho^{2}}{\Lambda^{2}} \mathrm dr^{2} 
\quad - \quad \rho^{2} \mathrm d\theta^{2} 
\quad - \quad \left( r^{2} + a^{2} + \frac{r_{s} r a^{2}}{\rho^{2}} \sin^{2} \theta \right) \sin^{2} \theta \ \mathrm d\phi^{2}

mit den Größen


r_{s} := \frac{2GM}{c^{2}},\quad a := \frac{J}{Mc}, \quad \rho^{2} := r^{2} + a^{2} \cos^{2} \theta, \quad \Lambda^{2} := r^{2} - r_{s} r + a^{2}

Dabei ist c die Vakuumlichtgeschwindigkeit, \tau die Eigenzeit, M die Masse des felderzeugenden Körpers und r_s der Schwarzschild-Radius. Der Parameter a wird auch Kerrparameter genannt. Er ist gemäß Definition proportional zum Drehimpuls J der rotierenden Masse. Ist der Kerrparameter positiv, so führt der Körper der Masse M eine prograde Rotation aus. Im Fall eines negativen Kerrparameters ist die Rotation retrograd. Verschwindet der Kerrparameter, so ergibt sich als Grenzfall die Schwarzschild-Metrik. Jeweils kurz nach der Entdeckung der Schwarzschild-, bzw. Kerr-Metrik wurden auch die zugehörigen Verallgemeinerungen für den Fall von elektrisch geladenen schwarzen Löchern gefunden. Die folgende Tabelle gibt einen Überblick der verwendeten Metriken, wobei Q die elektrische Ladung bezeichnet.

statisch (J = 0) rotierend (J ≠ 0)
ungeladen (Q = 0) Schwarzschild-Metrik Kerr-Metrik
geladen (Q ≠ 0) Reissner-Nordström-Metrik Kerr-Newman-Metrik

Gradient[Bearbeiten]

Da eine Überprüfung der Kerr-Metrik nur über umfangreiche Rechnungen möglich ist, werden hier die kontravarianten Komponenten des metrischen Tensors über das Quadrat des Vierer-Gradienten-Operators gezeigt:

   
\partial^\mu \partial_\mu = g^{\mu\nu}\frac{\partial}{\partial{x^{\mu}}}\frac{\partial}{\partial{x^{\nu}}} = \frac{1}{c^{2}\Lambda^{2}}\left(r^{2} + \alpha^{2} + \frac{r_{s}r\alpha^{2}}{\rho^{2}}\sin^{2}\theta\right)\left(\frac{\partial}{\partial{t}}\right)^{2} + \frac{2r_{s}r\alpha}{c\rho^{2}\Lambda^{2}}\frac{\partial}{\partial{\phi}}\frac{\partial}{\partial{t}} \,\, -
   
\frac{1}{\Lambda^{2}\sin^{2}\theta}\left(1 - \frac{r_{s}r}{\rho^{2}}\right)\left(\frac{\partial}{\partial{\phi}}\right)^{2} - \frac{\Lambda^{2}}{\rho^{2}}\left(\frac{\partial}{\partial{r}}\right)^{2} - \frac{1}{\rho^{2}}\left(\frac{\partial}{\partial{\theta}}\right)^{2}

Anwendungen[Bearbeiten]

  • Die Kerr-Metrik beschreibt den infinitesimalen Zusammenhang zwischen der Eigenzeit \tau eines Testkörpers (eine Uhr, die starr mit dem Testkörper verbunden ist) im Gravitationsfeld eines rotierenden, ungeladenen, schwarzen Loches und den Parametern t,\,r,\,\phi,\,\theta der Raumzeit entlang seiner Weltlinie. Durch Integration dieser infinitesimalen Eigenzeiten ds entlang einer vorgegebenen Bahn, kann berechnet werden, wie sich die Eigenzeit des Testkörpers entlang dieser Bahn verändert. Weil die Eigenzeit - wie aus der Relativitätstheorie bekannt - dabei vom Bewegungszustand des Testkörpers abhängig ist, ist diese Berechnung aber normalerweise nicht trivial. Der Einfluss der Masse des Testkörpers auf die gesamte Raumzeitstruktur wird dabei vernachlässigt.
  • Wirkt auf den Testkörper entlang seiner Bahn keine äußere Kraft, kann die Form der Bahn (ausgehend von eindeutig definierten Anfangsbedingungen) prinzipiell durch Integration der Geodätengleichung berechnet werden.

Besondere Flächen[Bearbeiten]

Die Kerr-Metrik wird auf mehreren Flächen singulär. Die innere Fläche des Bildes veranschaulicht den äußeren Ereignishorizont. Sowohl die innere, als auch die äußere Fläche besitzen die innere Geometrie eines Rotationsellipsoids. Zwischen beiden Flächen liegt die Ergosphäre. Auf jedem Punkt innerhalb dieses Bereiches wird die rein zeitliche Komponente gtt negativ und damit zu einer raumartigen, metrischen Komponente. Um dieser Entartung der Raumzeit entgegenzuwirken müssen alle Masseteilchen, bzw. Testkörper, die sich in dieser Ergosphäre aufhalten mit der inneren, gravitierenden Masse mitrotieren.

Die Kerr-Metrik wird auf mehreren Flächen singulär. Mit \Lambda = 0 wird beispielsweise der Nenner der rein radialen Komponente der Kerr-Metrik g_{rr} Null und damit die Metrik singulär. Diese Bedingung wird genau dann erfüllt, wenn


r_{\mbox{innen}} = \frac{r_{s} \pm \sqrt{r_{s}^{2} - 4a^{2}}}{2}.

Für a=0 fallen beide Werte mit dem Schwarzschild-Radius zusammen und deshalb werden diese beiden Flächen auch als innerer und äußerer Ereignishorizont bezeichnet. Obwohl bei beiden Ereignishorizonten die radiale Koordinate r einen konstanten Wert besitzt, zeigt das Krümmungsverhalten der Ereignishorizonte, dass diese eher die Eigenschaften eines Rotationsellipsoids besitzen. Da sich der innere Ereignishorizont der direkten Beobachtung aufgrund des äußeren Horizonts entzieht, besitzt der innere Horizont keine physikalische Bedeutung.

Zwei weitere singuläre Flächen ergeben sich aufgrund eines Vorzeichenwechsels der zeitartigen Komponente gtt. Die Bedingung gtt = 0 führt dabei ebenfalls auf eine quadratische Gleichung mit den Lösungen


r_{\mbox{außen}} = \frac{r_{s} \pm \sqrt{r_{s}^{2} - 4a^{2} \cos^{2}\theta}}{2}.

Diese zwei Flächen können wegen des Terms cos2θ unter der Wurzel als abgeflachte Sphären, bzw. Rotationsellipsoide dargestellt werden. Die äußere Fläche berührt dabei den äußeren Ereignishorizont an den zwei Polen, die durch die Rotationsachse definiert werden. Die beiden Pole entsprechen einem Winkel θ von 0 bzw. π.

Der Raum zwischen den zwei äußeren, singulären Flächen wird Ergosphäre genannt. Normalerweise erfährt jedes Teilchen eine positive Eigenzeit entlang seiner Weltlinie. Innerhalb der Ergosphäre ist dies jedoch erst dann möglich, wenn das Teilchen mit einer gewissen mindesten Winkelgeschwindigkeit mit der inneren Masse M mitrotiert. Es kann deshalb auch keine Teilchen geben, die sich in der entgegengesetzten Richtung wie die innere Masse drehen.

Genauso wie bei der Schwarzschild-Metrik ist die Singularität des Ereignishorizontes der Kerr-Metrik ebenfalls nur eine Koordinaten-Singularität. Durch eine andere Wahl der Koordinaten, kann die Raumzeit der Kerr-Metrik auch bis in das Innere des Ereignishorizontes stetig und ohne Singularitäten in der Metrik beschrieben werden.

Literatur[Bearbeiten]

  • Robert H. Boyer & Richard W. Lindquist: Maximal Analytic Extension of the Kerr Metric. In: Journal of Mathematical Physics. Vol. 8, Issue 2, 1967, doi:10.1063/1.1705193, S. 265-281
  • Charles Misner, Kip S. Thorne & John A. Wheeler: Gravitation. W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0
  • Barrett O’Neill: The geometry of Kerr black holes. Peters, Wellesley 1995, ISBN 1-56881-019-9
  • David L. Wiltshire, Matt Visser & Susan M. Scott: The Kerr spacetime: Rotating Black Holes in General Relativity. Cambridge University Press, Cambridge 2009, ISBN 0-521-88512-4; darin
    • Matt Visser: The Kerr spacetime – a brief introduction. S. 3–37 (Erstveröffentlichung: arXiv:0706.0622)
    • Roy P. Kerr: The Kerr and Kerr-Schild-Metrics. S. 38–72 (Erstveröffentlichung: Discovering the Kerr and Kerr-Schild metrics. arXiv:0706.1109)

Weblinks[Bearbeiten]

Fußnoten[Bearbeiten]

  1.  Roy P. Kerr: Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics. In: Physical Review Letters. 11, 1963, S. 237–238, doi:10.1103/PhysRevLett.11.237.