Pierpont-Primzahl

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Eine Pierpont-Primzahl ist eine Primzahl der Form 2^u3^v+1. Mit Hilfe der Pierpont-Primzahlen lässt sich angeben, welche regelmäßigen Polygone mit Zirkel und Lineal sowie einem Hilfsmittel zur Winkeldreiteilung konstruiert werden können. Sie sind nach dem US-amerikanischen Mathematiker James Pierpont benannt.

Definition[Bearbeiten]

Eine Primzahl p heißt Pierpont-Primzahl, wenn sie von der Form

p=2^u3^v+1

ist, wobei u,v \in \N_0 natürliche Zahlen sind. Die Pierpont-Primzahlen sind damit diejenigen Primzahlen p, für die p-1 3-glatt ist.

Beispiele[Bearbeiten]

Die ersten Pierpont-Primzahlen sind:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, ...   (Folge A005109 in OEIS)

Die derzeit größte bekannte Pierpont-Primzahl ist

3 \cdot 2^{7033641}+1

mit über zwei Millionen Dezimalstellen. Ihre Primalität wurde 2011 von Michael Herder bewiesen.[1]

Eigenschaften[Bearbeiten]

Spezialfälle[Bearbeiten]

  • Für u = 0 und v > 0 gibt es keine Pierpont-Primzahlen, denn 3^v+1 ist eine gerade Zahl größer als zwei und damit zusammengesetzt.
  • Für u > 0 und v = 0 muss u eine Potenz von zwei sein und eine Pierpont-Primzahl ist damit eine fermatsche Primzahl.
  • Für u > 0 und v > 0 hat eine Piermont-Primzahl die Form 6k+1.

Verteilung[Bearbeiten]

Verteilung der Exponenten der kleinen Pierpont-Primzahlen

Die Anzahl der Pierpont-Primzahlen kleiner als 10, 100, 1000, \ldots ist

4, 10, 18, 25, 32, 42, 50, 58, 65, 72, 78, 83, 93, \ldots   (Folge A113420 in OEIS).

Die Anzahl der Pierpont-Primzahlen kleiner als 10^1, 10^2, 10^4, 10^8, \ldots ist

4, 10, 25, 58, 125, 250, 505, 1020, 2075, 4227, \ldots   (Folge A113412 in OEIS).

Andrew Gleason vermutete, dass es unendlich viele Pierpont-Primzahlen gibt.[2] Sie sind nicht besonders selten und haben wenige Einschränkungen bezüglich algebraischer Faktorisierungen. So gibt es beispielsweise keine Bedingungen, wie bei Mersenne-Primzahlen, dass der Exponent prim sein muss. Vermutlich gibt es

O(\log N)

Pierpont-Primzahlen kleiner als N, im Gegensatz zu O(\log \log N) Mersenne-Primzahlen im gleichen Bereich.

Faktoren von Fermat-Zahlen[Bearbeiten]

Als Teil der laufenden weltweiten Suche nach Faktoren der Fermat-Zahlen, wurden bereits einige Pierpont-Primzahlen als Faktoren gefunden. Die folgende Tabelle[3] gibt Werte für m, k und n an, sodass gilt:

k\cdot 2^n + 1 \text{ teilt } 2^{2^m} + 1.

Die linke Seite ist eine Pierpont-Primzahl, falls k eine Potenz von drei ist; die rechte Seite ist eine Fermat-Zahl.

m k n Jahr Entdecker
38 3 41 1903 Cullen, Cunningham & Western
63 9 67 1956 Robinson
207 3 209 1956 Robinson
452 27 455 1956 Robinson
9428 9 9431 1983 Keller
12185 81 12189 1993 Dubner
28281 81 28285 1996 Taura
157167 3 157169 1995 Young
213319 3 213321 1996 Young
303088 3 303093 1998 Young
382447 3 382449 1999 Cosgrave & Gallot
461076 9 461081 2003 Nohara, Jobling, Woltman & Gallot
672005 27 672007 2005 Cooper, Jobling, Woltman & Gallot
2145351 3 2145353 2003 Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
2478782 3 2478785 2003 Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot

Anwendungen[Bearbeiten]

Ein regelmäßiges Polygon mit N Seiten kann genau dann mit Zirkel und Lineal sowie einem Hilfsmittel zur Winkeldreiteilung konstruiert werden, wenn N von der Form

N = 2^m3^n p_1 \cdots p_k

ist, wobei p_1, \ldots, p_k mit k \in \N_0 verschiedene Pierpont-Primzahlen größer als drei sind.[2][4] Die konstruierbaren Polygone, also die Polygone, die nur mit Zirkel und Lineal konstruiert werden können, sind hiervon Spezialfälle, bei denen n=0 und p_1, \ldots, p_k verschiedene Fermat-Primzahlen sind. Die kleinste Primzahl, die keine Pierpont-Primzahl ist, ist 11. Daher ist das Elfeck das kleinste regelmäßige Polygon, das nicht mit Zirkel, Lineal und Winkeldrittelung konstruiert werden kann. Alle anderen regelmäßigen n-Ecke mit 3 \leq n \leq 21 können mit Zirkel, Lineal und (gegebenenfalls) einem Hilfsmittel zur Winkeldreiteilung konstruiert werden.

In der Mathematik des Papierfaltens definieren die Huzita-Axiome sechs der sieben möglichen Faltungen. Diese Faltungen reichen ebenfalls aus, jedes regelmäßige Polygon mit N Seiten zu bilden, wenn N von der obigen Form ist.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Vorlage:Internetquelle/Wartung/Zugriffsdatum nicht im ISO-FormatVorlage:Internetquelle/Wartung/Datum nicht im ISO-FormatChris Caldwell: The largest known primes. The Prime Pages, 15. Mai 2013, abgerufen am 16. Mai 2013.
  2. a b  Andrew Gleason: Angle Trisection, the Heptagon, and the Triskaidecagon. In: The American Mathematical Monthly. 95, Nr. 3, 1988, S. 185–194 (PDF).
  3. Vorlage:Internetquelle/Wartung/Zugriffsdatum nicht im ISO-FormatVorlage:Internetquelle/Wartung/Datum nicht im ISO-FormatWilfrid Keller: Prime factors of Fermat numbers and complete factoring status. 16. Mai 2013, abgerufen am 16. Mai 2013.
  4. Folge A048135 in OEIS

Weblinks[Bearbeiten]