Spezielle unitäre Gruppe

Die spezielle unitäre Gruppe SU(N) besteht aus den unitären N×N-Matrizen mit komplexen Einträgen, deren Determinante 1 beträgt. Sie ist eine kompakte, einfache Lie-Gruppe der Dimension N²−1, insbesondere auch eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.

Ferner ist sie Untergruppe der unitären Gruppe U(N), sowie der speziellen linearen Gruppe $SL(N,\mathbb{C})$.

Lie-Algebra

Die zu SU(N) korrespondierende Lie-Algebra $\mathfrak{su}(N)$ ergibt sich bei Betrachtung des Tangentialraums am Einselement der Gruppe. Sie besteht aus dem Raum aller schiefhermiteschen Matrizen mit Spur 0. Die surjektive Abbildung

$f: \mathfrak{su}(N) \to SU(N),\quad\quad g\mapsto\exp{g}$

bildet ein Element der Algebra auf die Gruppe ab.

Zentrum

Das Zentrum von SU(N) besteht aus allen Vielfachen ξE_N der Einheitsmatrix E_N, die in SU(N) liegen. Da det(ξE_N) = ξ^N = 1, müssen diese Vielfachen N − te Einheitswurzeln sein. Daher ist das Zentrum isomorph zur Restklassengruppe $\Z/N\Z$.

Bedeutung in der Physik

Die spezielle unitäre Gruppe spielt eine besondere Rolle in der theoretischen Physik, da das derzeitige Standardmodell der Elementarteilchenphysik mehrere SU(N)-Symmetrien aufweist. So ist die interne Symmetriegruppe des Standardmodells durch SU(3)×SU(2)×U(1) gegeben. Darüber hinaus gibt es die näherungsweise gültige SU(3)-Symmetrie zur Klassifikation von Hadronen, die aus up-, down- und strange-Quarks bestehen. Ferner ist der kompakte Anteil der speziellen orthochronen Lorentzgruppe isomorph zu SU(2)×SU(2).

Die Gruppe SU(2) ist zugleich die sog. Doppelgruppe der gewöhnlichen Drehgruppe SO(3) im dreidimensionalen Raum.

Literatur

Lehrbücher

• Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3528064323
• Nicolas Bourbaki: Lie Groups and Lie Algebras, Springer, 2002, ISBN 3540426507
• Theodor Bröcker, Tammo tom Dieck: Representations of Compact Lie Groups, Springer, 1995, ISBN 3540136789
• Walter Pfeifer: The Lie Algebras su(N), Birkhäuser, 2003, ISBN 376432418X

Artikel

• Jonathan L. Rosner: An Introduction to Standard Model Physics, TASI 1987, Scanned version from KEK
• Erhard Scholz: Introducing Groups into Quantum Theory (1926–1930), math.HO/0409571

Weblinks

• Definition bei mathworld.wolfram.com (englisch)