Sophie-Germain-Primzahl

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Eine Primzahl p nennt man Sophie-Germain-Primzahl oder auch Germainsche Primzahl, wenn auch 2p+1 eine Primzahl ist. Diese Primzahlen sind nach der Mathematikerin Sophie Germain (1776–1831) benannt, die sich mit der Fermatschen Vermutung beschäftigte und bewies, dass der erste Fall der Vermutung für alle Sophie-Germain-Primzahlen zutrifft.[1]

Beispiele[Bearbeiten]

p = 2 ist eine Sophie-Germain-Primzahl, denn 2p + 1 = 5 ist prim. Das Gleiche gilt für 3, 5, 11.

p = 7 ist keine Sophie-Germain-Primzahl, da 2p + 1 = 15 nicht prim ist.

Zwischen 1 und 10.000 gibt es 190 Sophie-Germain-Primzahlen:

2 3 5 11 23 29 41 53 83 89 113 131
173 179 191 233 239 251 281 293 359 419 431 443
491 509 593 641 653 659 683 719 743 761 809 911
953 1013 1019 1031 1049 1103 1223 1229 1289 1409 1439 1451
1481 1499 1511 1559 1583 1601 1733 1811 1889 1901 1931 1973
2003 2039 2063 2069 2129 2141 2273 2339 2351 2393 2399 2459
2543 2549 2693 2699 2741 2753 2819 2903 2939 2963 2969 3023
3299 3329 3359 3389 3413 3449 3491 3539 3593 3623 3761 3779
3803 3821 3851 3863 3911 4019 4073 4211 4271 4349 4373 4391
4409 4481 4733 4793 4871 4919 4943 5003 5039 5051 5081 5171
5231 5279 5303 5333 5399 5441 5501 5639 5711 5741 5849 5903
6053 6101 6113 6131 6173 6263 6269 6323 6329 6449 6491 6521
6551 6563 6581 6761 6899 6983 7043 7079 7103 7121 7151 7193
7211 7349 7433 7541 7643 7649 7691 7823 7841 7883 7901 8069
8093 8111 8243 8273 8513 8663 8693 8741 8951 8969 9029 9059
9221 9293 9371 9419 9473 9479 9539 9629 9689 9791


Siehe auch: (Folge A005384 in OEIS)

Große bekannte Sophie-Germain-Primzahlen sind

  • die momentan größte bekannte: 18.543.637.900.515 · 2666.667 - 1, eine Zahl mit 200.701 Stellen, entdeckt 2012
  • 648.621.027.630.345 · 2253.824 - 1, eine Zahl mit 76.424 Stellen, entdeckt im November 2009
  • 620.366.307.356.565 · 2253.824 - 1, eine Zahl mit 76.424 Stellen, entdeckt im November 2009
  • 607.095 · 2176.311 - 1, eine Zahl mit 53.081 Stellen, entdeckt im September 2009
  • 48.047.305.725 · 2172.403 - 1, eine Zahl mit 51.910 Stellen, entdeckt im Januar 2007
  • 137.211.941.292.195 · 2171.960 - 1, eine Zahl mit 51.780 Stellen, entdeckt am 3. Mai 2006
  • 7.068.555 · 2121.301 - 1, eine Zahl mit 36.523 Stellen, entdeckt 2005
  • 109.433.307 · 266.452 - 1, eine Zahl mit 20.013 Stellen, welche 2001 von Underbakke (und anderen) gefunden wurde.
  • 92.305 · 216.998 + 1, eine Zahl mit 5.117 Stellen, die 1998 von Hoffmann gefunden wurde.

Bedeutung[Bearbeiten]

Eigenschaften[Bearbeiten]

Eine Sophie-Germain-Primzahl kann im Dezimalsystem niemals die Endziffer 7 haben.

Beweis: Sei p eine Primzahl mit Endziffer 7. Dann kann man p darstellen als p = 10k + 7. Dann gilt: 2p + 1 = 20k + 14 + 1 = 20k + 15 = 5 (4k + 3). Das bedeutet, 2p + 1 ist durch 5 teilbar, aber größer als 14, also nicht prim. \Box

Multipliziert man eine Sophie-Germain-Primzahl p mit der Primzahl 2p+1, so erhält man als Produkt eine Dreieckszahl:

p \cdot (2p+1) = \frac{2p}{2} \cdot (2p+1) = \frac{(2p) \cdot (2p+1)}{2}

Allerdings hat jede natürliche Zahl diese Eigenschaft. In obigem Beweis wurde schließlich nirgends die Primzahleigenschaft von p bzw. von 2p+1 verwendet.


Alle Sophie-Germain-Primzahlen größer 3 der gehören der Restklasse   r ≡ 5 (mod 6)   an.

Alle Zahlen der Restklassen r ≡ 0 (mod 6), r ≡ 2 (mod 6) und r ≡ 4 (mod 6) sind gerade und demnach durch 2 teilbar.
Alle Zahlen der Restklassen r ≡ 0 (mod 6) und r ≡ 3 (mod 6) sind durch 3 teilbar.

Zwar existieren Primzahlen in der Restklasse r ≡ 1 (mod 6) – Jedoch ergibt 2*(6n+1)+1 = 12n+3 = 3*(4n+1) – und 3*(4n+1) ist durch 3 teilbar.

Als einzige Sechser-Restklasse für Sophie-Germain-Primzahlen bleibt nur 2*(6n+5)+1 = 12n+11 ≡ 5 (mod 6) übrig.

Zusammenhang mit den Mersenne-Zahlen[Bearbeiten]

Die folgende Eigenschaft wurde von Leonhard Euler und Joseph-Louis Lagrange bewiesen:

Ist p > 3 eine Sophie-Germain-Primzahl mit p ≡ 3 (mod 4), dann ist 2p+1 ein Teiler der p-ten Mersenne-Zahl M(p).

Beispiel: p = 11 ist eine Sophie-Germain-Primzahl, denn 2p+1 = 23 ist prim. Weiter ist 11 ≡ 3 (mod 4), denn 11 dividiert durch 4 ergibt als Rest 3. Die 11. Mersenne-Zahl M(11) = 211-1 = 2047 ist also nicht prim, sondern durch 2p+1 = 23 teilbar; konkret ist M(11) = 23 · 89.

Häufigkeit von Sophie-Germain-Primzahlen[Bearbeiten]

1922 veröffentlichten Godfrey Harold Hardy und John Edensor Littlewood ihre Vermutung bzgl. der Häufigkeit von Sophie-Germain-Primzahlen:

Die Anzahl aller Sophie-Germain-Primzahlen unterhalb einer Grenze N beträgt ungefähr

{2C_2\int\limits_2^N \cfrac{1}{\ln(x)\ln(2x+1)}\;\mathrm dx \approx \cfrac{2C_2N}{\ln^2(N)} }

mit C2 = 0,6601618158 (siehe Primzahlzwillingskonstante). Diese Formel kann man mit den bekannten Sophie-Germain-Primzahlen recht gut bestätigen. Für N = 104 liefert die Vorhersage 156 Sophie-Germain-Primzahlen, was einen Fehler von 18 % zur exakten Anzahl von 190 bedeutet. Für N = 107 liefert die Vorhersage 50822, was bereits nur noch 9 % vom exakten Wert 56032 entfernt ist. Eine numerische Approximation des Integrals liefert noch bessere Ergebnisse, etwa 195 für N = 104 (Fehler nur noch 2,6 %) und 56128 für N = 107 (Fehler fast vernachlässigbar bei 0,17 %).

Die Dichte der Sophie-Germain-Primzahlen fällt in der Größenordnung um ln(N)–mal stärker als die der Primzahlen selbst. Sie findet Anwendung für eine genauere Laufzeitabschätzung für den AKS-Primzahltest, der die Primeigenschaft in polynomialer Zeit feststellen kann.

Cunningham-Kette[Bearbeiten]

Bei einer Cunningham-Kette der ersten Art handelt es sich, mit Ausnahme der letzten Zahl, um eine Folge von Sophie-Germain-Primzahlen. Ein Beispiel für eine solche Kette ist die Folge: 2, 5, 11, 23, 47.

Offene Fragen[Bearbeiten]

Man vermutet, dass es unendlich viele Sophie-Germain-Primzahlen gibt, aber ein Beweis dafür wurde bis heute nicht gefunden.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Man unterscheidet mögliche Lösungen der Fermatschen Gleichung in zwei Fälle: der erste Fall bedeutet, dass der Exponent p kein Teiler von a·b·c ist.

Weblinks[Bearbeiten]